08.貌同实异明晰原理一导体棒在含不同电学元件电路中运动情况分析-《中学生数理化》高考理化2024年7-8月刊

■河南省开封高级中学 毛广文(特级教师、正高级教师) 导体棒在磁场中做切割磁感线运动是电 学和磁学中常见的典型模型,导体棒在磁场 中做切割磁感线运动的动态分析问题往往会 包含多个知识点的综合应用,综合性强,类型 繁多,有利于考查同学们综合运用所学知识, 多层面、多角度、全方位分析问题和解决问题 的能力。 求解导体棒在磁场中做切割磁感线运动 的动态分析问题时,需要抓住联系电磁感应 与力学知识的桥梁———磁场对感应电流的安 培力,弄清回路中不同的电学元件对电路的 影响,灵活选用动力学规律和电磁感应定律 列式求解。下面逐类分析,供同学们参考。 一、导体棒与导轨上的定值电阻构成回路 图1 如图1所示,两根足够长 光滑金属导轨 MN、PQ 互相 平行,竖直放置,间距为l,导 轨顶端连接定值电阻R,一根 质量为m 的导体棒与导轨垂 直且始终与导轨接触良好,导 轨与导体棒的电阻均不计,磁 感应强度为B 的匀强磁场与 框架平面垂直。初始状态下,将开关S断开, 让导体棒由静止开始自由下落,经过一段时 间后,将开关S闭合,从开关S闭合瞬间开始 计时,导体棒将如何运动呢? 分析:闭合开关S之前,电路处于断路状 态,无感应电流产生,导体棒在重力作用下做 自由落体运动;开关S闭合瞬间,导体棒中的 感应电流将会使导体棒受到竖直向上的安培 力作用。设开关S闭合瞬间导体棒的速度为 v,导体棒切割磁感线产生的感应电动势E= Blv,回路中的感应电流I= E R= Blv R ,导体棒 所受安培力大小F安=BIl= B2l2v R 。 因为安培力大小和重力大小关系未知, 所以需要分类讨论。若B 2l2v R =mg ,则导体 棒做匀速运动,其v-t图像如图2甲所示;若 B2l2v R <mg ,则导体棒做加速运动,根据牛顿 第二定律得mg- B2l2v R =ma ,其加速度a= g- B2l2v mR 随着导体棒速度v 的增大而减小, 当加速度减小到零时导体棒做匀速运动,其 v-t图像如图2乙所示;若 B2l2v R >mg ,则导体 棒做减速运动,根据牛顿第二定律得B 2l2v R - mg=ma,其加速度a= B2l2v mR -g 随着导体 棒速度v 的减小而减小,当加速度减小到零 时导体棒做匀速运动,其v-t图像如图2丙 所示。 图2 综上所述,开关S闭合瞬间,因导体棒所 受安培力大小和重力大小关系不同,故导体 棒可能做匀速运动,也可能做加速度逐渐减 小的加速运动,还可能做加速度逐渐减小的 减速运动,若导轨足够长,磁场范围足够大, 则导体棒的运动最终都将趋于稳定,即做匀 速直线运动。 例 1 如图3所示,空间存在磁感应强 23 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2024年7—8月 度B=0.5 T,方向竖直向下的匀强磁场, MN、PQ 是水平放置的两根平行长直导轨, 其间距L=0.2 m,定值电阻R=0.3 Ω接在 导轨一端,质量m=0.1 kg,接入电路的电阻 r=0.1 Ω的导体棒跨接在导轨上,已知导体 棒和导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0 时刻开始,对导体棒施加一个方向水平向左, 大小F=0.45 N的恒定拉力,使其从静止开 始沿导轨滑动,整个过程中导体棒始终保持与 导轨垂直且接触良好。取g=10 m/s2。 图3 (1)分析导体棒的运动性质。 (2)求导体棒所能达到的最大速度。 (3)试定性画出导体棒的速度—时间图像。 解析:(1)导体棒做切割磁感线运动,产 生的感应电动势E=BLv,回路中的感应电 流I= E R+r ,导体棒受到的安培力 F安 = BIL,导体棒在运动过程中受到拉力F、安培 力F安 和摩擦力f 三个力作用,根据牛顿第 二定律得F-μmg-F安=ma,解得a= F m- μg- B2L2v m(R+r) ,因此随着速度v 的增大,安 培力F安 增大,加速度a减小,当加速度a减 小到零时,速度达到最大,之后导体棒做匀速 直线运动,即导体棒先做加速度逐渐减小的 加速运动至加速度减小到零,再做匀速运动。 (2)当导体棒达到最大速度时,有 F- μmg- B2L2vmax R+r =0 ,解得vmax=10 m/s。 (3)根据(1)和(2)中分析,作出导体棒的 速度—时间图像如图4所示。 图4 二、导体棒与导轨上的电容器构成回路 如图5所示,两根足够长光滑金属导轨 图5 MN、PQ 互 相 平 行,竖 直 放 置,间距为l,导轨顶端连接电 容为C 的电容器,一根质量为 m 的导体棒与导轨垂直且始 终与导轨接触良好,导轨与导 体棒的电阻均不计,磁感应强 度为B 的匀强磁场与框架平 面垂直。初始状态下,电容器 不带电。现将导体棒由静止释放,导体棒将 如何运动呢? 分析:设导体棒下滑的速度大小为v,则 此时导体棒切割磁感线产生的感应电动势 E=Blv,设此时电容器极板上的电荷量为 Q,则根据电容的定义式C= Q U ,U=E,解得 Q=CBlv。因为导体棒加速下落,所以导体 棒切割磁感线产生的感应电动势持续增大, 电容器极板上的电荷量持续增加,即导体棒 中存在充电电流i,导体棒受到的安培力大小 F安=Bil,方向竖直向上。 充电电流i的大小可以利用在时间Δt 内电容器极板上电荷量的变化来求解。设在 t~(t+Δt)的时间间隔Δt内流经导体棒的 电荷量为 ΔQ,这也是电容器两极板在t~ (t+Δt)的时间间隔Δt内增加的电荷量,其 大小ΔQ=CBlΔv,式中Δv为导体棒在此过 程中的速度变化量,根据电流的定义式i= ΔQ Δt ,结合加速度的定义式a= Δv Δt ,可知电流i 的表达式可变形为i= ΔQ Δt= CBlΔv Δt =CBla 。 对导体棒进行受力分析,导体棒受重力 mg 和安 培 力 F安 作 用,根 据 牛 顿 第 二 定 律 得 mg-Bil=ma,将电流i的表达式i=CBla 代入 得 mg -CB2l2a = ma,解 得 a = mg m+CB2l2 ,为定值。因此导体棒将做初速度 为零的匀加速直线运动。 推论:顶端接连电容器的导轨与水平面 间的夹角为θ,磁场与导轨平面垂直,若导轨 光滑,导体棒从导轨顶端开始下滑,则它将做 33 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2024年7—8月 加速度a= mgsin θ m+CB2l2 的匀加速直线运动;若 导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ,导体棒 从导轨顶端开始下滑,则它将做加速度a= mgsin θ-μmgcos θ m+CB2l2 的匀加速直线运动。 例 2 如图6所示,相距为L 的两光滑 平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上,左端 接一电容器C,阻值为R 的定值电阻通过三 角旋钮开关S与两导轨连接,一根质量为m 的金属杆垂直于导轨放置,且与导轨始终接 触良好,两导轨间存在垂直于导轨平面向下 的匀强磁场,磁感应强度为B。三角旋钮开 关S仅1、2之间导电,开关S向左旋时能将 定值电阻R 和电容器C 接入同一回路,向右 旋时能将定值电阻R 和金属杆接入同一回 路,初始状态下,1、2连接电容器C 和金属 杆。现用恒力F 向右拉金属杆,使其由静止 开始运动,经过一段时间后撤去力F,同时旋 转开关S,此时金属杆的速度大小为v0,不计 金属杆和导轨的电阻。下列说法中正确的 是( )。 图6 A.撤去力F 之前,金属杆做变加速直线 运动 B.撤去力F 同时向右旋开关S,金属杆 做加速度逐渐减小的减速运动 C.恒力F 对金属杆做的功等于 1 2mv 2 0 D.若分别向左右旋开关S,则两种情况 下通过电阻R 的电荷量之比为CB2L2∶m 解析:撤去力 F 之前,对金属杆进行受 力分析,金属杆受到拉力F 和安培力F安 作 力,根据牛顿第二定律得F-F安=ma,其中 F安=BIL,对电容器有 Q=CU=CBLv,充 电电流I= ΔQ Δt=CBL Δv Δt=CBLa ,解得a= F CB2L2+m ,为定值,因此金属杆做匀加速直 线运动,选项A错误。撤去力F 同时向右旋 开关S,此时仅有电阻R 和金属杆接入同一 回路,且金属杆有向右的速度,根据右手定则 与左手定则可判定 安 培 力 向 左,且 F安 = BIL= B2L2v R =ma ,解得a= B2L2v mR ,因此金 属杆将向右做加速度逐渐减小的减速运动, 选项B正确。撤去力F 之前,根据动能定理 得WF+W 安 = 1 2mv 2 0,解得 WF= 1 2mv 2 0- W 安,其中安培力做功 W 安 为负,因此恒力F 对金属杆做的功 WF 大于 1 2mv 2 0,选项C错 误。撤去力 F 时,电容器极板所带电荷量 Q=CBLv0。当向左旋开关S时,电容器向 电阻R 供电,通过电阻R 的电荷量q1=Q; 当向右旋开关S时,对金属杆应用动量定理 得-BIL·Δt=0-mv0,因金属杆做减速运 动切割磁感线而通过电阻R 的电荷量q= I·Δt,即通过电阻R 的电荷量q2=q。联立 以上各式解得 q1 q2 = CB2L2 m ,选项D正确。 答案:BD 三、导体棒与导轨上的电感线圈构成 回路 图7 如图7所示,两根足够 长的光滑金属导轨 MN、PQ 互相平行,竖直放置,间距为 l,导轨顶端连接自感系数为 L,直流电阻为零的电感线 圈,一根质量为 m 的导体棒 与导轨垂直且始终与导轨接 触良好,导轨与导体棒的电 阻均不计,磁感应强度为B 的匀强磁场与框 架平面垂直。现将导体棒由静止释放,导体 棒将如何运动呢? 分析:导体棒在重力 mg 作用下下滑做 切割磁感线运动,产生逐渐增大的动生电动 势Blv和感应电流i,引起线圈自感阻碍电流 的变化。因为电感线圈阻碍感应电流的变 化,感应电流又与导体棒的加速度相互制 约,所以电感线圈必对导体棒的运动产生 影响。 43 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2024年7—8月 回路中的总电阻为零,则电感线圈中产 生的自感电动势与导体棒切割磁感线产生的 动生电动势相等,即Blv=L Δi Δt ,两边求和 得Bl∫vΔt=L∫Δi,即 Blx=Li,解得i= Blx L ,则 导 体 棒 所 受 安 培 力 F安 =Bil= B2l2x L 。因此导体棒在下滑过程中所受安培 力与位移成正比。 导体棒在重力 mg 和安培力F安 作用下 运动,根据牛顿第二定律得 mg-Bil=ma, 将电流i 的表达式i= Blx L 代 入 得 mg- B2l2x L =ma ,解得a=g- B2l2x mL 。因此导体 棒做加速度逐渐减小的加速运动。 说明:电感线圈的介入对导体棒的运动 产生影响,犹如对电流的阻碍作用一样,是 “阻碍而不是阻止”,因此电流的变化较无电 感线圈时要迟缓一些,导体棒的加速度和速 度的变化也会相应减慢。掌握这个思维模型 有助于同学们实现从感性认识到理性认识的 飞跃。 图8 例 3 如图8所示,两 平行金属导轨 MN、PQ 竖直 放置,导轨间距为l,上端接 有自感 系 数 为 L 的 电 感 线 圈,其直流电阻可以忽略不 计,装置处于垂直于纸面向里 的匀强磁场中,磁感应强度为 B。一根质量为 m 的金属棒 由静止开始下滑,金属棒与导轨的电阻不计, 金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ,导轨足 够长,金属棒与导轨始终接触良好。在金属 棒加速下滑h 距离的过程中,下列判断正确 的是( )。 A.金属棒做匀加速直线运动 B.金 属 棒 下 滑 h 距 离 时 的 速 度v= 2gh- B2lh2 m C.金属棒下滑h 距离时其两端的电势 差U= 2ghB2l2- B4l4h2 mL D.金属棒下滑 h 2 距离时的加速度a= g- B2l2h 2mL 解析:金属棒由静止开始做切割磁感线 运动产生感应电动势,与电感线圈组成的回 路中有感应电流产生,电感线圈中产生的自 感电动势与金属棒切割磁感线产生的动生电 动势 相 等,即 Blv=L Δi Δt ,两 边 求 和 得 Bl∫vΔt=L∫Δi,即Blx=Li,解得i=BlxL ,则 金属棒所受安培力F安 =Bil= B2l2x L ,因此 金属棒在下滑过程中所受安培力与位移成正 比,即金属棒并不是做匀加速直线运动,选项 A错误。在金属棒下滑h 距离的过程中,根 据动能定理得 mgh-F安 h= 1 2mv 2,其中 F安= B2l2 h 2 L ,解得v= 2gh- B2l2h2 mL ,此 时 金 属 棒 两 端 的 电 势 差 U = Blv = 2ghB2l2- B4l4h2 mL ,选项 B错误,C正确。 金属棒下滑 h 2 距离时,金属棒所受安培力 F安'= B2l2 h 2 L ,根据牛顿第二定律得 mg- F安'=ma,解得a=g- B2l2h 2mL ,选项D正确。 答案:CD 总结:导体棒与不同电学元件构成回路, 因电学元件在电路中的作用不同,将造成导 体棒的运动情况截然不同。因此处理导体棒 在含不同电学元件电路中的动态分析问题, 不仅需要熟练掌握相关知识和规律,还要有 较强的分析能力、逻辑推断能力,以及综合运 用物理理论知识和数学方法解决实际问题的 能力等。 (责任编辑 张 巧) 53 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2024年7—8月