1.2.1～1.2.2圆的标准方程与一般方程（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

1.2.1圆的标准方程-1.2.2圆的一般方程 题型一 由圆心（或半径求圆的方程）求圆的标准方程 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知坐标原点在直线上的射影为点，则为必然满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，由射影的意义可得点在以为直径的圆上，进而判断即得. 【详解】直线，即恒过定点， 由原点在直线上的射影点为，得，则点在以为直径的圆上， 该圆圆心为，半径为， 所以，满足的关系是. 故选：B 3．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 题型二 求过已知三点圆的方程 1．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 2．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 3．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据四边形外接圆的几何性质，分情况求解，当过点A的直线与直线BC平行时可满足，当过点A的直线与BC垂直时，从而得对应的圆的方程，即可得答案. 【详解】当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆． 设该外接圆的圆心坐标为，则，， 所以半径， 此时圆的标准方程为． 当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆， 其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为． 故答案为：.（答案不唯一） 4．（2023高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 题型三 由圆的标准方程确定圆心（或半径） 1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可. 【详解】由题意可知，点在圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，当且仅当取等号. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可. 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 4．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为 . 【答案】// 【分析】利用解析几何思想，用点到直线的距离求三角形的高，即可计算面积. 【详解】由题可得，所以. 因为圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径. 【详解】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 2．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 3．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解. 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 4．（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系辨析 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 【答案】B 【详解】 由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 题型六 圆一般方程的求法 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ． 【答案】(x＋2)2＋(y－)2＝ 【详解】 (解法1)直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4，0)，B(0，3)，所以线段AB的中点为C(－2，)，AB＝5.故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－)2＝()2＝. (解法2)易得圆的直径的两端点为A(－4，0)，B(0，3).设P(x，y)为圆上任一点，则PA⊥PB，∴ ·＝0，即x(x＋4)＋y(y－3)＝0，化简得(x＋2)2＋(y－)2＝4＋＝. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】 先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 题型七 圆过定点相关的问题解决方案 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型八 圆一般方程求圆的圆心和半径 1．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合圆的面积公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为， 所以曲线围成图形的面积为：， 故选：D    4．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 【答案】/ 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 题型九 点与圆的位置关系 1．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得. 【详解】联立，解得，即点在圆的内部， 即有，解得. 故选：D. 2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得. 【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上， 则，解得，因此点在圆上， 则，解得， 所以实数的值为4. 故答案为：4 1．圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 2．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 3．已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得. 【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，． 因此， . 当且仅当时，即时取等号． 故选: D． 4．经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 5．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，向量的坐标满足方程，结合向量的数量积公式求得结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，， ， 因为， 所以，即， ，则， 则， 则的最小值为4. 故选：C.    6．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积，其中，称该公式为海伦公式，该公式可推广到平面四边形：若四边形ABCD内接于圆E，且四边长分别为a，b，c，d，则四边形ABCD的面积，其中，若面积为的四边形ABCD内接于圆E，，，点C，D在x轴上方，且，，则圆E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据面积得到方程，求出，在两个三角形中，分别使用余弦定理得到，求出，圆E是正三角形BAD的外接圆，由正弦定理得到半径，并求出外接圆的圆心为，得到圆的方程. 【详解】由题意得，设，则， 则四边形ABCD的面积，所以． 在△ABD中，由余弦定理得， 在△BCD中，， 又四边形ABCD内接于圆E．所以， 所以，解得， 又，所以，所以圆E是正三角形BAD的外接圆， 其半径，又，， 其中的垂直平分线为，故圆心横坐标为2， 设圆心纵坐标为，故，解得， 故等边△ABD的外接圆的圆心为， 故所求圆的方程为． 故选:D． 7．（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案. 【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同， 则，∴或3， 当时，方程为表示一个圆； 当时，方程为表示一个圆. 故选：AC. 8．（多选）已知圆的方程为，则圆上的点有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断. 【详解】因为圆， 对于A：，所以点不在圆上； 对于B：，所以点在圆上； 对于C：，所以点不在圆上； 对于D：，所以点在圆上； 故选：BD 9．（多选）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断. 【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为，方程为， 即，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为，方程为， 即，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为，方程为， 即，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为，方程为， 即，没有选项符合； 外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合. 故选：ABC 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 【答案】ABD 【分析】利用直接法可得求得轨迹方程，进而判断各选项. 【详解】设线段的中点为，则由题意可得，， 所以，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆， 选项A：易知直线过圆心，故A正确； 选项B：显然关于原点对称，故B正确； 选项C：因为，所以点在上，故C错误； 选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确； 故选：ABD. 11．过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 12．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解. 【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，， 由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，. 而这又可以等价转化为，， 故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解. 该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得. 法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围， 使得直线和圆有公共点. 该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即. 解得. 故答案为：. 13．已知点在圆上运动，且，点，则 ． 【答案】15 【分析】分析可知为直径，即圆心为中点，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由题意可知：为直径，即圆心为中点， 所以． 故答案为：15. 14．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 15．已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 16．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1圆的标准方程-1.2.2圆的一般方程 题型一 由圆心（或半径求圆的方程）求圆的标准方程 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知坐标原点在直线上的射影为点，则为必然满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 4．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 题型二 求过已知三点圆的方程 1．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 3．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为 ． 4．（2023高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 题型三 由圆的标准方程确定圆心（或半径） 1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 4．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为 . 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系辨析 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 题型六 圆一般方程的求法 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 4．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 题型七 圆过定点相关的问题解决方案 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型八 圆一般方程求圆的圆心和半径 1．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 题型九 点与圆的位置关系 1．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 4．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 1．圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 2．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（    ） A． B． C．4 D． 6．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积，其中，称该公式为海伦公式，该公式可推广到平面四边形：若四边形ABCD内接于圆E，且四边长分别为a，b，c，d，则四边形ABCD的面积，其中，若面积为的四边形ABCD内接于圆E，，，点C，D在x轴上方，且，，则圆E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．（多选）已知圆的方程为，则圆上的点有（ ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 11．过三点的圆的方程为 ． 12．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 13．已知点在圆上运动，且，点，则 ． 14．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 15．已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 16．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$