12.2 整式乘法（3个知识点+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

12.2整式乘法 课程标准 学习目标 1 理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则； ②熟练进行整式的乘法运算； ③及解决有关化简求值问题. 1.掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则； 2.熟练进行整式的乘法运算； 3.解决有关化简求值问题. 知识点01 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【即学即练1】 计算：_______． 知识点02 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【即学即练2】 计算的结果中次数是6的项的系数是________． 知识点03 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【即学即练3】 计算：． 知识点04 整式乘法的混合运算及化简求值 （1）有乘方、乘法的混合运算中，要按照先乘方后乘法的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． （3）化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 【即学即练4】 已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型01 单项式乘单项式 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】某电子计算机每秒可进行次运算，则秒可进行运算的次数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】计算：________． 【变式1】若，则的值为________． 题型02 单项式乘多项式 【典例1】计算： ． 【变式1】计算：结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】计算的结果为_______． 【变式3】计算：． 题型03 多项式乘多项式 【典例1】计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算：______________． 题型04 整式乘法的混合运算及化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【变式1】已知，，则的值为________． 【变式2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为________． 变式3】已知，则的值为_________． 题型05 求字母的值 【典例1】若多项式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，则求的值． 题型06 整式乘法与图形面积 【典例1】如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④； 你认为其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为___________． 1．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 4．若，则m的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 5．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　 　） A． B． C． D． 6．计算：（    ） A． B． C． D． 7．如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．20 8．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 9．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 10．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 11．如图，6个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则与的差为________． 12．计算的结果为______． 13．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为______． 14．已知单项式与的积与是同类项，则______． 15．若，则的值是______； 16．若，，则______． 17．要使中不含有的四次项，则______． 18．已知，，，且的值与无关，则______． 19．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲)．若把裂缝右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积为______． 20．已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，则______． 21．先化简，后求值：，其中，． 22．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 23．如图是一个长方形纸片，它的长为，宽为，现用剪刀在长方形纸片内剪的去2个边长均为的正方形． (1)用含，的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，求剩余纸片的面积． 24．先化简，再求值：，其中． 25．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 26．将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，． (1)当时，用含a，b的式子表示，； (2)若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而，的值总保持不变，求a，b满足的数量关系． 27．阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 28．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 29．有甲、乙两块长方形草地，其长和宽的数据如图所示，其面积分别为，． (1)填空：______． (2)若一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的花园边长为m，请用含a的代数式表示m． ②设该正方形的花园面积为，当时，求的值． 30．阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2整式乘法 课程标准 学习目标 1 理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则； ②熟练进行整式的乘法运算； ③及解决有关化简求值问题. 1.掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则； 2.熟练进行整式的乘法运算； 3.解决有关化简求值问题. 知识点01 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【即学即练1】 计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据底数相同，指数相加即可求得结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点02 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【即学即练2】 计算的结果中次数是6的项的系数是________． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，单项式的系数的定义、多项式的次数的定义，先根据运算法则计算出结果，根据单项式的系数的定义、多项式的次数的定义即可得． 【详解】解： ， 的次数是6， 的结果中次数是6的项的系数是， 故答案为：． 知识点03 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【即学即练3】 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 知识点04 整式乘法的混合运算及化简求值 （1）有乘方、乘法的混合运算中，要按照先乘方后乘法的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． （3）化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 【即学即练4】 已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：B． 题型01 单项式乘单项式 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式法则． 根据单项式乘单项式法则计算即可； 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】某电子计算机每秒可进行次运算，则秒可进行运算的次数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：它工作时的运算次数为：， 故选：A． 【变式2】已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：A． 【变式3】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据底数相同，指数相加计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 单项式乘多项式 【典例1】计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以多项式法则和合并同类项法则计算即可． 【详解】解：原式， ， 故选：． 【变式2】计算的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．利用单项式乘以多项式的每一项，再把积相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，准确计算是解题的关键． 【详解】解： ． 题型03 多项式乘多项式 【典例1】计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可. 【详解】解： ； ∴结果的一次项系数是； 故选A 【变式1】下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选D 【变式2】对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式 故选． 【变式3】计算：______________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型04 整式乘法的混合运算及化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的乘法和代数式的求值．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【变式3】已知，则的值为_________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 题型05 求字母的值 【典例1】若多项式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则．根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，根据题意得出关于的方程，解之可得． 【详解】解：， ， 解得：， 故选：C． 【变式1】要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 【变式2】若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，熟练的进行多项式的乘法运算是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式可得结果为，再根据结果不含的一次项，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ， 故选：C． 【变式3】若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型06 整式乘法与图形面积 【典例1】如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减、求阴影部分的面积等知识点，明确各部分图形的面积关系成为解题的关键． 先说明，再观察得到，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴ ． 故选A． 【变式1】如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 【详解】、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为， ，故选：D． 【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④； 你认为其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．掌握多项式与多项式相乘的法则是解题的关键．利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为，然后利用多项式乘多项式对四种表示方法进行判断即可． 【详解】解：最大长方形面积为 ． 故其中正确的有共3个． 故选：C． 【变式3】如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出a与b的关系式，弄清题意是解本题的关键． 【详解】如图， 左上角阴影部分的长为，宽为,右下角阴影部分的长为，宽为a， ∵，即，， ∴，即， ∴阴影部分面积之差 ， ∵S始终保持不变， ∴，即，故答案为． 1．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：，即长方体的体积为，故选：A． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，以及单项式乘以单项式，正确的计算是解题的关键．根据相关运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：，故选：A． 3．已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴；故选B． 4．若，则m的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， ，，故选：C 5．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为，故选． 6．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式是解题的关键． 利用积的乘方，单项式乘单项式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，故选：A． 7．如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运用的运用，先根据长方形的周长和面积求出，然后利用多项式乘以多项式法则计算，最后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵边长为a，b的长方形，它的周长为12，面积为7， ∴，， ∴， ∴，故选：A． 8．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意，故选：B． 9．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：根据长方形面积：①，该选项正确，符合题意； ②由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； ③由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； 由①去括号得：，该选项正确，符合题意； ∴正确的有①②③④，故选：D． 10．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，，故选：B． 11．如图，6个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则与的差为________． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整式的加减运算，乘法运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得，可得到，解得：，设，则，，则，故， 【详解】解：如图： 设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得， ；解得：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式，故答案为∶． 13．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为______． 【答案】 【分析】利用整体法求解，阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积，根据面积公式计算即可． 本题考查了长方形面积的计算，熟练掌握整体思想解答是解题的关键． 【详解】根据题意，得阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积， 即这块草地的面积为．故答案为：． 14．已知单项式与的积与是同类项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式以及同类项，关键是掌握单项式乘单项式运算性质和同类项定义．首先计算单项式与的积，再根据同类项定义可得的值，进而可得答案． 【详解】解：， 积与是同类项， ，解得：， ，故答案为：． 15．若，则的值是______； 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则运算即可． 【详解】解：， ．故答案为：． 16．若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算．把式子展开，分别把已知信息代入，即可求出答案． 【详解】解：， ∵，， ∴原式．故答案为：． 17．要使中不含有的四次项，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵中不含有的四次项， ∴， ∴．故答案为：2 18．已知，，，且的值与无关，则______． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ．故答案为：． 19．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲)．若把裂缝右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，平移的性质；利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积．故答案为：． 20．已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 展开式中不含x的二次项，且常数项为， ，解得，故答案：． 21．先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 22．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ；(2)216． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 23．如图是一个长方形纸片，它的长为，宽为，现用剪刀在长方形纸片内剪的去2个边长均为的正方形． (1)用含，的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，求剩余纸片的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算； （1）用长方形纸片的面积减去2个正方形的面积进行列式，然后根据多项式乘以多项式以及合并同类项的法则进行计算即可； （2）直接代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解： ， 所以剩余纸片的面积为； （2）若，， 则， 所以剩余纸片的面积为． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先算乘法，再合并同类项，最后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 25．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式．计算，然后结合已知条件即可求得答案． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 26．将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，． (1)当时，用含a，b的式子表示，； (2)若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而，的值总保持不变，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题考查整式混合运算的应用，确定长方形的长和宽并正确计算是解题的关键． （1）先确定所求长方形的长和宽，根据长方形的面积公式，结合整式乘法的法则求解即可； （2）先求出，把的值总保持不变，转化为与无关型问题，再利用无关型问题的方法求解即可． 【详解】（1）当时， ， ； （2）∵， ， ∴． ∵长度不变，变长，的值总保持不变， ∴， 解得． 即a、b满足的关系是． 27．阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键． 【详解】解： ． 28．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)；(2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 29．有甲、乙两块长方形草地，其长和宽的数据如图所示，其面积分别为，． (1)填空：______． (2)若一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的花园边长为m，请用含a的代数式表示m． ②设该正方形的花园面积为，当时，求的值． 【答案】(1)2；(2)①；②225 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是： （1）根据长方形面积公式列出算式，去括号合并即可； （2）①根据一个正方形花园的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和列出等式，继而求出m值；②将代入计算即可． 【详解】（1）解： ．故答案为2． （2）①根据题意得，解得． ②当时，． 答，的值是225． 30．阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． 【答案】34和86是“友好数对”，这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积；一对新的“友好数对”为和 【分析】本题考查了有理数的计算、整式的运算，多项式乘多项式计算和，根据定义判断；利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简，即可求解，进而根据数量关系写出一对新的“友好数对”． 【详解】解：，， ， 和是“友好数对”， ∵一个数的十位数字为个位数字为；另一个数的十位数字为个位数字为 交换后十位数字为个位数字为另一个的十位数字为个位数字为 两个数依次表示为 这两个数是友好数对， ， 化简得： 即这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积 根据题意，写出一对新的“友好数对”为和． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$