06.静电场中话“四图”-《中学生数理化》高考理化2024年7-8月刊

■四川省成都市航天中学校 张海军 函数图像在高中物理中应用广泛,它不 仅能够形象、直观地描述物理过程,而且能够 反映物理量间的函数关系,是应用数学知识 解决物理问题的重要方法之一。 静电场中常见的函数图像有v-t图像、 E-x 图像、φ-x 图像、Ep-x 图像等,弄清这些 图像的物理意义可以帮助同学们完成对场 强、电势、电势差、电势能等概念的理解,升华 对运动学公式、牛顿运动定律、功能关系、动 能定理、能量守恒定律等规律的应用,有助于 培养同学们的物理学科核心素养。 一、速度—时间(v-t)图像 电场中的v-t图像反映了带电物体的速 度v 随时间t的变化规律,因此从图像中可 以读出不同时刻的瞬时速度。根据加速度的 定义式a= Δv Δt 可知,v-t图像上某点切线的 斜率表示加速度;根据位移的定义式x=vt 可知,v-t图像与横轴所围图形的面积表示 位移。 例 1 如图1甲所示,空间有一条直线 表示电场线,A、B、C 是这条电场线上的三个 点,将一个带负电的粒子从 A 点由静止释 放,粒子从A 点运动到C 点过程中的v-t图 像如图1乙所示。已知B 点切线斜率最大, A 点电势为零,粒子的比荷为1×108 C/kg, 粒子自身重力忽略不计。下列说法中正确的 是( )。 A.B 点的场强E=2×10-4 N/C B.B、C 点的电势分别为4 V和7 V C.A、B、C 三点间的电势差UAB=8 V, UBC=16.5 V D.若粒子的质量已知,则可计算出粒子 在A、B、C 三点的电势能 图1 解析:因为v-t图像上某点切线的斜率 表示加速度,所以粒子运动到B 点时的加速 度a= Δv Δt=2×10 4 m/s2,根据牛顿第二定律 得qE=ma,解得E=2×10-4 N/C,选项 A 正确。根据动能定理可得,粒子从A 点运动 到B 点的过程中有-qUAB= 1 2mv 2 B-0,粒子 从B 点运动到C 点的过程中有-qUBC= 1 2mv 2 C- 1 2mv 2 B,解得 UAB =-8 V,UBC = -16.5 V,选项C错误。根据φA=0,UAB= φA-φB,解得φB=8 V,根据UBC=φB-φC, 解得φC=24.5 V,选项B错误。若已知粒子 的质量,则根据比荷可求出其电荷量,且A、 B、C 三点的电势已求出,故根据电势能与电 势的关系Ep=qφ,可求出粒子在A、B、C 三 点的电势能,选项D正确。 答案:AD 点评:本题先利用v-t图像上某点切线 的斜率求得加速度a,确定场强 E;再 根 据 A、B、C 三点的瞬时速度求得对应的动能,并 结合动能定理得到任意两点的电势差,从而 求出电势、电势能等。 二、场强—位置坐标(E-x)图像 电场中的E-x 图像反映了场强E 随位 52 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月 置坐标x 的变化规律,根据电势差与场强的 关系U=Ex 可知,E-x 图像与横轴所围图形 的面积表示电势差。 图2 例 2 电场中有一 条与 x 轴 重 合 的 电 场 线,电场线上各点的电场 强度E 与位置坐标x 的 关系如图2所示,E0 为 已 知 量。一 个 质 量 为 m,带电荷量为+q 的粒 子,从原点O 沿x 轴正方向运动,已知OA= AB=BC=d,且O 点电势为零,粒子自身重 力忽略不计,规定电场强度正方向为x 轴正 方向,则下列说法中正确的是( )。 A.B 点的电势为零 B.A、B、C 三点的电势之比为2∶3∶2 C.O 与A、A 与B、B 与C 间的电势差 之比为2∶1∶1 D.粒子在A、B、C 三点的电势能之比为 2∶3∶2 解析:根据E-x 图像可知,OB 段场强为 正,即场强方向沿x 轴正方向,因为沿电场线 方向,电势逐渐降低,所以φΒ<0,选项 A错 误。根据E-x 图像与横轴所围图形的面积 表示电势差可知,UOA=E0d,UAB= 1 2E0d , UBC=- 1 2E0d ,因此O 与A、A 与B、B 与C 间的电势差之比为2∶1∶(-1),选项C错 误。根据UOA=φO-φA 得φA=-E0d,同理 得φB =- 3 2E0d ,φC=-E0d,因此φA ∶ φB∶φC=2∶3∶2,选项B正确。根据Ep= qφ,粒子带正电,可知粒子的电势能与电势成 正比,即粒子在 A、B、C 三点的电势能之比 为2∶3∶2,选项D正确。 答案:BD 点评:明 确 E-x 图 像 与 横 轴 所 围 图 形 的面积表 示 电 势 差 是 求 解 本 题 的 关 键,先 求得电势 差,再 根 据 电 势 差 与 电 势 的 关 系 可求得 A、B、C 三 点 的 电 势,根 据 电 势 能 与电势的关系 可 求 得 粒 子 在 A、B、C 三 点 的电势能。 三、电势—位置坐标(φ-x)图像 电场中的φ-x 图像反映了电势φ随位置 坐标x 的变化规律,根据电势差与场强的关 系U=Ex,即 φ0-φ=Ex,变 形 得 φ= -Ex+φ0,可知φ-x 图像上某点切线的斜率 表示-E,即切线斜率的绝对值表示该点电 场强度的大小。 例 3 如图3所示,粗糙绝缘的水平面 附近存在一平行于水平面的电场,其中某一 区域的电场线与x 轴平行,x 轴上各点的电 势φ 与位置坐标x 的关系如图3中曲线所 示,图中虚线为该曲线上点(0.15,3)的切线。 现将一质量m=0.2 kg,带电荷量q=+2× 10-8 C的滑块P(可视为质点),从x=0.1 m 处由静止释放,其与水平面间的动摩擦因数 μ=0.02,取重力加速度g=10 m/s2,下列说 法中正确的是( )。 图3 A.滑块P 在运动过程中的加速度先减 小后增大 B.x=0.15 m处的电场强度大小为2× 106 N/C C.滑块P 在运动过程中的最大速度为 0.2 m/s D.滑 块 P 最 终 将 停 在 位 置 坐 标 为 0.15 m到0.3 m之间的某位置 解析:根据φ-x图像上某点切线斜率的绝 对值表示电场强度的大小可知,x=0.15 m处 的电场强度大小E= Δφ Δx=2×10 6 V/m,选项 B正确。滑块P 在x=0.15 m 处所受静电 力大小F=qE=0.04 N,所受滑动摩擦力大 小f=μmg=0.04 N,因此滑块P 在运动至 62 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月 x=0.15 m处之前所受静电力大于滑动摩擦 力,滑块P 做加速度逐渐减小的加速运动, 在运动至x=0.15 m 处之后所受静电力小 于滑动摩擦力,滑块P 做加速度逐渐增大的 减速运动,选项 A正确。在x=0.15 m处, 滑块P 所受静电力等于滑动摩擦力,速度最 大。x=0.1 m处与x=0.15 m处间的电势 差U=4.5×105 V-3×105 V=1.5×105 V, 根据动能定理得qU-fx= 1 2mv 2-0,解得 最大速度v=0.1 m/s,选项C错误。假设滑 块P 最终在x=0.3 m处停下,则在滑块P 从x=0.1 m处运动到x=0.3 m处的过程 中,滑块P 克服摩擦力做的功 W 摩=0.04× 0.2 J=8×10-3 J,静电力做的功 W 静=2× 108×3×105 J=6×10-3 J,W 摩>W 静,因此滑 块P 将不能运动至x=0.3 m处,而应该停 在位置坐标为0.15 m到0.3 m之间的某位 置,选项D正确。 答案:ABD 点评:根据φ-x 图像上某点切线斜率的 绝对值表示该点场强的大小,先利用E= F q 求得静电力,再结合牛顿第二定律可求出滑 块的加速度,从而可判定滑块的运动情况;从 φ-x 图像中读出任意位置的电势,可求得两 点间的电势差,再利用动能定理可求出滑块 的速度,从而可判断滑块最终停止的位置。 四、电势能—位置坐标(Ep-x)图像 电场中的Ep-x 图像反映了电势能Ep 随 位置坐标x 的变化规律,根据静电力做功与 电势能变化的关系F电 x=Ep0-Ep,变形得 Ep=-F电 x+Ep0,可知Ep-x 图像上某点切 线的斜率表示-F电,即切线斜率的绝对值表 示带电物体在该点所受静电力的大小。 图4 例 4 一带负电的粒 子只在静电力作用下沿x 轴正方向运动,其电势能 Ep 随位移x 变化的关系 如图4所示,其中0~x2 段是对称的曲线,x2~x3 段是直线。下列说法中正 确的是( )。 A.x1 处电场强度为零 B.x1、x2、x3 处电势φ1、φ2、φ3 的关系满 足φ1<φ2<φ3 C.粒子在x2~x3 段运动时的速度v 随 位移x 均匀减小 D.x2~x3 段处为匀强电场 解析:根据Ep-x 图像上某点切线斜率的 绝对值表示静电力的大小可知,x1 处切线斜 率为零,则粒子在该处所受静电力为零,所以 x1 处场强为零,选项A正确。根据电势能与 电势的关系Ep=qφ 可知,粒子带负电时电 势能越大,电势越低,所以φ1>φ2>φ3,选项 B错误。x2~x3 段是直线,斜率不变,则静 电力不变,所以粒子做匀变速直线运动,即速 度v随时间t均匀变化而不是随位移x 均匀 减小,选项C错误。粒子在x2~x3 段运动时 所受静电力不变,场强也不变,是匀强电场, 选项D正确。 答案:AD 点评:根据Ep-x 图像上某点切线的斜率 表示静电力可知,切线斜率大小等于静电力 大小,切线斜率正负反映静电力方向,因此利 用切线斜率可判定静电力,进而可判定场强; Ep-x 图像反映了电势能Ep 随位置坐标x 的 变化规律,利用W=-ΔEp 可判定静电力做 功的情况,进而利用 Ep=qφ 可判定电势的 变化情况。 总之,静电场中的图像问题是高考的考 查热点,也是同学们学习的难点,要想正确解 决图像问题,则应根据物理规律写出相应表 达式,在弄清图像斜率或者图像与坐标轴所 围图形面积的物理含义的基础上,厘清基本 概念和各物理量之间的关系,从而达到解决 相关问题的目的。 1.如图5甲所示,在一静电场中,将一个 带正电的粒子从A 点由静止释放,粒子恰能 在A、C 两点间沿直线做往复运动。粒子从 A 点运动到C 点过程中的v-t图像如图5乙 所示。已知B 是AC 的中点,A、B、C 三点的 72 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月 场强大小分别为EA、EB、EC。设A、B、C 三 点的电势分别为φA、φB、φC,粒子在A、B、C 三点的电势能分别为EpA、EpB、EpC,不计粒子 自身重力,则( )。 图5 A.EA>EB B.EpA>EpB C.φB>φC D.UAB=UBC 2.空间内有一沿x 轴分布的电场,其电 场强度E 随x 变化的图像如图6所示,A、 B、C、D 是x 轴上的四个点,其坐标分别为 (-x1,0)、(x1,0)、(x2,0)、(x3,0),图像关于 坐标原点 O 中心对称,下列说法中正确的 是( )。 图6 A.A 点的电势比B 点的高 B.将正电荷由A 点移到C 点,其电势能 先增大后减小 C.将一负电荷从A 点由静止释放,若它 只受静电力作用,则它将在A、B 两点间沿直 线做往复运动 D.负电荷在A、B、C、D 四个点中位于C 点时的电势能最大 3.如图7甲所示,绝缘粗糙水平面上 x=-2l处和x=4l处分别固定两个不等量 正点电荷(场源电荷),其中x=-2l处点电 荷所带电荷量大小为Q,两点电荷在x 轴上 形成的电场的电势φ与x 的关系如图7乙所 示,其中坐标原点O 处电势为φ0,且为极小 值,x=-l和x=2l处电势分别为 6 5φ0 和 3 2φ0 。现从x=2l处由静止释放质量为m、 带电荷量为q 的物体(可视为质点),该物体 刚好向左运动到x=-l处。物体产生的电 场忽略不计,下列说法中正确的是( )。 图7 A.x=4l处点电荷所带电荷量为2Q B.物体在运动过程中,电势能变化量为 3qφ0 10 C.物体与地面间的动摩擦因数为 qφ0 10mgl D.物体在坐标原点O 处的动能最大 4.在光滑的水平绝缘桌面上方,存在一 个与桌面平行的电场,一个绝缘带电小球,质 量为m,带电荷量为+q,将它从O 点由静止 释放,它恰好沿直线运动,先后经过桌面上的 A、B、C 三点。如图8所示为小球的电势能 Ep 随位置坐标x 变化的规律,已知 OA= AB= BC 2 。下列说法中正确的是( )。 图8 A.小球在BC 段的加速度是在AB 段加 速度的2倍 B.小球从A 点到B 点做匀减速直线运 动,从B 点到C 点做匀加速直线运动 C.小球在B 点时的动能为10 J D.O、B 两点间的电势差是C、B 两点间 电势差的2倍 参考答案:1.AB 2.BC 3.C 4.D (责任编辑 张 巧) 82 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月