第12讲 勾股定理 （3个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第12讲 勾股定理 （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【例1】（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•新吴区期中）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•建湖县期末）如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，，连接，则的度数为 　　． 【变式3】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　． 【变式4】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在中，，于点，平分，、相交于点． （1）若，求的度数； （2）证明是等腰三角形． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例2】（2023秋•东台市期中）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为，则图中、两个正方形的面积之和为　　 A． B．42 C．49 D．63 【变式1】（2023秋•句容市期末）如图，在中，，分别以、为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 　　． 【变式2】（2023秋•兴化市期中）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为　　 A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【变式3】（2023秋•亭湖区校级月考）在中，，，边上的中线长为13，求边的长． 【变式4】（2023秋•邗江区期末）如图，在中，，，，，垂足为， 求：（1）的长； （2）的长． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【例3】（2022•武城县模拟）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•天宁区校级期中）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则的值为 　　． 【变式2】（2023秋•姜堰区期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为、，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 　　． 【变式4】（2022秋•溧水区期末）如图，在中，于，点为上一点，连接、，的延长线交于，已知，． （1）求证：； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在中，，，，，求证：． 经典题型汇编 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，高．则的长为 ． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，边上的中线长为13，求的长．    题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）点到原点的距离为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值． 题型三、勾股树（数）问题 7．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B． C．3，5，7 D．5，12，13 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是 ．    9．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ）    A．159 B．149 C．169 D．无法计算 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形A的面积为 ．    12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．    (1)结合图①，求证：； (2)如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，若，求． 题型五、勾股定理的证明方法 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（19-20八年级上·江苏·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 题型六、勾股定理与无理数 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（    ）． A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在以表示数4的点处作长度为2个单位的线段与数轴垂直，连接上端点与原点，得线段a．以原点为圆心，a为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）在图中画图确定表示的点． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，，2 C．6，8，10 D．2，2， 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，分别以、为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的值为(    )    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A．20 B．19 C．18 D．17 5．（21-22八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 7．（19-20八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 9．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上．下列格点中，与构成的三角形与不全等的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．      12．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12．则最大的正方形E的面积是    13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．    14．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 17．（19-20八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为 ． 三、解答题 19．（21-22八年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示、的点，并标上必要的数据． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》是我国古代数学名著．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？“其意思是：如图，墙高1丈（1丈＝10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到墙脚处（在同一水平线上），求木棒的长为多少尺． 21．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为m、m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程） 22．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 23．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 24．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、　 　、　 　； (2)若第一个数用字母a（a为奇数，且）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　； (3)用所学知识加以说明． 26．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． 利用上面公式解决下列问题： (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 勾股定理 （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【例1】（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】由三角形内角和为求得三角形的每一个角，再判断形状． 【解答】解：选项，，即，，为直角三角形，不符合题意； 选项，，即，，为直角三角形，不符合题意； 选项，，即，同选项，不符合题意； 选项，，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：． 【点评】注意直角三角形中有一个内角为． 【变式1】（2023秋•新吴区期中）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再由折叠可得的度数，再根据三角形外角的性质可得的度数． 【解答】解：在中，，， ， 根据折叠可得， ， 故选：． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余． 【变式2】（2023秋•建湖县期末）如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，，连接，则的度数为 　30　． 【分析】根据等边三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的概念得到，，得到，求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：为等边三角形， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的内角是以及等腰直角三角形的两锐角是是解题的关键． 【变式3】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　． 【分析】以点为圆心，为半径画圆，当经过点时，当与线段相切时，分别求得的值，进而得解． 【解答】解：在中，，， ， ， 以点为圆心，为半径画圆，当经过点时，如图1所示： 此时，在线段上刚按好有两个点到点的距离为，则， 以点为圆心，为半径画圆，当与线段相切时，如图2所示： 此时在线段上刚好有一个点到点的距离为， 设与线段相切于点， ，， ， ， ， 线段上存在两个点到的距离等于时，的取值范围为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助圆，分别求得两种情况下的极值，即可得解． 【变式4】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在中，，于点，平分，、相交于点． （1）若，求的度数； （2）证明是等腰三角形． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质计算即可； （2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）证明：平分， ， ，， ， ， ． 是等腰三角形 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例2】（2023秋•东台市期中）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为，则图中、两个正方形的面积之和为　　 A． B．42 C．49 D．63 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积． 【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形，的面积之和． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1】（2023秋•句容市期末）如图，在中，，分别以、为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 　4　． 【分析】由正方形的面积公式结合勾股定理求解即可． 【解答】解：在中，， ， 分别以、为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25， ，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2023秋•兴化市期中）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为　　 A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【分析】由勾股定理求出长，由三角形面积公式求出长，由勾股定理求出长，由线段中点定义求出长，即可得到． 【解答】解：，，， ， 于点， 的面积， ， ， ， 是的中点， ， ． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出长，由勾股定理求出长． 【变式3】（2023秋•亭湖区校级月考）在中，，，边上的中线长为13，求边的长． 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【解答】解：在中，，，边上的中线长为13， ，， ． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【变式4】（2023秋•邗江区期末）如图，在中，，，，，垂足为， 求：（1）的长； （2）的长． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）在中，，，， ， 故的长为5； （2）于点， ， ， ， 故的长为． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【例3】（2022•武城县模拟）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断． 【解答】解：在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得， 选项可以证明勾股定理， 在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 选项可以证明勾股定理， 在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 选项可以说明勾股定理， 在选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ， 以上公式为完全平方公式， 选项不能说明勾股定理， 故选：． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1】（2023秋•天宁区校级期中）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则的值为 　16　． 【分析】根据图形和勾股定理可知，，再由完全平方公式即可得到结果． 【解答】解：设直角三角形的斜边为， 则， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式． 【变式2】（2023秋•姜堰区期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别验证四个选项即可． 【解答】解：第一幅图中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为， 中间小正方形边长为，中间小正方形则的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即：， 第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即：， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即：， ， 第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中大正方形的面积为： 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即：， ， 第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， ， 第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的图形验证，利用正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式用两种不同方式表示图形的面积是解决问题的关键． 【变式3】（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为、，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 　96　． 【分析】根据勾股定理可知，再根据，，即可得到、的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积． 【解答】解：由图可得， ， 且、均大于0， 解得， 每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 【变式4】（2022秋•溧水区期末）如图，在中，于，点为上一点，连接、，的延长线交于，已知，． （1）求证：； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在中，，，，，求证：． 【分析】（1）利用“8字型”证明即可． （2）利用，即可得出结论． 【解答】解：（1），， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ． （2）， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，高．则的长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查勾股定理的运用，根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当在点右侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，边上的中线长为13，求的长．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求得的长，再利用中线的定义，即可解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得， 是边上的中线， ． 题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）点到原点的距离为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标两点的距离公式，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可知，， 即点到原点的距离为5． 故选：A． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点的距离计算，熟知两点距离计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵原点的坐标为，， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值． 【答案】(1)13 (2)； (3) 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 题型三、勾股树（数）问题 7．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B． C．3，5，7 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，则，即最大正方形的面积为．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，    由勾股定理得：，， 则正方形的面积为：， 故正方形的边长为：， 故答案为：4． 9．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出，即可证明． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ）    A．159 B．149 C．169 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．正方形的面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，对于，由勾股定理得，代入即可得到答案． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为，正方形的面积为， 两正方形的面积和为， 在中， ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形A的面积为 ．    【答案】100 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， 故答案为：100．    12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．    (1)结合图①，求证：； (2)如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识． （1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设八个全等三角形每个的面积为y，则，，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 即， ∴； （2）解：设八个全等三角形每个的面积为y， ∵，， ∴， ∴ 题型五、勾股定理的证明方法 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的图形验证，利用正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式用两种不同方式表示图形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：第一幅图中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为， 中间小正方形边长为，中间小正方形则的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即：， ∴第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即：， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中大正方形的面积为： 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即：， ∴， ∴第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故选：D． 14．（19-20八年级上·江苏·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 【答案】勾股 【分析】根据题意即可得到这个定理就是勾股定理． 【详解】解：这个定理就是勾股定理， 故答案为勾股． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题关键． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键． （1）先证和全等得，然后根据可得出结论； （2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明． 【详解】（1） 证明：如图所示： ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， ． （2） 证明：由（1）可知：， ，，， 四边形的面积正方形的面积， ， 即， ， ，， 即， 整理得：． 题型六、勾股定理与无理数 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 17．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在以表示数4的点处作长度为2个单位的线段与数轴垂直，连接上端点与原点，得线段a．以原点为圆心，a为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式与数轴，弄清楚原点左侧的数为负数是解题的关键． 先用勾股定理求出a的值，由于点A在原点左侧，据此写出点A所表示的数即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵点A在原点左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）在图中画图确定表示的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和在数轴上表示无理数，解题关键是树立数形结合思想，通过构建直角三角形，利用斜边长表示无理数． 以1和3为直角边构建直角三角形，再在数轴上截取斜边的长度即可． 【详解】解：在数轴上画出点表示3，作垂直于x轴，截取，根据勾股定理得，，在数轴上截取，点M表示的数就是． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，，2 C．6，8，10 D．2，2， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A，0.3，0.4，0.5不是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数； B， 不是正整数，因此1，，2不是勾股数； C，，因此6，8，10是勾股数； D，不是正整数，因此2，2，不是勾股数； 故选C． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出，折叠得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选A． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，分别以、为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的值为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查图形平移的性质，勾股定理，根据平移可得，，根据勾股定理可求出的值，再根据四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵把沿直线向右平移个单位长度得到， ∴，， 在中， ∵， ∴ ∴四边形的周长为 故选：C 5．（21-22八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理． 【详解】解：矩形旋转得出矩形， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由题意知：， ， ， ， 故选：C． 7．（19-20八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据：（1）点P(x，y)到x轴的距离等于|y|； （2）点P(x，y)到y轴的距离等于|x|；利用勾股定理可求得. 【详解】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 故选：D 【点睛】考核知识点：勾股定理.理解点的坐标意义是关键. 8．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 9．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上．下列格点中，与构成的三角形与不全等的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：由勾股定理得：， 在和中， ， ，故选项A不符合题意； 同理可得与构成的三角形与全等的点是点和点，故选项C、D不符合题意； ， 故选B． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，用数轴上的点表示实数等知识．先根据勾股定理求出，进而得到，根据点A在数轴上对应的数是，即可得到点E表示的实数是． 【详解】解：在中，， 由题意得， ∵点A在数轴上对应的数是， ∴点E表示的实数是，即， 故选：B． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识点，电线杆、地面、缆绳正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、缆绳正好构成直角三角形， 由题意知：，， 故答案为 12．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12．则最大的正方形E的面积是    【答案】49 【分析】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即是最大正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合勾股定理勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，能够导出正方形的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为、的面积和为，于是，即． 故答案为：49．    13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，直接利用勾股定理得出的长，进而得出点E表示的实数．解题的关键是勾股定理得出的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在中，由勾股定理可得： ， ∵点A在数轴上对应的数是0，， ∴点E表示的实数是， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 【答案】84 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，根据勾股定理解得、的值，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 设， ∵， ∴， 在和中，，， 由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：84． 17．（19-20八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 【答案】48 【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10， ∴a＋b＋10＝24， ∴a＋b＝14， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2＋b2＝102， 则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102， 即142−2ab＝102， ∴ab＝48． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且长为，宽为4， ∴， 故答案为：65． 三、解答题 19．（21-22八年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示、的点，并标上必要的数据． 【答案】见解析 【分析】如图，点O所表示的数为0，点A所表示的数为2，AB⊥OA于点A，OD⊥OE于点E，且AB=OD=1，点E为数轴上原点左侧一点，且DE=2，再由勾股定理可得，，再将OB绕点O顺时针旋转落在数轴上点C处，则，即可求解． 【详解】解： 如图，点O所表示的数为0，点A所表示的数为2，AB⊥OA于点A，OD⊥OE于点E，且AB=OD=1，点E为数轴上原点左侧一点，且DE=2， 根据题意得：OA=2 在 中，由勾股定理得： ， 将OB绕点O顺时针旋转落在数轴上点C处， ∴ ，即点C表示 的点； 在 中，由勾股定理得： ， 即点E表示 的点． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴上的点的关系，勾股定理，根据勾股定理求出，是解题的关键． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》是我国古代数学名著．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？“其意思是：如图，墙高1丈（1丈＝10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到墙脚处（在同一水平线上），求木棒的长为多少尺． 【答案】尺 【分析】本题考查勾股定理解古代问题，涉及勾股定理、解方程等知识，读懂题意，数形结合，由勾股定理列方程求解即可得到答案，读懂题意，以勾股定理建立方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 答：木棒的长为尺． 21．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为m、m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程） 【答案】（m2）或（m2）（m2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义以及归根到底，根据题意分类讨论、、三种情况即可求解． 【详解】解：∵m、m． ∴ 如图①所示： （m2）； 如图②所示： （m2）； 如图③所示：在中，， 设则 即， 解得：， 故（m2）． 22．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算． （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是，直角三角形的面积是， 小正方形的面积为， ∴ 即； （2）解：由正方形的面积是100，得， 解得：， 由正方形的面积为36，得， 一个直角三角形面积为： 解得：， ∴， 则， 故． 23．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】证明：五边形的面积为： ①， ②， ∴， ∴． 24．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】本题考查勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，首先根据勾股定理求得边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【详解】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、　 　、　 　； (2)若第一个数用字母a（a为奇数，且）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　； (3)用所学知识加以说明． 【答案】(1)， (2)、 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股数找出规律即可得到答案； （2）根据勾股数找出规律即可得到答案 （3）根据平方差公式证明即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为，； （2）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为：、； （3）解：由题意可得， ∴勾股数规律是a，，． 【点睛】本题考查勾股数规律问题，解题的关键是找出规律第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2． 26．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． 利用上面公式解决下列问题： (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)5 (3)， (4) 【分析】（1）根据题干内容回答即可； （2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：阅读材料可得：； （2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：， 点，之间的距离为：； 故答案为：5； （3）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论． ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 故答案为：； （4）原式， 故原式表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 利用公式可得，原式． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$