第12章 专题3 全等三角形的常见模型（课件PPT）-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

勤为径图书 数 学 八年级上册 第十二章 全等三角形 专题3　全等三角形的常见模型 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 60° 勤为径图书 180°－α 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 EF＝BE＋DF 勤为径图书 EF＝BE＋DF 勤为径图书 168 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 平移模型　　 【模型展示】 　　　 1．如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC，且OD＝BC. (1)求证：△AOD≌△OBC； (2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数． 1题图 (1)证明：∵点O是线段AB的中点， ∴AO＝OB. ∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC. 又∵OD＝BC， ∴△AOD≌△OBC. (2)解：∵△AOD≌△OBC， ∴∠ADO＝∠OCB＝35°. ∵OD∥BC， ∴∠DOC＝∠OCB＝35°. 对称模型　　 【模型展示】 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD＝CD. 2题图 证明：∵∠3＝∠4， ∴∠BEA＝∠BEC. 又∵BE＝BE，∠1＝∠2， ∴△BAE≌△BCE， ∴AE＝CE. 又∵∠3＝∠4，ED＝ED， ∴△AED≌△CED， ∴AD＝CD. 旋转模型　　 【模型展示】 　 3．已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F. (1)如图①，当α＝90°时，求证： ①△ACE≌△BCD； ②AE⊥BD； (2)如图②，当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为______； (3)如图③，直接写出∠AFD的度数为____________．(用含α的式子表示) 　　3题图①　　　3题图②　　3题图③　　 (1)证明：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD. 又∵AC＝BC，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD. ②∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE＋∠EAB＋∠ABC＝90°， ∴∠CBD＋∠EAB＋∠ABC＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD. 一线三等角模型　　 【模型展示】 　 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？并加以证明； (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，DE，AD，BE具有怎样的等量关系？(请直接写出这个等量关系，不需要证明) 4题图①　　　　　　　　4题图② 解：(1)DE＝AD－BE. 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE. 在△ADC和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠ACD＝∠CBE，,AC＝CB，)) ∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE－CD＝AD－BE. (2)DE＝BE－AD. 半角模型　　 【模型展示】 5．如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 王蓓同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是________________． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【拓展】如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ eq \f(1,2)∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是________________．请证明你的结论． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲沿正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是______海里．(直接写出答案) 5题图①　　　　　5题图②　　　　　5题图③　 5题图①　　　　　5题图②　　　　　5题图③　 解：【拓展】 证明如下：如答图，延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG. 5题答图 ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. ∵∠EAF＝ eq \f(1,2)∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF. 在△AEF和△AGF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，)) ∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝GF. 又∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. $$