专题03 二次根式的加减重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题03 二次根式的加减重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列各式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 3．（23-24八年级下·贵州安顺·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（云南省昆明市2023-2024学年八年级下学期7月期末考试数学试题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）计算：． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）化简： ． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 2．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 1．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）已知，，求的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 1．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 3．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（23-24八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 1．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ； (3)若且a、m、n均为正整数，求a的值． 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）化简：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 6．（2024九年级·全国·竞赛）计算 ． 7．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 8．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ． 10．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 11．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 12．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·广东惠州·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 14．（23-24八年级下·广东惠州·期中）阅读理解： [材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． [材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______，分母有理化：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D． 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列各式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，把各二次根式化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义即可判断求解，正确化简各二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：． 2．（22-23八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】根据同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式）即可得． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键． 3．（23-24八年级下·贵州安顺·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（云南省昆明市2023-2024学年八年级下学期7月期末考试数学试题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，根据二次根式的加减计算法则求解即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、和不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可判断求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【解析】略 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算是解题的关键． 先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则运算即可，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； 故选：A． 1．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则和无理数估算的方法是解题的关键． 先计算出原式，再估算出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键；按照单项式乘多项式的法则展开、化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简、乘除法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先计算二次根式的除法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法与减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 根据二次根式运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A、，选项A不符合题意； B．，选项B不符合题意； C．，选项C符合题意； D．，选项D不符合题意； 故选：C． 1．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 1．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）已知，，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及因式分解的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．求出和的值，把分解因式后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）变形为，代入计算即可； （2）变形为，代入计算即可． 【详解】（1）当时， （2）当时， 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 1．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 2．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， （1）将和的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可； （2）先将转化为，然后和的值代入计算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（23-24八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 1．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可. 【详解】解：=，=， ∵45<75， ∴<． 即<， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算术平方根就越大是解决此题的关键. 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． （2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． 【详解】（1）∵，，，， ∴ ． （2）∵,, ∴, , ∵, ∴, ∴． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 由海伦公式，得； （2）解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 【答案】(1)(，2)和(2，) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入，即可； （2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明相等，求出y即可； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，即得出，解出x即可． 【详解】（1）∵，， ∴数对的一对“对称数对”是(，2)和(2，)． 故答案为：(，2)和(2，)； （2）∵数对的一对“对称数对”的两个数对相同， ∴， 解得：； （3）∵， ∴数对的“对称数对”分别为(，)和(，)． ∵数对的一对“对称数对”的其中一个数对是， ∴只可能为， 解得：． 【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键． 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①， ， ①的说法正确； ②等式的左边 ． 等式的右边． 等式成立， ②的说法正确； ③当时， 左边 右边， 当时， 左边 右边， 综上，③的说法正确； ④ ， 由题意可知：， ， ④的说法不正确． 综上，说法正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键． 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ； (3)若且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)13，4，1，2 (3)14或46 【分析】（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵a、m、n均为正整数， ∴，，或，，； 故答案为：14或46． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键． 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 【答案】3 【分析】方法一：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可； 方法二：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可． 【详解】方法一： 解：∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴， ∴， ， ， ∴ ． 方法二： ∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，三角形的面积的计算，准确的进行计算是解本题的关键． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握二次根式的化简求值． 先将利用完全平方公式进行变形，再将代入即可求解． 【详解】解：， 将代入上式可得， 原式． 故选：． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）化简：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解： 同理可得…. 故选B． 【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：， 面积为18小正方形的边长为：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴余下部分的面积为． 故选A． 6．（2024九年级·全国·竞赛）计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质准确化简各数是解题关键． 先化简二次根式，然后合并同类二次根式． 【详解】解： = =0， 故答案为：0． 7．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ． 【答案】11 【分析】由a﹣b＝，b﹣c＝，两式相加可得 a﹣c＝2，全部代入到2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ ca）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2即可得． 【详解】解：∵a﹣b＝，b﹣c＝， ∴a﹣c＝2． ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac =×2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca） ＝(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca) ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2] ＝[（）2+（2）2+（ ）2] ＝×22 =11． 故答案为：11 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，由a﹣b、b﹣c得出a﹣c及根据完全平方公式对原式变形是解题的关键． 10．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 12．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用平方差公式运算，再计算乘方和减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 13．（23-24八年级下·广东惠州·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义得到计算即可． （2）根据定义得到，代入方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 【点睛】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 14．（23-24八年级下·广东惠州·期中）阅读理解： [材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． [材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______，分母有理化：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)11 【分析】（1）根据有理化因式的定义去解答即可； （2）利用分母有理化的方法，计算即可； （3）仿照提示的解题方法解答即可． 本题考查了有理化因式，分母有理化，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴的一个有理化因式是， ∵， 故答案为：，． （2） ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$