第三讲 集合间的基本关系 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第三讲 集合间的基本关系 知识点梳理： 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图． 2．子集、真子集、集合相等 （1）子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset）．记作A⊆B（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 用Venn 图表示如下： （2）集合相等 对于两个集合A与B，若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，则称集合A与集合B相等．记作A=B． 用Venn 图表示如下： （3）真子集 如果集合A⊆B，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集（proper subset）．记作A⫋B（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 用Venn 图表示如下： 3．空集 一般地，我们把不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作．规定空集是任何集合的子集． 4．集合关系的性质 （1）任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． （2）对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C． （3）若A⊆B，A≠B，则A⫋B． （4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 5．区间的概念 （1）设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为（﹣∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 重难点解析： 1．Venn图 （1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）用 Venn 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 2．集合间的基本关系 （1）任何两个集合之间是否一定有包含关系呢？ 答案是：不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就不存在包含关系． （2）集合A是集合B的子集分两种情况：一是集合A是集合B的真子集，二是集合A与集合B相等． 3．子集的个数问题 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 例题讲解： 题型1 集合间基本关系的判断 【例1】已知集合太平洋，大西洋，集合，则集合与集合的关系为　　 A． B． C． D． 【例2】集合，与，之间的关系是　　 A． B． C． D．A不是B的子集 【例3】已知集合，集合满足，则可以为　　 A．， B．， C． D． 题型2 求集合的子集 【例4】已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集． 【例5】已知集合，，，且． （1）求；（2）写出集合的所有子集． 【例6】已知 （1）用列举法表示集合；（2）写出集合的所有子集． 题型3 子集、真子集的个数 【例7】已知集合，2，，，1，2，3，4，，若，则满足集合的个数为　　 A．4 B．6 C．7 D．8 【例8】已知集合，0，，，，，则集合的真子集个数是　　 A．3 B．4 C．7 D．8 题型4 集合的相等 【例9】知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【例10】已知集合，，，，，，其中，，求的值． 【例11】若，，集合，，，，，求． 题型5 空集 【例12】下列集合是空集的是　　 A． B． C． D．，， 【例13】若集合，则实数的取值范围是 　　． 【例14】已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 题型6 集合关系中的参数取值问题 【例15】设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（　　） A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2} 【例17】集合，中只含有1个元素，则实数的取值是　　． 【例18】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 解题梳理： 1．符号“∈”与“⊆”的区别 符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 2．空集 （1）{0}与 {0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠．⊆{0}． （2）空集是任何集合的子集． （3）空集是任何非空集合的真子集． 3．判断集合关系的方法 （1）观察法：一一列举观察． （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． （3）数形结合法：利用数轴或Venn图． 4．子集、真子集个数的有关结论 假设集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 5．两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． （2）若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． （3）证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 6．利用集合的关系求参数 （1）利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． （2）空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠）的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 涉及“B⊆A”或“⫋且A≠”的问题，一定要分B＝和B≠两种情况进行讨论，其中B＝的情况易被忽略，应引起足够的重视． 变式练习： 1．集合{x∈N|﹣1≤x≤1}的真子集的个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（　　） A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 3．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 4．设m为实数，M＝{2，m}，N＝{2m，2}，若M＝N，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}．若A⊆B，则a的最大值为（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 6．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知集合A＝{x|x2+3x+2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤2024}，则（　　） A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A 8．已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{2a，0，1}，若A⊆B，则a的值可以为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 9．若非空集合A，B，C，D满足：A∩C＝C，B∩C＝D，则（　　） A．A⊆C B．D⊆A C．A∩B＝∅ D．A∩D＝∅ 10．已知集合，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 11．已知a是实数，若集合{x|x2+x+a＝0}是任何集合的子集，则a的取值范围值是 　 　． 12．已知集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}．若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是 　 　． 13．集合A是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，且A中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A共有 　 　个． 14．已知集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}，那么A的真子集有 　 　个． 15．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是 　 　． 16．已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝　 　． 17．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}． （Ⅰ）当a＝0时，求集合A； （Ⅱ）若集合A只有2个子集，求实数a的值． 18．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}． （1）当m＝2时，求集合A∩B； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 19．已知集合A＝{1}，集合B＝{x|x2﹣3x+a＝0，x∈R}． （1）若B＝∅，求实数a的取值范围； （2）若A⊆B，求实数a的值． 20．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 答案与解析 【例1】已知集合太平洋，大西洋，集合，则集合与集合的关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据集合，求出集合可得结果． 【解答】解：因为集合，，太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，所以． 故选：． 【例2】集合，与，之间的关系是　　 A． B． C． D．A不是B的子集 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，可得集合，的关系． 【解答】解：当时，集合，； 当时，集合，； 又，，所以． 故选：． 【例3】已知集合，集合满足，则可以为　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】先解出或，根据，可得结果． 【解答】解：由集合或，， 则满足． 故选：． 【例4】已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集． 【答案】，，，，，，，，，，，，，，，． 【分析】根据真子集的定义写出含的所有真子集即可． 【解答】解：，，，的含元素的所有真子集为：，，，，，，，，，，，，，，，． 【例5】已知集合，，，且． （1）求； （2）写出集合的所有子集． 【分析】（1）由，则或．由此能求出． （2）由，，，能写出的子集． 【解答】解：（1），则或． 或． 当时，，集合不满足互异性， （舍去），当时，经检验，符合题意， 故； （2）由（1）知，， 的子集为：，，，，，，，，，，，，． 【例6】已知 （1）用列举法表示集合； （2）写出集合的所有子集． 【分析】（1）解方程，即可用列举法表示集合； （2）子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集，列举出来即可． 【解答】解：（1），； （2）的所有子集为：，，，，． 【例7】已知集合，2，，，1，2，3，4，，若，则满足集合的个数为　　 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，直接列举，即可求解． 【解答】解：集合，2，，，1，2，3，4，，， 则，2，，，2，3，，，2，3，，，2，3，，，2，3，0，，，2，3，0，，，2，3，4，，，1，2，3，4，，共8个． 故选：． 【例8】已知集合，0，，，，，则集合的真子集个数是　　 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可． 【解答】解；由题意得，0，，所以集合的真子集个数为． 故选：． 【例9】知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】 【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选：． 【例10】已知集合，，，，，，其中，，求的值． 【答案】1或． 【分析】利用集合相等的定义可得或，然后分别解方程即可求解． 【解答】解：因为集合，，，，，，其中，， 则或， 解得或． 【例11】若，，集合，，，，，求． 【分析】先由分式成立可得，根据集合相等得，又，，，代入即可求值． 【解答】解：，， 即，0，，，， 又， ，， 则． 【例12】下列集合是空集的是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【分析】由已知结合空集的定义检验各选项即可判断． 【解答】解：，符合题意； ，符合题意； ，不符合题意； ，，，不符合题意． 故选：． 【例13】若集合，则实数的取值范围是 　　． 【答案】，． 【分析】利用空集的定义，将问题转化为无解，分和两种情况，分别求解即可． 【解答】解：因为集合， 所以无解， 当时，方程无解，符合题意； 当时，△，解得． 综上所述，的取值范围为，． 故答案为：，． 【例14】已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【分析】（1）分和讨论，时不满足题意，时由一元二次方程的判别式小于0求解； （2）时满足题意，时求出方程有两个不等根的的范围，然后由补集思想求得的范围． 【解答】解：（1）当时，方程化为，解集非空； 当时，要使是空集，则△，解得． 使是空集的的取值范围是； （2）当，集合中有一个元素； 当时，若中有两个元素，则△，解得． 综上，使中至多只有一个元素的的取值范围是． 【例15】设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（　　） A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2} 【分析】考察集合的包含关系，利用数轴求解即可． 【解答】解：由题意作图则a＞2即可， 故选：D． 【例17】集合，中只含有1个元素，则实数的取值是　　． 【分析】集合表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可． 【解答】解：当时，满足题意 当时，要集合仅含一个元素需满足 △解得 故的值为0；1 故答案为：0或1 【例18】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【分析】（1）分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m﹣1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围． （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，m无解； （3）利用A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}，建立不等式，即可求得结论． 【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}， 分两种情况考虑： （i）若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2， ∵B⊆A，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣6}， ∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3， ∴2≤m≤3 （ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2， 综上，实数m的范围为m≤3； （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，∴m无解； （3）∵A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}， ∴m﹣6≤﹣2，且2m﹣1≥5， ∴m≤4，且m≥3，∴3≤m≤4． 变式练习： 1．集合{x∈N|﹣1≤x≤1}的真子集的个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数． 【解答】解：{x∈N|﹣1≤x≤1}＝{0，1}，共有两个元素，故其真子集的个数为22﹣1＝3． 故选：A． 2．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（　　） A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 【分析】依题意可得a+2＝3或a+2＝a2，求出a，再代入检验即可． 【解答】解：因为合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}且B⊆A， 所以a+2＝3或a+2＝a2， 解得a＝1或a＝﹣1或a＝2， 当a＝±1时a2＝1，集合A不满足元素的互异性，故a≠±1， 当a＝2时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}符合题意． 故选：C． 3．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知先求出集合N，然后结合集合的包含关系进行判断即可． 【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，M＝{0，1，2}， 故N⊆M． 故选：B． 4．设m为实数，M＝{2，m}，N＝{2m，2}，若M＝N，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】根据集合相等的定义求解． 【解答】解：∵M＝{2，m}，N＝{2m，2}，且M＝N， ∴m＝2m， 解得m＝0， 当m＝0时，M＝{2，0}，N＝{0，2}，符合题意． 故选：A． 5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}．若A⊆B，则a的最大值为（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】由已知结合集合的包含关系可求a的范围即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}， 若A⊆B，则a≤﹣1． 故选：C． 6．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由已知先求出集合B，然后结合集合子集与集合元素的关系即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{x，y|x+y﹣4＞0，x，y∈A}＝{（2，3），（3，2），（3，3）}． 故B的真子集个数为23﹣1＝7个． 故选：C． 7．已知集合A＝{x|x2+3x+2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤2024}，则（　　） A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A 【分析】根据集合的交集和并集运算，以及集合间的关系判断即可． 【解答】解：集合A＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，集合B＝{x|0≤x≤2024}， 则A∩B＝{x|0≤x≤2024}＝B，A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}＝A，A，B，C错误，D正确． 故选：D． 8．已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{2a，0，1}，若A⊆B，则a的值可以为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【分析】根据互异性可知a≠0且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可． 【解答】解：对于集合B，由元素的互异性知a≠0且，则A＝{0，a}． 由A⊆B得{0，a}⊆{2a，0，1}． 若a＝1，则B＝{2，0，1}，满足A⊆B； 若a＝2a，则a＝0，矛盾，舍去． 故选：A． 9．若非空集合A，B，C，D满足：A∩C＝C，B∩C＝D，则（　　） A．A⊆C B．D⊆A C．A∩B＝∅ D．A∩D＝∅ 【分析】根据集合间的关系逐一检验选项即可． 【解答】解：∵A∩C＝C，∴C⊆A，A错误； ∵B∩C＝D，∴D⊆B，D⊆C⊆A，B正确，C，D错误． 故选：B． 10．已知集合，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系． 【解答】解：，， 因为2k+1，k∈Z表示所有的奇数，而k+2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．已知a是实数，若集合{x|x2+x+a＝0}是任何集合的子集，则a的取值范围值是 　{a|}　． 【分析】根据题意分析可知方程x2+x+a＝0无解，结合Δ判别式分析求解． 【解答】解：由题意可知：集合{x|x2+x+a＝0}是空集，即方程x2+x+a＝0无解， 则Δ＝1﹣4a＜0，解得， 所以a的取值范围值是． 故答案为：{a|}． 12．已知集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}．若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是 　（﹣1，0）　． 【分析】结合交集、真子集的定义，即可求解． 【解答】解：集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}＝{x|﹣1+a＜x＜1+a}， 若M∩N＝{﹣1，0}，则，解得﹣1＜a＜0， M∩N的真子集个数是3， 则该交集元素个数为2个， 若M∩N＝{0，2}， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0． 故答案为：（﹣1，0）． 13．集合A是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，且A中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A共有 　896　个． 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的全部子集数目，排除其中不含完全平方数的子集，即可得答案． 【解答】解：根据题意，集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中共10个元素，有210＝1024个子集， 其元素中，2、3、5、6、7、8，10不是完全平方数，则其子集中，不含完全平方数的子集数目为27＝128， 故满足条件的集合A共有1024﹣128＝896个． 故答案为：896． 14．已知集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}，那么A的真子集有 　222﹣1　个． 【分析】先求出集合A的元素个数，再结合真子集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}＝{4，5，6，7，•••，25}，集合A中共有22个元素， 则A的真子集有222﹣1． 故答案为：222﹣1． 15．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，﹣3]　． 【分析】由集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，可得a≤﹣3，用区间表示可得a的取值范围． 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B， ∴a≤﹣3， ∴实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣3]， 故答案为：（﹣∞，﹣3] 16．已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝　﹣2　． 【分析】据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值． 【解答】解：因为B⊆A，所以m2＝m+2或m2＝4，⇒m＝﹣1或m＝±2， 又由集合中元素的互异性可知m+2≠1且m+2≠4且m2≠1，⇒m≠±1且m≠2， 综上m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 17．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}． （Ⅰ）当a＝0时，求集合A； （Ⅱ）若集合A只有2个子集，求实数a的值． 【分析】（Ⅰ）代入a＝0求出方程的解，进而可得集合A； （Ⅱ）分a＝0和a≠0两种情况，结合Δ求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}＝{x∈R|2x+3＝0}＝{﹣}； （Ⅱ）若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素， 当a＝0时，A＝{﹣}，符合题意， 当a≠0时，则Δ＝4﹣4a×3＝0， 解得a＝， 综上所述，a的值为0或． 18．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}． （1）当m＝2时，求集合A∩B； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解； （2）结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）因为A＝{x|﹣3≤x≤5}， 当m＝2时，B＝{x|3≤x≤5}． 集合A∩B＝{x|3≤x≤5}． （2）若B⊆A， 当B＝∅时，m+1＞3m﹣1，即m＜1， 当B≠∅时，，解得1≤m≤2， 故实数m的取值范围为{m|m≤2}． 19．已知集合A＝{1}，集合B＝{x|x2﹣3x+a＝0，x∈R}． （1）若B＝∅，求实数a的取值范围； （2）若A⊆B，求实数a的值． 【分析】（1）根据集合为空集转化为方程无解的情况，进行求解即可． （2）根据集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）若B＝∅，则方程x2﹣3x+a＝0无解， 所以有判别式Δ＝9﹣4a＜0， 解得a＞． （2）因为A⊆B，所以集合A为集合B的子集， 即1为方程x2﹣3x+a＝0的解， 所以1﹣3+a＝0，解得a＝2． 20．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【分析】（1）分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m﹣1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围． （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，m无解； （3）利用A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}，建立不等式，即可求得结论． 【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}， 分两种情况考虑： （i）若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2， ∵B⊆A，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣6}， ∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3， ∴2≤m≤3 （ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2， 综上，实数m的范围为m≤3； （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，∴m无解； （3）∵A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}， ∴m﹣6≤﹣2，且2m﹣1≥5， ∴m≤4，且m≥3，∴3≤m≤4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$