05.巧解物体在斜面上运动时所受滑动摩擦力做的功-《中学生数理化》高考理化2024年7-8月刊

巧解物体在斜面上运动时所受滑动摩擦力做的功 ■贵州省贵阳市修文中学 崔清华 求物体在斜面上运动时所受滑动摩擦力 对物体做的功是各级各类考试中的常见问 题。当物体在斜面上自由滑动时,如果沿垂 直于斜面的方向上除重力的分力外,不再有 其他作用力或其他作用力的分力时,那么滑 动摩擦力对物体做的功有怎样的特点呢? 一、结论推导 如图1所示,固定在地面上的两个斜面底 边相同但倾角不同,一质量为m 的物体沿斜 面BA 由顶端滑至底端时克服摩擦力做功为 W1,沿斜面DA 由顶端滑至底端时克服摩擦 力做功为W2。若物体与两个斜面间的动摩擦 因数μ相同,判断W1 与W2 的大小关系。 图1 图2 分析:物体沿斜面BA 由顶端滑至底端 时,设斜面倾角为θ,底边长为x,物体的受力 情况如 图 2 所 示,根 据 平 衡 条 件 得 N = mgcos θ,又有f=μN,lBA= x cos θ ,W1=f· lBA,解得 W1=μmgx,与斜面倾角θ 无关。 同理得W2=μmgx。因此W1=W2。 结论:当物体只受重力、斜面支持力和摩 擦力作用沿斜面运动时,摩擦力做的功与斜 面倾角的大小无关,其大小等于动摩擦因数 μ、物体的重力mg 和物体在斜面上通过的距 离在水平面上的投影距离x 的乘积。 二、结论应用 图3 例 1 如图3所示, 滑草场的某条滑道由上下 两段高度均为h,倾角分 别为45°和37°的滑道组 成,滑草车与草地之间的 动摩擦因数均为μ。质量 为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由 下滑,经过上下两段滑道后,最终恰好静止于 滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处 的能量损失,已知sin 37°=0.6,重力加速度 为g)。下列说法中正确的是( )。 A.动摩擦因数μ= 6 7 B.滑草车的最大速度为 2gh 7 C.滑草车克服摩擦力做的功为mgh D.滑草车在下段滑道上的加速度大小 为 3 5g 常规解答:选载人滑草车为研究对象,上 下两段滑道对滑草车的摩擦力分别为f 1= μ·mgcos 45°,f2=μ·mgcos 37°,根据几何 关系可知,上下两段滑道的长度分别为s1= h sin 45° ,s2= h sin 37° 。对滑草车沿滑道运动 的全过程应用动能定理得mg·2h-f1s1- f2s2=0,解得μ= 6 7 ,选项 A正确。滑草车 在上下两段滑道上下滑时的加速度分别为 a1=g(sin 45°-μcos 45°)= 2 14g ,a2= g(sin 37°-μcos 37°)=- 3 35g ,因此滑草车 在下落高度h 时的速度最大,根据动能定理 得mgh-f1s1= 1 2mv 2,解得v= 2gh 7 ,选 项B正确,D错误。根据能量守恒定律可知, 滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等, 即W=2mgh,选项C错误。 图4 巧妙解答:把载人滑草车的运动过程简 化为如图4所示的模型,将沿斜面方向的摩 擦力做功转换成沿水平面 方向的摩擦力做功。在滑 草车从A 点运动到C 点的 全过程中,根据动能定理得 mg·2h-μmg h tan 45°- 32 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月 μmg h tan 37°=0 ,解得μ= 6 7 ;在滑草车从A 点运 动 到 B 点 的 过 程 中,同 理 得 mgh- μmg h tan 45°= 1 2mv 2,解得v= 2gh 7 。 答案:AB 点评:常规解答的解题思路清晰,但过程 稍显复杂,对于选择题来说稍显耽误时间。 而将沿斜面方向的摩擦力做功转换成沿水平 面方向的摩擦力做功,应用动能定理列式求 解,方便快捷,省时省力。 三、技巧升华 图5 例 2 某同学建立 的一个测量动摩擦因数 的模型如图5所示。物 块自左侧斜面上的A 点 由静止滑下,滑过平面CD 后,最高冲至右侧 斜面上的B 点。实验中测量出了左右斜面 的倾角α和β,以及AB 连线与水平面间的夹 角θ。已知物块与各接触面间的动摩擦因数 均为μ,忽略物块在拐角处的能量损失,下列 结论正确的是( )。 A.μ=tan α B.μ=tan β C.μ=tan θ D.μ=tan α-β 2 常规解答:设A、B 两点间的水平距离为 x,沿竖直方向的高度差为h,对物块运动的 A→C→D→B 的全过程应用动能定理得 mgh-μmgcos α·lAC -μmg ·lCD - μmgcos β·lDB=0,根据几何关系得lAC· cos α+lCD+lDB·cos β=x,则mgh-μmg· x=0,解得μ= h x ,即μ=tan θ。 图6 技巧解答:如图6所 示,过 B 点作CD 的平 行线,过 A 点作CD 的 垂线,两线相交于E 点, 设EB 连线的长度为x,AE 连线的长度为 h,这样物块的运动就从原来的多过程路径 A→C→D→B 变成了沿直角三角形的斜边 AB自由下滑。根据动能定理得mgh-μmg· x=0,解得μ= h x ,即μ=tan θ。 答案:C 四、推广应用 推广:当物体在斜面上自由下滑时,若在 竖直方向上物体除受重力外还受其他力的作 用,则滑动摩擦力做功W 摩=μmgx 中的mg 应为等效重力G'。 例 3 如图7所示,放置在竖直平面内 的粗糙倾斜轨道 AB 与光滑圆弧轨道BCD 图7 相切于B 点,C 为最低 点,BO 连线与竖直方 向间的夹角θ=37°,竖 直 半 径 OC 垂 直 于 OD,圆 弧 轨 道 半 径 为 R,轨道 AB 的竖直高 度h=3R,整个轨道处于匀强电场中,电场强 度E= mg q ,方向平行于竖直平面且垂直于半 径OD。现将一个质量为m、带电荷量为+q 的小物块P 从A 点无初速度地释放,物块P 与轨道AB 间的动摩擦因数μ=0.25。已知 sin 37°=0.6,重力加速度为g,忽略空气阻 力。求物块P 第一次通过C 点时对轨道的 压力大小。 解析:根据几何关系可知,轨道AB 与水 平面间的夹角α=θ=37°,物块P 在轨道AB 上运动时,滑动摩擦力做功 W 摩 =μ(qE+ mg)cos α· h sin α= μ(qE+mg) h tan α ,令 qE+mg=G',G'可视为等效重力, h tan α 可视 为轨道AB 在水平方向上的投影距离xAB,且 G'=2mg,xAB=4R,所以 W 摩=μG'·xAB = 2mgR。物块P 在从A 点第一次运动到C 点 的过程中,根据动能定理得(qE+mg)(h+ R-Rcos θ)-W 摩= 1 2mv 2 C。物块P 第一次 通过C 点时,根据牛顿第二定律得 N-qE- mg=m v2C R 。联 立 以 上 各 式 解 得 N = 10.8mg。根据牛顿第三定律可知,此时物块 P 对轨道的压力大小是10.8mg。 (责任编辑 张 巧) 42 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2024年7—8月