新课预习衔接：数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：观察图，请提出有深度的数学问题或猜想。 …… 【答案】见详解 【分析】观察图形发现，阴影部分越来越少，且都是前一个图阴影部分的一半，用整体的单位“1”，减去空白部分占整体的几分之几求出阴影部分占了整体的几分之几，据此思考并解答。 【详解】1－＝ 1－－＝ 1－－－＝ …… 猜想：1－－－－…－＝ （答案不唯一） 【点睛】本题考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律解答。 例题2：用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 【答案】（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解 （2）401根 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1； 摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2； 摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3； 6＋5×3 ＝6＋15 ＝21（根） …… 摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）； 6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1 答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。 （2）当n＝80时，代入得： 5n＋1 ＝5×80＋1 ＝400＋1 ＝401（根） 答：摆80个六边形，需要401根小棒。 例题3：按照下图方式摆放餐桌和椅子。 照这样摆下去，要坐34位客人需要多少张餐桌？（用方程解） 【答案】8张 【分析】设有n张桌子，根据桌子数量×4＋2＝能坐的人数，列出方程解答即可。 【详解】解：设有n张桌子。 4n＋2＝34 4n＝32 n＝8 答：要坐34位客人需要8张餐桌。 【点睛】关键是看懂图示，找到等量关系。 例题4：一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？ 【答案】个 【分析】如果直接考虑对折7次的情况，会比较复杂，可以先从对折1次、2次等简单情况入手，分析并总结规律，然后利用求解问题。 【详解】从简单情况入手，从第一次对折开始分析， 第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共个。 观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是个。 答：用折痕分割成的正方形共有128个。 【点睛】本题考查的是计数问题，归纳递推计数最核心的思路是发现规律，并应用规律求解问题。 第三部分 高频真题 1．甲乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，AB两地之间的距离是18（千米），甲在走到0.5小时时休息了半小时，继续前行到达B地．乙晚出发半小时，直接汽车到达B地．下面那个是描述甲的，哪个是描述乙的？为什么？ 2．下图是六年级同学参加课外兴趣小组情况统计情况，已知六年级有120人，三个兴趣小组分别有多少人？ 3．下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。 （1）像这样摆下去，第n个图形中有（    ）根火柴棒。 （2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。 4．如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形并解答有关问题． (1)按以上的规律依次铺下去，铺设第4个长方形地面共用 块黑瓷砖． (2)假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖，那么它是第 块长方形地面． (3)若白瓷砖每块4元，黑瓷砖每块3元，在问题(2)中共需花多少钱购买瓷砖？ (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请说明理由． 5．平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 6．小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形． （1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？ （2）如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？ 7．用6根同样长的小棒可以摆成一个正六边形（如图①），再接着摆下去（如图②、③、④），图⑧一共需要多少根小棒？ 8．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 9．有2元和5元的人民币共14张，共计43元，问2元和5元的各有多少张？ 10．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？ 11．如图，第二个图形是由第一个图形连接三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连接三边中点而得到的，以此类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数．如果第n个图形中的三角形个数为8057，n是多少？ 12．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。    13．在8×8的表格中可以数出多少如图所示的“凸”字形图形？（“凸”字形图形可旋转） 14．1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？ 15．标出下列各个图形各结点的奇偶性，并判断它们能否一笔画。                16． （1）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个●？ （2）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个●？ 17．下图是百世超市一月份统计的营业额中各种支付方式情况统计图． (1)财付通支付占百分之几？哪种支付方式所占百分比最多？ (2)你还了解到了哪些信息？ (3)看到上面的统计图，你想到了什么？ 18．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 19．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人，照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？ 20．同学们要去丛林玩探险游戏，每辆小车可以坐8人．     （1）38人最多可以坐满几辆车？还剩几人？     （2）要想38人一起出发，需要几辆车？ 21．现在有若干圆环，它的外直径5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起，拉紧后测其长度，请你完成下列各题． 圆环个数 1 2 3 4 5 6 7 … 拉紧后的长度（厘米） 5 9 13 17 21 … （1）根据表中规律，则8个环拉紧后的长度是多少厘米？ （2）设环的个数为a，拉紧后总长为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （3）若拉紧后的长度是77厘米，它是由多少个圆环扣成的？ 22．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明） 23．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示： 那么左下图表示的数字是（    ），在右下图中画出表示62的图。 24．通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。 （1）大正方形的边长可表示出为：（    ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（    ）   ； （2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？ （3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？ 25．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 26．先观察，再画一画，填一填。 （1）按照上面的规律画出第4个和第5个图形。 （2）照这样的规律：第6个图形中共有（        ）个白色小正方形，第n个图形中共有（        ）个黑色小正方形。 27．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？ （1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。 （2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（    ）个灰色小正方形。 28．一条直线分一个平面为两部分。两条直线最多分这个平面为四部分。问5条直线最多分这个平面为多少部分？ 29．如图摆放餐桌和椅子． (1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10，5张餐桌可以坐多少人？ (2)照此摆下去，x张桌子可以坐多少人？当x＝20时，可以坐多少人？ 30．如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答： （1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？ （2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？ 31．观察下面点阵中的规律，回答下面的问题： ①方框内的点阵包含了（   ）个点。 ②照这样的规律，第12个点阵中应包含多少个点？ 我是这样想的： 32． （1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（    ）枚。（用含n的代数式表示） （2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。 33．育才小学开展“红旗飘飘伴成长”征文比赛，获奖作品的奖项统计情况如图。 （1）二等奖比一等奖多4人，获奖人数共有多少人？ （2）获得二等奖的作品比获得三等奖的作品少百分之几？ （3）请再提出一个数学问题并解答。 34．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有多少个菱形？第幅图中有多少个菱形？ 35．如图是一种奶粉的成分含量情况统计图，看图回答下列问题。 （1）蛋白质的含量占奶粉总质量的百分之几？ （2）结合一定计算，补全条形统计图。 参考答案： 1．第一幅图是甲的，第二幅图是乙的 由题意可知，甲直接出发，且走了0.5小时时休息半小时，所以第一幅图符合题意．乙晚半小时出发，且中间没有休息，所以第二幅图符合图意． 2．美术：12人；文艺：36人；体育：72人 【分析】把参加课外兴趣小组总人数看成单位“1”，根据“求一个数的百分之几是多少用乘法计算”求出各兴趣小组的人数。 【详解】参加美术兴趣小组有： 120×10%＝12（人） 参加文艺兴趣小组的有： 120×30%＝36（人） 参加体育兴趣小组的有： 120×60%＝72（人） 答：参加美术小组12人；参加文艺小组36人；体育小组72人。 【点睛】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，找出单位“1”，然后根据分数乘法的意义进行求解。 3．（1） （2）64根 【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题； （2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。 【详解】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根 摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根 摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根 由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根 （2）当n＝21时 3×21＋1 ＝63＋1 ＝64（根） 答：摆21个正方形需要64个火柴棒。 【点睛】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。 4．（1）20 （2）6 （3）246元 （4）不存在．当相等的时候，所求出的n值不是整数，所以不可能． 【详解】(1)4×5=20(块) (2)(n+2)(n+3)=72   解得：n=6 (3)黑瓷砖块数=6×7=42(块)    白瓷砖块数=4×6+6=30(块) 42×3+30×4=126+120=246(元)     答：共需花246元买瓷砖． 5．16部分；5051部分 【分析】要使得分成的份数尽可能多，就要求直线的交点尽可能多，新增加的直线必须和每一条直线都相交，如图，给出比较简单的情况，0条直线，可以分成1部分，1条直线，可以分成2部分，2条直线，可以分成4部分，每一次增加的份数是连续的自然数列。 【详解】如图所示： 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，… a0＝1 a1＝a0＋1＝2 a2＝a1＋2＝4 a3＝a2＋3＝7 a4＝a3＋4＝11 … 答：5条直线可以把圆分成16部分；100条直线可以把圆分成5051部分。 【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，n条直线最多能把圆的内部分成部分。 6．（1）16张；（2）(10+2n)厘米． 【详解】（1）由图可知：第（1）个图形的小正方形卡纸个数为3×3-1，第（2）个图形的个数为3×4-2，第（3）个图形的个数为3×5-3，像这样拼下去，第（5）个图形用3×7-5=16张小正方形卡纸． （2）第n个图形周长=（3+2+n）×2=10+2n（厘米） 7．41根 【详解】6＋5×（8－1） ＝6＋5×7 ＝6＋35 ＝41（根） 答：图⑧一共需要41根小棒。 8．解：（I）n=1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n=2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n=3时，可坐8人，可以写成2×3=2 … 所以当n=10时，可坐2×10+2=22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （II）2n+2=26 2n=24 n=12 答：如果有26人，需要12张桌子． 【详解】【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 9．5元的有5张，2元的有9张。 【分析】假设全是面值5元的人民币，则应该是5×14＝70元，这比已知的43元多出了70﹣43＝27元，因为1张5元比1张2元的人民币多5﹣2＝3元，由此即可得出面值是2元的人民币有27÷3＝9张，由此即可解答问题。 【详解】假设全是面值5元的人民币，则2元的人民币有： （5×14﹣43）÷（5﹣2） ＝27÷3 ＝9（张） 则5元的人民币有：14﹣9＝5（张） 答：5元的有5张，2元的有9张。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，采用假设法即可解答。 10．26部分 【分析】先从最简单的情况分析，一个长方形把平面分成两部分，然后考虑每增加一个长方形，会增加几部分，找规律求解。 【详解】一个长方形把平面分成两部分。第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分。 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分。这两个长方形有公共部分（如下图，标有数字9的部分）。还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分。 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4＝12个部分。而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分。 所以三个长方形最多能将平面分成10＋12＋4＝26。 答：三个长方形最多能将平面分成26部分。 【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，n个长方形最多可把平面分成部分。 11．解：第一个图形中三角形个数：1个； 第二个图形中三角形个数：1×4+1=5（个）； 第三个图形中三角形个数：2×4+1=9（个）； 第四个图形中三角形个数：3×4+1=13（个）； 第n个图形中三角形个数： （n-1）×4+1=（4n-3）（个） 4n-3=8057，n=2015． 答：n是第2015个图形． 【详解】由已知图形中三角形个数推出三角形个数与图形个数之间的数量关系式，再根据题意代入数据计算即可解答． 12．见详解 【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。 【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。 按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：    【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 13．168个 【分析】如图，在每一个2×3的长方形里面，都可以找到两个目标图形，所以数出2×3的长方形个数，乘2得到目标图形的个数。 【详解】如图所示： 每2行可以数出6个2×3的长方形，每两列也可以数出6个2×3的长方形； （个） （个） 答：可以数出168个如图所示的“凸”字形图形。 【点睛】本题考查的是图形计数问题，可以将数目标图形转化成比较容易数的长方形。 14．19 【详解】解：设这6个数中最小的数为x，据题意可得方程： x＋（x＋3）＋…＋（x＋15）＝159 6x＋（3＋6＋…＋15）＝159 6x＋45＝159 6x＝114 x＝19 答：这6个数中最小的是19。 15． 能够一笔画的有图1、2、4。 【解析】如图，分析每幅图中奇点的个数，根据奇点的个数判断能否一笔画，其中图3中间的一横和外面不相连，相当于是两个单独的图形，一定不能一笔画。 【详解】如图所示： 图3是两个图形，彼此没有公共点，一定不能一笔画； 图1、2有两个奇点，图4没有奇点，都可以一笔画。 【点睛】本题考查的是一笔画问题，当奇点个数是0个或2个时，可以一笔画，多于2个，不能一笔画。 16．（1）4n个 （2）50个 【分析】第1个图形中有●的个数：4个，4＝1×4； 第2个图形中有●的个数：8个，8＝2×4； 第3个图形中有●的个数：12个，12＝3×4； …… 第n个图形中有●的个数：4n个。 【详解】（1）4×n＝4n（个） 答：第n个图形需要4n个●。 （2）200÷4＝50（个） 答：摆第50个图形需要用200个●。 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 17．(1)1－40%－16%－20%－18%＝6%　支付宝 (2)使用财付通支付的最少等．(答案不唯一) (3)现在购物的支付方式越来越多，用现金支付的人逐渐减少．(答案不唯一，合理即可) 【解析】略 18．48个 【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）； 第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）； 第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）； …… 第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2； 【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11， 132－112 ＝169－121 ＝48（个） 答：第6个图形最外圈有48个小正方形。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。 19．42人；9张 【详解】9×4＋6＝42（人） 38－10＝28（人）   28÷4＝7（张）   7＋2＝9（张） 答：并成一排可以坐42人；如果一共有38人，需要并9张桌子才能坐下。 20．（1）解：38÷8=4（辆）……6（人） 答：最多可以坐满4辆，还剩6人 （2）解：4＋1=5（辆） 答：需要5辆车． 【详解】38人最多可以坐满4辆车，还剩6人，第一小题是用乘法口诀“四八三十二”来帮助计算． 还剩下6人，也需要一辆车，虽然没有坐满，但是也需要多开一辆车．所以38人一起出发，需要5辆车 21．（1）33厘米 （2）S＝1＋4a （3）19个 【分析】根据题干可知：1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格。 （1）由此即可得出规律：当有n个环时，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米；据此求出n＝11时的长度即可； （2）根据上面规律，代入数据即可得出用字母a、s表示的关系式； （3）设是有a个环扣成的，由上面得出的关系式即可得出一个一元一次方程，解这个方程即可。 【详解】（1）观察上表可得：当有n个环时，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米； 所以当n＝8时，总长度是：1＋8×4＝33（厘米） 答：8个圆环拉紧后的长度是33厘米。 （2）解：设环的个数为a，拉紧后总长为S， 则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式是： S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a，即：S＝1＋4a； 答：这个关系式是：S＝1＋4a。 （3）解：设是有a个环扣成的，根据上述关系式可得： 1＋4a＝77 4a＝76 a＝19 答：是有19个环组成的。 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 22．90分钟 【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。 【详解】画图如下。 30×3＝90（分钟） 答：需要90分钟。 【点睛】解决此题的关键是确定一个母细胞分裂成8个子细胞需要分裂的次数。 23．20；画图见详解 【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。 【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20； 62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下： 【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。 24．（1）a＋b；（a＋b）2； （2）这四个图形的面积和是a2＋b2＋2ab； （3）我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 【分析】（1）由图可知大正方形的边长为（a＋b），根据正方形的面积公式S＝a²，即可用字母表示出大正方形的面积； （2）根据长方形的面积公式S＝a×b，正方形的面积公式S＝a²，分别求出两个小长方形①和②的面积，两个小正方形③和④的面积，再将这四个图形的面积相加即可解答； （3）通过观察图形，可知大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，用字母表示出来即可。 【详解】（1）大正方形的边长为（a＋b）；用字母表示大正方形的面积是：（a＋b）²。 （2）①的面积a×b＝ab ②的面积a×b＝ab ③的面积a×a＝a² ④的面积b×b＝b² ab＋ab＋a²＋b²＝a²＋b²＋2ab 答：两个长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是a²＋b²＋2ab。 （3）答：我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论： （a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 【点睛】本题主要考查用字母表示数和探索图形的规律。 25．（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 26．（1）见详解 （2）6； 【分析】（1）第1个图形一共有（3×3）个小正方形，有1个白色小正方形，有（3×3－1）个黑色小正方形； 第2个图形一共有（3×4）个小正方形，有2个白色小正方形，有（3×4－2）个黑色小正方形； 第3个图形一共有（3×5）个小正方形，有3个白色小正方形，有（3×5－3）个黑色小正方形； 第4个图形一共有（3×6）个小正方形，有4个白色小正方形，有（3×6－4）个黑色小正方形； 第5个图形一共有（3×7）个小正方形，有5个白色小正方形，有（3×7－5）个黑色小正方形； 据此画出第4个和第5个图形。 （2）第6个图形一共有（3×8）个小正方形，有6个白色小正方形，有（3×8－6）个黑色小正方形； 第n个图形一共有3（n＋2）＝（3n＋6）个小正方形，有n个白色小正方形，有3n＋6－n＝（2n＋6）个黑色小正方形。 【详解】（1）3×6－4 ＝18－4 ＝14（个） 第4个图形有4个白色小正方形，有14个黑色小正方形。 如图： 3×7－5 ＝21－5 ＝16（个） 第5个图形有5个白色小正方形，有16个黑色小正方形。 如图： （2）3×8－6 ＝24－6 ＝18（个） 第6个图形有6个白色小正方形，有18个黑色小正方形； 3（n＋2）＝（3n＋6）个 3n＋6－n＝（2n＋6）个 第n个图形中共有（2n＋6）个黑色小正方形。 【点睛】分析图形找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。 27．（1）；；见详解；（2）41 【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。 （2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。 【详解】（1） （2）2×20＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 第20幅图形中有41个灰色小正方形。 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 28．16部分 【分析】我们可以从最简单的情况分析，先考虑1条直线、条直线、3条直线的情况，要使得分成的份数尽可能多，那么新增加的这条直线要和原来的每一条直线都相交。 【详解】我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表： 直线条数 1 2 3 4 5 6 … 最多可分成的部分数 2 4 7 11 16 22 … 后一项与前一项的差 2 3 4 5 6 … 由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将平面分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝＋1个部分。 答：5条直线最多分这个平面为16部分。 【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，解题的关键是找出规律并应用规律求解问题。 29．(1)22人 (2)（4x＋2）人       82人 【详解】(1)5×4+2=22（人）答：5张餐桌可以坐22人． (2)当x＝20时，4x＋2＝4×20+2=82（人） 答：可以坐82人． 30．（1）五层的“宝塔”最下层包含9个小三角形，六层有11个，七层有13个，n层有2n－1个． （2）整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形，六层有36个，七层有49个，n层有n2个． 【分析】（1）第一个图形的最下面一层是1个三角形，第二个图形最下面的一层是（1＋2）个三角形，第三个图形最下面的一层是（1＋2＋2）个三角形……，则第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2个三角形，据此即可解答问题． （2）第一个图形有1层，有1＝12个三角形，第二个图形有2层，有1＋3＝22个三角形，第三个图形有3层，有1＋3＋5＝32个三角形，第三个图形有4层，有1＋3＋5＋7＝42个三角形，据此推测第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形． 【详解】（1）五层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＝9 六层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＝11 七层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝13 第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2＝2n－1个 （2）第五个图形：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36＝62 第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝72 第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形． 【点睛】解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可． 31．①13； ②34个；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34（个）。 【分析】①第（1）个点阵有1个点，第（2）点阵有4个点，第（3）个点阵有7个点，第（4）个点阵有10个点，从第（2）开始，每一个点阵比前一个多3个点，则第（5）有10＋3＝13个点。 ②竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【详解】①方框内的点阵包含了13个点。 ②12＋11＋11＝34 （个）；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【点睛】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。 32．（1）3n＋1 （2）67枚 【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚； （2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。 【详解】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。 （2）当n＝22时，代入到式子中得： 3n＋1＝3×22＋1 ＝66＋1 ＝67 答：第22个图形中有67枚黑色棋子。 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 33．（1）20人； （2）15%； （3）获得一等奖有多少人？ 20×15%＝3（人） 答：获得一等奖有3人。 【分析】（1）把获奖的总人数看作单位“1”，根据二等奖比一等奖多4人，又知二等奖比一等奖多的百分率是35%－15%＝20%，相差的数量÷相差得分率＝单位“1”的量，据此解答； （2）用获得三等奖的作品的百分率减去获得二等奖的作品的百分率即可； （3）根据图中相关信息提出符合题意的问题即可，答案不唯一。 【详解】（1）4÷（35%－15%） ＝4÷0.2 ＝20（人） 答：获奖人数共有20人。 （2）50%－35%＝15% 答：获得二等奖的作品比获得三等奖的作品少15%。 （3）获得一等奖有多少人？ 20×15%＝3（人） 答：获得一等奖有3人。 【点睛】本题关键是读懂图，找出单位“1”，然后根据它们各占总数量的百分之几进行求解。 34．7个；（2n－1）个 【分析】根据图意，第1幅图中有1个菱形，第二个图中有3＝2×2－1，第三个图中有5＝2×3－1，第4幅图有7＝2×4－1，以此类推，则第n个图中，有（2n－1）个菱形。注意分析菱形的个数与第几个图形的对应关系。 【详解】由分析可知： 则第4幅图中有： 2×4－1 ＝8－1 ＝7（个） 则第n个图中，有（2n－1）个菱形。 【点睛】此题考查的是找规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律并运用规律。 35．（1）25% （2）见详解 【分析】（1）把总量看成单位“1”，用总量减去乳脂、乳糖以及其他占的百分比即可得蛋白质的含量占奶粉总量的百分比； （2）用蛋白质的含量除以蛋白质含量所占的百分比就是这种奶粉的质量；根据百分数乘法的意义，用这种奶粉的总克数乘乳脂所占的百分比，即可求出乳脂的含量，再根据同样的方法分别求出乳糖和其他的含量，在图中绘制出各种含量的直条图，标上数据等即可。 【详解】（1）1－30%－36%－9%＝25% 答：蛋白质的含量占奶粉总质量的25%。 （2）25÷25%＝100（克） 乳脂：100×30%＝30（克） 乳糖：100×36%＝36（克） 其他：100×9%＝9（克） 补图如下： 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的实际应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$