第二讲 分式、根式及其运算 讲义-2024-2025学年高一上学期数学暑假初高中衔接

第二讲 分式、根式及其运算 知识点讲解： 1．知识巩固 （1）二次根式的定义 一般地，形如的式子叫做二次根式． （2）二次根式性质： ① ② ③ ④ （3）分式 形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式． （4）分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．用式子表示为：． （5）无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式．例如：，是无理式，而不是无理式． （6）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式．例如：． （7）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式．常用的有理化因式有： ①与．②与． （8）繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式．如：或等．繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算． 2．运算法则 1．根式的运算 一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件： （1）被开方数的指数与根指数互质； （2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； （3）被开方数不含分母． 把分母中的根号化去，叫分母有理化． 例如，．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号． 2．n次根式 实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果，那么x叫做a的n次方根．例如，由于和，我们把2或叫做16的4次方根．当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，也可以把两个方根合起来写作．例如，，，合起来写作． 类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内． 3．分式的运算 分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高． 分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式． 分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步． 4．繁分式 像，，…这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像，，…这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式． 繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式． 例如， 例题讲解： 例1.分式化简：． 例2.化简：． 例3.化简：． 例4.化简：． 例5.阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：。以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：　　． 例6.“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由解得 ，即． 根据以上方法，化简． 例7.观察下列等式 第1个等式：； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式． 按上述规律，回答以下问题 （1）请写出第5个等式　　； （2）写出你猜想的第为正整数）个等式（用含的等式表示），并利用上述规律计算． （3）设实数，满足，求的值． 例8.阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①　　；②　　； （2）应用：求的值； （3）拓广：　　． 例9.观察下列一组等式，然后解答后面的问题 ，， （1）观察上面规律，计算下面的式子 （2）利用上面的规律 比较与的大小． 例10.化简：． 变式练习： 1．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：； 乙：设有理数，满足：，则； 丙：； 丁：已知，则； 戊：． 以上结论正确的有　　 A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 2． 3．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　； （3）化简． 4．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用 （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 5．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若．求： ①求的值． ②直接写出代数式的值　　；　　． 6．先化简，再求的值；其中满足，且为偶数． 7．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是　 　分式（填“真分式”或“假分式” ； （2）假分式可化为带分式　 　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么的整数值为　 　． 8．化简：． 9．化简：． 10．计算 （1）； （2）； （3）． 11．化简：． 答案与解析 例题讲解： 例1.分式化简：． 【答案】． 【分析】先把除法变成乘法然后约分，再计算分式减法即可． 【解答】解： ． 例2.化简：． 【答案】 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【解答】解： ． 例3.化简：． 【答案】 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【解答】解： ． 例4.化简：． 【答案】． 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【解答】解： ． 例5.阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：　　． 【分析】分子、分母同时乘以即可． 【解答】解：． 故答案为：． 例6.“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由解得 ，即 ．根据以上方法，化简． 【答案】． 【分析】设，计算，利用平方根的意义求得，再利用分母有理化的法则化简即可． 【解答】解：设， ， ． ． ． 原式 ． 例7.观察下列等式 第1个等式：； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式． 按上述规律，回答以下问题 （1）请写出第5个等式　　； （2）写出你猜想的第为正整数）个等式（用含的等式表示），并利用上述规律计算． （3）设实数，满足，求的值． 【答案】（1）； （2）， ； （3）0． 【分析】（1）根据题中等式得出结论； （2）根据题中等式猜想得出结论，再根据结论求值； （3）先根据题中方法变形划去分母，再利用等式的性质计算． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）； ； （3）， ①， ②， ①②得：， ． 例8.阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①　　；②　　； （2）应用：求的值； （3）拓广：　　． 【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案； ②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案； （2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案； （3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案． 【解答】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2） ； （3） ． 故答案为：． 例9.观察下列一组等式，然后解答后面的问题 ，， （1）观察上面规律，计算下面的式子 （2）利用上面的规律 比较与的大小． 【分析】（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； （2）根据上面的规律可以比较与的大小． 【解答】解：（1） ； （2）， ， 又， ， 即． 例10.化简：． 【解答】解： 变式练习： 1．【答案】 【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可． 【解答】解： ， 甲正确； ， ， ， 解得， ，乙错误； ， ， ， 丙正确； 已知， ， ， ， 则， 丁错误； ， 戊正确， 正确的有甲丙戊， 故选：． 2．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分． 【解答】解： ． 故答案为． 3．【答案】（1），； （2）21，4，1，2； （3）． 【分析】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案； （2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案； （3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可． 【解答】解：（1），， ，， 故答案为：，． （2）设． 则． ，， 若令，，则，． 故答案为：21，4，1，2． （3） ． 4．【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据模型，得，，进而求得和分别为1和，代入求解即可； （2）将原式化为．根据模型，得，，进而求得和分别为和，代入求解即可； （3）根据勾股定理，求得边的长度，再根据模型化简即可． 【解答】解：（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 5．【答案】（1）5； （2）①4；②0，2． 【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将分母有理化得，移项并平方得到，对①，②的式子进行变形后代入求值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）①， ， ， ， ； ② ， ， 原式； ， ， 原式． 故答案为：0，2． 6．【分析】由满足，得出，为偶数得出，再进一步化简，代入求得答案即可． 【解答】解：满足， ，， ，且为偶数 ， ， 原式． 7．【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可； （2）原式变形，化为带分式即可； （3）分式化为带分式后，即可确定出的整数值． 【解答】解：（1）分式是真分式； （2）； （3）为整数， 则的可能整数值为 0，，2，． 故答案为：（1）真；（2）；（3）0，，2， 8．【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 【解答】解：原式． 9．【分析】先计算括号内的加法，再计算乘法即可得． 【解答】解：原式 ． 10．【分析】（1）根据分式的加减法可以解答本题； （2）根据分式的除法和乘法可以解答本题； （3）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 11．【解答】解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$