专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·四川遂宁·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）计算： ． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算： 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（22-23八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 1．（22-23八年级上·北京顺义·期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是 ． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（22-23八年级下·北京丰台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 3．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有 ．（填序号） 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）计算： ． 3．（23-24八年级·全国·课堂例题）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 2．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 3．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： = = = =﹣1． 请任用其中一种方法化简： ①；②； 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：______． 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 1．（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·重庆大渡口·阶段练习）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东汕头·一模）计算： ． 7．（22-23八年级下·内蒙古兴安盟·期末）定义一种新的运算如下：（其中），则= ． 8．（22-23八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 11．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值，其中，． 13．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 15．（22-23八年级上·江苏徐州·期末）【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法运算和二次根式的化简进行运算排除选项． 【详解】、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算正确，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 1．（22-23八年级下·四川遂宁·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的乘法法则：，据此将原式变形，接下来，对被开方数进行计算，然后化简即可得到结果； 【详解】 故选C 【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式乘法的计算方法是关键． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用乘法分配律计算即可，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（22-23八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 1．（22-23八年级上·北京顺义·期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断 再利用进行化简即可. 【详解】解： 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况. 2．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】根据倒数的定义解答即可． 【详解】∵， ∴的倒数是． 故答案为． 【点睛】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及二次根式的除法运算法则；先进行括号内的分式的减法运算，再进行除法运算，最后代入求值即可； 【详解】解： ， 当时， 原式 ； 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（22-23八年级下·北京丰台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、 与合并，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键． 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 3．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 1．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义和性质进行解答，最简二次根式需满足以下条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、被开方数不含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、是最简二次根式，故本选项符合题意； 、被开方数不含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义和性质，解题的关键在各选项中找到符合最简二次根式性质的根式． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有 ．（填序号） 【答案】②③⑥ 【分析】根据最简二次根式的定义（最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数. 【详解】∵①；④；⑤，都不是最简二次根式， ∴最简二次根式有②③⑥， 故答案为②③⑥． 【点睛】本题考查了最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义，最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可． 【详解】解：A、，故不是 最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式， 不符合题意； D、，故不是最简二次根式， 不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.化简后根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 2．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）计算： ． 【答案】 【分析】把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键． 3．（23-24八年级·全国·课堂例题）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）分母是二次根式，要根据分式的基本性质将分母中的根号化去； 【详解】（1） （2） （3） 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可； 【详解】由题意得：3m﹣1=2， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键． 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 2．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： = = = =﹣1． 请任用其中一种方法化简： ①；②； 【答案】① ； ②. 【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）根据题意分子分母同时乘以进行分母有理化即可. 【详解】解：① = =； ② = = . 【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键. 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）当时， 原式 ． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：______． 【答案】＞ 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较， （1）①根据平方差公式，分子分母同乘以； ②根据平方差公式，分子分母同乘以； （2）根据平方差公式，分子分母同乘以； （3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可； （4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可； 掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 【答案】160 【分析】把h=2000代入公式进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 【答案】 【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到． 【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为，现在的水平线的距离为，，即他看到的水平线的距离是原来的倍． 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 【答案】 【分析】根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 1．（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的除法，直接用二次根式的除法运算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的乘法法则将各选项与相乘，然后进行判断即可． 【详解】、，结果为有理数，符合题意； 、，结果为无理数，不符合题意； 、，结果为无理数，不符合题意； 、，结果为无理数，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，以及无理数和有理数的定义，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（22-23九年级下·重庆大渡口·阶段练习）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在和之间， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 5．（22-23八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可． 【详解】、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟记被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 6．（2024·广东汕头·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则求解即可，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·内蒙古兴安盟·期末）定义一种新的运算如下：（其中），则= ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义、二次根式的运算即可得． 【详解】由新运算的定义得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，理解新运算的定义是解题关键． 8．（22-23八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 【答案】、、 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可. 【详解】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键. 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 【答案】18 【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， 故答案为：18． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 12．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再把的值代入计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴原式； 13．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式是解题的关键． （1）把等式左边利用配方法配方得到，由此即可求出a、b的值； （2）利用配方法把配方得到，根据得到，则当时，有最小值，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∵代数式的最小值为， ∴， ∴， ∴． 15．（22-23八年级上·江苏徐州·期末）【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法，推导二次根式的除法公式 （2）根据二次根式乘法公式进行计算即可 （3）先根据二次根式除法公式进行化简，再把a和b的值代入即可 【详解】解：（1）二次根式的除法公式是 证明如下：一般地，当时， 根据商的乘方运算法则，可得     ∵，∴．于是、都是的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的除法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． （2） 故答案为： （3）当时， 当时，原式= 【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法法则，，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$