第三讲 高次不等式 讲义-2024-2025学年高一上学期数学暑假初高中衔接

第三讲 高次不等式 知识点讲解： 1．知识巩固 三个“二次”间的关系 结合二次函数的图象，理解二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的密切关系． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c （a>0）的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a>0）的根 有两相异实 根x1，x2（x1 <x2） 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 （a>0）的解 x>x2或x<x1 任意实数 ax2＋bx＋c<0 （a>0）的解 {x|x1<x<x2} 无实数解 无实数解 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c （a>0）的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a>0）的根 有两相异实 根x1，x2（x1 <x2） 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 （a>0）的解 x>x2或x<x1 任意实数 ax2＋bx＋c<0 （a>0）的解 {x|x1<x<x2} 无实数解 无实数解 2．知识延伸 （1）分式不等式的解法 ，； ，； （） （2）高次不等式：用“穿针引线法”解决． 设． 解不等式（或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为“针眼”．用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为；数轴下方的部分为负，即为不等式的解． 注意： （1）要求的最高次项系数为正．（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并改变不等号的方向） （2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次．（奇过偶不过） （3）分式不等式的解法： ，； ，； （） （4），当时，的符号是确定的． （5）永远从数轴右上方开始． （6）最后结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解． （7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0． （8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等 例题讲解： 例1.解关于的不等式： （1）；（2）； （3）；（4）． 例2.解关于的不等式： （1）；（2）． 例3.解关于的不等式：． 例4.解关于的不等式：（1）；（2）． 例5.解关于的不等式：． 例6.阅读下面材料： 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的： 根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 变式练习： 1．一元一次不等式组的解集是（　　） A．﹣2＜x≤﹣1 B．1＜x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．﹣2＜x≤1 2．自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：，等；那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则，若a＜0，b＜0，则； （2）若a＞0，b＜0，则，若a＜0，b＞0，则； 反之：①若，则或； ②若，则 　 　或 　 　． 根据上述规律，求不等式的解集． 3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0． 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）， ∴x2﹣4＞0，可化为（x+2）（x﹣2）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②． 解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为 　 　； （2）解一元二次不等式2x2﹣5x＜0； （3）解分式不等式． 4．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1 所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1 （1）请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：　 　；：　 　；：　 　； （2）解分式不等式：． 5．关于高次不等式（x2﹣x3+2x）（x2﹣1）（﹣x2+4x﹣8）≤0，求x的取值范围． 6．解下列分式不等式： （1）＞﹣3； （2）≥l． 7．解下列分式不等式： （1）＞0 （2）＞0 （3）≥2 （4）≤2． 答案与解析 例1.解关于的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】设，分析各个因式的符号，如下表： + + + + + + + + – – + + – – + + – – – – – – – – + 根据表格画图如下： 根据上图，可求出不等式的解． 【解答】解： （1）的解为或． （2）的解为或． （3）的解为或或． （4）的解为或或． 例2.解关于的不等式： （1）；（2）． 【分析】 【解答】解：（1）的解为或． （2）的解为或． 例3.解关于的不等式：． 【分析】 由图象，结合分母不等于0，可以得出不等式的解． 【解答】解： 不等式的解为或或． 例4.解关于的不等式：（1）；（2）． 【分析】 【解答】解：（1）． 不等式的解为或． （2）． 不等式的解为或． 例5.解关于的不等式：． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴原不等式的解为或或． 例6.阅读下面材料： 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的： 根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 【答案】． 【分析】根据题意把原不等式化为两个不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①得； 解不等式组②得不等式组无解， 所以原不等式的解集为． 变式练习： 1．一元﹣次不等式组的解集是（　　） A．﹣2＜x≤﹣1 B．1＜x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．﹣2＜x≤1 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：不等式组， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤1， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 故选：D． 2．自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：，等；那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则，若a＜0，b＜0，则； （2）若a＞0，b＜0，则，若a＜0，b＞0，则； 反之：①若，则或； ②若，则 　　或 　　． 根据上述规律，求不等式的解集． 【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【解答】解：若0，则或； 故答案为：，； ∵， ∴不等式转化为或， 解得，﹣2＜x＜﹣1． 3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0． 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）， ∴x2﹣4＞0，可化为（x+2）（x﹣2）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②． 解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为 　x＞3或x＜﹣3　； （2）解一元二次不等式2x2﹣5x＜0； （3）解分式不等式． 【分析】（1）利用因式分解法得到（x+3）（x﹣3）＞0，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （2）利用因式分解法得到x（2x﹣5）＜0，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （3）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣9＞0， ∴（x+3）（x﹣3）＞0， ∴①或②， 解①得x＞3；解②得x＜﹣3， 故一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为：x＞3或x＜﹣3， 故答案为：x＞3或x＜﹣3； （2）∵2x2﹣5x＜0， ∴x（2x﹣5）＜0， ∴①或②， 解①得；解②无解， 故一元二次不等式2x2﹣5x＜0的解集为：； （3）∵． ∴①或②， 解①得x≥1；解②得x＜﹣2． 故不等式的解集为x≥1或x＜﹣2． 4．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1 所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1 （1）请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：　　；：　x＞1或x＜﹣4　；：　﹣2＜x＜2　； （2）解分式不等式：． 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3＞0，原不等式变形为x2﹣2x+11≥2（x2﹣2x+4），即（x+1）（x﹣3）≤0，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【解答】解：（1）， 原不等式可转化为①或②， 解①得，解②得无解， 所以原不等式的解集是； ， ∴①或②， 解①得x＞1，解②得x＜﹣4， 所以原不等式的解集是x＞1或x＜﹣4； ， ∴①或②， 解①得x＜﹣2，解②得﹣2＜x＜2， 所以原不等式的解集是x＜﹣2或﹣2＜x＜2； 故答案为：；x＞1或x＜﹣4；x＜﹣2或﹣2＜x＜2； （2）， ∵x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3＞0， ∴x2﹣2x+11≥2（x2﹣2x+4）， 整理得：x2﹣2x﹣3≤0， 即（x+1）（x﹣3）≤0， ∴①或②， 解①得无解，解②得﹣1≤x≤3， ∴原不等式的解集是﹣1≤x≤3． 5．关于高次不等式（x2﹣x3+2x）（x2﹣1）（﹣x2+4x﹣8）≤0，求x的取值范围． 【分析】将原式分解，化简后得到x（x﹣2）（x﹣1）≤0，然后分类讨论． 【解答】解：不等式（x2﹣x3+2x）（x2﹣1）（﹣x2+4x﹣8）≤0可化为： （x3﹣x2﹣2x）（x2﹣1）（x2﹣4x+8）≤0， 提公因式得x（x+1）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）[（x﹣2）2+4]≤0， 即x（x﹣2）（x﹣1）（x+1）2[（x﹣2）2+4]≤0， 可得x（x﹣2）（x﹣1）≤0， （1），此不等式无解； （2），解得，x≤0； （3），解得，1≤x≤2． 综上，x的取值范围为x≤0或1≤x≤2． 6．解下列分式不等式： 【分析】把分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式分别求解（1）（2）即可． 【解答】解：（1）由＞﹣3可得＝＞0， 转化为（5x+22）（x+7）＞0， 解得x＞﹣或x＜﹣7， 故不等式的解集为{x|x＞﹣或x＜﹣7}； （2）由≥l可得3x≥x2+2， 整理得x2﹣3x+2≤0， 解得1≤x≤2， 故不等式的解集为{x|1≤x≤2}． 7．解下列分式不等式： 【分析】根据解不等式的方法分别求出各个不等式的解即可． 【解答】解：（1）原不等式可化为： 或， 解得：x＜﹣或x＞； （2）原不等式可化为： 或， 解得：﹣1＜x＜； （3）原不等式可化为：≤0， 解得：﹣1≤x＜0； （4）原不等式可化为：≥0， 即或， 解得：x＞或x≤1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$