专题03 圆周角定理重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 圆周角定理重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 题型十 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 3．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点均在上，连接、相交于点，连接、，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·一模）如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 1．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）在中，若，，则面积的最大值为 ． 3．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，． (1)求的度数． (2)求的长． (3)当的面积最大时，求的值． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，，其中是的直径，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．    3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．    4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点E，使得． (1)若平分，求证：； (2)试探究线段与之间的数量关系． 5．（2023·山东济南·校联考一模）如图1，是等腰直角三角形，，点D在的内部，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接、、．    (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为______； (3)如图3，若，，点F为线段中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接，求的长度． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，若，于点D，则的长为（　　）    A． B． C． D． 1．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（    ）．    A．5 B． C． D． 2．（2022春·江西九江·九年级校考期中）如图，内接于，连接，若，则的度数为 ．    3．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为 ．    4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形中边上一点（不与A、B重合），以为直径的分别交和于点F、M，于点H．    (1)求证： (2)猜想与的大小关系，并说明理由． (3)当时，求的面积． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为上两定点，点A为上一动点，过点B作，交于点E，点D为射线上一动点，且平分，连接． (1)求证：； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 1．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为 ．    3．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    4．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的值． 5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在、上，且，与交于点，连接，求的最小值． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为 ． 3．（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·四川德阳·统考一模）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________； (3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________． 【经典例题十 圆周角综合问题】 【例10】（2024·山东济南·二模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．3.5 2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 1．（2024·重庆·中考真题）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是直径，点C、D均在上，连接，且，若的半径为，则的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 5．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      7．（2024·江苏镇江·二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °． 8．（23-24九年级下·广东东莞·阶段练习）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    9．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 12．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 14．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 15．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆周角定理重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 题型十 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可． 【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确； （3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直； （4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； （5）圆内接四边形对角互补；正确； 故选：B． 【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是掌握点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动，当点、、三点构成时，，当点、、三点共线时，即点在线段上时，，则，根据点的运动轨迹，则点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动，当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，；当点与点重合时，有最小值，；得到，即可． 【详解】由题意得，点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动， 当点、、三点构成时，， 当点、、三点共线时，即点在线段上时，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动 ∴当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，； 当点与点重合时，有最小值，； ∴， 由可得：． 故答案为：． 3．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据圆周角定理，三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，设于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点均在上，连接、相交于点，连接、，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“同弧所对的圆周角相等”可得，根据三角形外角定理即可求出的度数．本题主要考查了圆周角定理和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·一模）如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 【答案】58 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余．连接，由是的直径可得，又由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理；根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，由四边形是矩形得到，则是的直径，由勾股定理求出，即可得到的半径． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 1．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长交于点E，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，    则， 又∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径， 故选A． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形内接于，得到是，根据，解得（舍去），解得即可． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，连接，交于点O，连接，则，过点C作，连接，则四边形是平行四边形，继而得到，继而得到，结合，故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形内接于， ∴是的直径， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，， 连接，交于点O，连接，则， 过点C作， 连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． ∵， ∴， ∴， 故周长的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及到圆周角定理、全等三角形的性质及判定、垂径定理的推论，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关性质 （1）连接并延长交于点H，证明，再根据等腰三角形的性质及等量代换来证得结果； （2）连接，过点D作，垂足为点G，证明及，再通过等量代换得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明，如图，连接，过点D作，垂足为点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴ 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形面积的最值问题，圆周角定理，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键．过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当点M到的距离最大时，的面积最大，当点N到的距离最大时，的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形面积的最大值 ． 故选B． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图， ∵点D为的中点， ，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D， ∴和在等圆中，又， ∴， ， ， ， ，， ∴四边形为正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）在中，若，，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，首先过C作于M，由弦已确定，可得要使的面积最大，只要取最大值即可，即可得当过圆心O时，最大，然后由圆周角定理，证得是等腰直角三角形，则可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，过C作于M，    ∵弦已确定， ∴要使的面积最大，只要取最大值即可， 如图所示，当过圆心O时，最大， ∵，过O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 3．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，． (1)求的度数． (2)求的长． (3)当的面积最大时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】 连接和，可得是等边三角形，则，根据圆周角定理即可求得； 连接和，则，且，由三角形外角定理得，根据圆周角定理得，利用勾股定理有即可； 过点E作于点F，结合（1）可得，进一步有和，利用含30度角的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，则，此时，利用求得，即可求得答． 【详解】（1） 解：如图1，连接，． ∵的半径为3，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． （2） 如图2，连接，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 如图3，过点E作于点F． 由（1）知，则， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴当EF的值最大时，的面积最大． ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴， 即， ∴EF的最大值为， ∴，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、同弧所对圆周角相等、三角形外角定理以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理等圆的相关知识． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等角的余角相等得出，则在同一个圆上，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵， ∴ ∴ ∴在同一个圆上， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等角的余角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，，其中是的直径，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质可知，进而可得出的度数，根据圆周角定理得出的度数，据此可得出结论． 【详解】∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等，含的直角三角形边的判断，是解题的关键． 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．    【答案】4 【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D，连接，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．    【答案】/43度 【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． 4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点E，使得． (1)若平分，求证：； (2)试探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】 （1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质推出，根据角平分线定义得到，根据三角形外角性质推出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质推出，进而得到，根据角的和差求出，证明，得到，根据勾股定理得到，等量代换即可得解． 【详解】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2023·山东济南·校联考一模）如图1，是等腰直角三角形，，点D在的内部，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接、、．    (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为______； (3)如图3，若，，点F为线段中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接，求的长度． 【答案】(1)，理由见解答过程 (2) (3)1.6 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而推出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （3）连接，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出A、E、C、F四点共圆，B、C、D、F四点共圆，，结合三角形内角和定理求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1），理由如下： 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）如图3，连接，    ∵、是等腰直角三角形， ∴， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、D、F四点共圆， ∴， ∵点F为线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∵，， ∴． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质、圆周角定理是解题的关键． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，若，于点D，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由勾股定理，可求得的长，又由，根据垂径定理，易证得是的中位线，则可求得的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用． 1．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（    ）．    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴点P在以为直径的⊙O上， 如图，连接交于点P，    此时最小，在中， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为：， 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于常考题型． 2．（2022春·江西九江·九年级校考期中）如图，内接于，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/26度 【分析】延长交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，连接，如图，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】如图，连接，根据是半圆的直径，得到，从而有，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点，若， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为． 故答案为：．    【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形中边上一点（不与A、B重合），以为直径的分别交和于点F、M，于点H．    (1)求证： (2)猜想与的大小关系，并说明理由． (3)当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据正方形性质得出，根据直径所对圆周角为直角得出，证明四边形为矩形，即可求证； （2）根据题意可得，，在中，，则，根据勾股定理得出，，得出，则； （3）连接，证明，得出，则，根据三线合一得出，即可用勾股定理求出，根据，求出，在中，用勾股定理求出，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为正方形，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴；    （2）解：，理由如下， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵在中，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，即； （3）解：连接， ∵为直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， 由（1）可得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴，即， 解得：， 在中，， ∴．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为上两定点，点A为上一动点，过点B作，交于点E，点D为射线上一动点，且平分，连接． (1)求证：； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义，可得，再根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，进而得到，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论； （2）由角平分线的定义，可得，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得，即，进而得到，再根据矩形的判定定理，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为的直径． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由得出点E在以为直径圆上，求出的长度，当A、O、E三点共线时，取得最小值，据此即可得出答案． 【详解】解：设的中点为点O，以O为圆心，为直径画圆，如图： ∵， ∴点E在以O为圆心，半径为的圆上， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当A、O、E三点共线时，取得最小值， 此时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以O为圆心，半径为的圆上”是解决问题的关键． 1．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，由是直径可得，则可判断点E在以为直径的弧上运动，于是以为直径作，连接、．在中，，等号成立时，的值最小，此时、、共线． 【详解】解：如图，连接，∵是直径， ∴， ∴点E在以为直径的弧上运动， 则以为直径作，连接、． ，，， ，，． ，， 、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】如图所示，取的中点O，根据线段中点的定义得到，再根据得到点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，故当在线段上时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O， ∵， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴点P在以的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当在线段上时，有最大值， 连接交于D，则点P运动到点D时有最大值， 由勾股定理得， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：．      【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理等等，确定点P的运功轨迹是解题的关键． 3．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 4．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得证； （2）过点作交于点，连接，证明四点共圆，可得是等腰直角三角形，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，证明，进而设，则，，分别表示出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形中，点是对角线上一点， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 同理可得四点共圆， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴ 设，则，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，证明是解题的关键． 5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在、上，且，与交于点，连接，求的最小值． 【答案】． 【详解】解：∵在正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点在以的中点为圆心，为直径的半圆上运动，连接，如解图， ∴当、、三点共线时，长度最小， ∵，， ∴由勾股定理得． ∴的最小值为． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 1．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的两锐角互余，连接，由四边形是圆内接四边形得，然后求出，通过圆周角定理得，则，最后通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质等知识．熟练掌握等边对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质是解题的关键． 如图，连接，则，由，可得，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案； （2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接． ， 平分， ． 为的直径， ∴， ， ． （2）证明：如图，连接． 平分， ，而，， ． 是的直径， ∴， ， ，， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 1．（2023·四川德阳·统考一模）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________； (3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)， 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆； （2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可； （3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接交于O，则点O即为矩形的外接圆圆心，利用勾股定理求出的长即可得到答案；如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，同理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵， ∴（O为AB中点，）， ∴，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆， ∴线段的最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （2）解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆， 作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （3）解：由题意得，矩形的外接圆即为最小覆盖圆， 如图③所示，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O即为矩形的外接圆圆心， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的最小覆盖圆半径为； 如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形， 同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆， 在中，， ∴， ∴， ∴这两个等圆的最小半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键． 【经典例题十 圆周角综合问题】 【例10】（2024·山东济南·二模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：．由作图可知：， ，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意； B．为半圆的直径， ，， ， ，选项B正确，不符合题意； C．的度数未知，和互余， 不一定等于， 不一定等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】过点E作于G，证明A、E、B、F四点共圆，得到，从而可证明，由勾股定理可求得，再求，从而求得，从而求得，即可由勾股定理得，代入即可求解． 【详解】解：过点E作于G， ∵ ∴ ∵正方形 ∴，， ∴ ∴A、E、B、F四点共圆， ∴ ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定．证明A、E、B、F四点共圆是解题的关键． 2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·重庆·中考真题）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质及圆内接四边形的性质，根据菱形的性质得到，，再根据圆内接四边形的性质求出，接着利用三角形外角性质计算出．然后根据计算即可．掌握菱形的性质及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点、、、都在上，即四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是直径，点C、D均在上，连接，且，若的半径为，则的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理和勾股定理，根据直径所对圆周角是直角判断是直角三角形，再根据判断，最后由勾股定理即可求解 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵所对的圆周角是， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵的半径为， ∴， 又， ∴， 故选：C 5．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，，进而可得，由此得，在中，根据勾股定理可求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】∵是的直径， ， 又，， ， ， ， ， ． 故选：D 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      【答案】2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出，则的最小值等于减去半径． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴点在以为直径的上， ∴当、、共线时最小， 在中，， ， ， ， ∴最小值为2． 故答案为：2．    7．（2024·江苏镇江·二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 8．（23-24九年级下·广东东莞·阶段练习）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    9．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，证明是等边三角形是解本题的关键．如图，作直径，连接证明和是等边三角形，是的直径时，面积的最大，可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 当是的直径时，的面积最大， 此时 的最大面积． 故答案为：． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，证明四边形是矩形即可解答； （2）延长交于点G，连接，首先证明点E是的中点，得出，进而在取得最大值时求出的最大值． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：如图2，延长交于点G，连接， ∵是半径为r的的直径，于点E， ∴E是的中点， 又∵F是的中点， ∴， 又∵的最大值为， ∴的长的最大值是5． 12．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由，可得，又由“同弧所对的圆周角相等”可得，进而可得，由此可得． （2）连接，设，则，，，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， 又， ， ∵， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 即的半径为． 13．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及到圆周角定理、全等三角形的性质及判定、垂径定理的推论，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关性质 （1）连接并延长交于点H，证明，再根据等腰三角形的性质及等量代换来证得结果； （2）连接，过点D作，垂足为点G，证明及，再通过等量代换得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明，如图，连接，过点D作，垂足为点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴ 14．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）平分可得，所以，在中，易得，,即证； （2）利用（1）中条件，易证，所以，求出的长，在中，利用勾股定理求得的长，即得半径长． 【详解】（1）证明：平分 为的直径 （2）由（1）得 即 在中，利用勾股定理得: ，即半径为5 【点睛】题目考查了圆周角定理，直角三角形角度性质及勾股定理，三角形相似，等腰三角形判定等知识点，熟练掌握定理内容是解题的关键． 15．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$