专题03利用勾股定理巧解四种折叠问题-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题03利用勾股定理巧解四种折叠问题 题型01巧用对称法求折叠中线段的长 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【例1-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 题型02巧用全等法求折叠中线段的长 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点B落在点处，边交于点F，第二步：将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，是的中点，则线段的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【例2-2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ． 【例2-3】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后，点落在点处，并且点落在边上的处，连接． (1)求证： (2)若，求的长． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长方形中，，，，点在边上，由往运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点对应点为，所在直线与边交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 题型03巧用方程思想求折叠中线段的长 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图所示为一张直角三角形纸片，直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 cm． 【例3-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处． (1)求的长： (2)求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式3-2】（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    【变式3-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 题型04巧用折叠探究线段之间的数量关系 【典例分析】 【例4-1】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合落在边上的同一点P处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为则之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（20-21八年级上·江苏常州·期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点． ①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若， 则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【例4-3】（22-23八年级上·山西运城·期末）在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，． ①如图1，当时，______，边与线段的数量关系是______； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及边与线段的数量关系，并说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图1，长方形中，点是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点． (1)若点恰好落在边上，则与的数量关系是_______． (2)如果点在长方形的内部，如图1所示． ①求证：； ②若，，求的长度． (3)在折叠长方形的过程中，若．请用含的代数式表示的值． 【变式4-2】（23-24八年级上·江西景德镇·期中）长方形中，点E是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点F．    (1)若点G恰好落在边上，则与的数量关系是____________； (2)如果点G在长方形的内部，如图所示： ①试探究线段之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长度． 【变式4-3】（21-22八年级上·江苏无锡·期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． (1)若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE＝　 　； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03利用勾股定理巧解四种折叠问题 题型01巧用对称法求折叠中线段的长 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：B 【例1-2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【例1-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式． （1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出； （2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，可得， 是长方形， ， ， ， ． （2）设，则， 在中， ，即：， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由（1）可知，， 又，， ，， ， 在中， ，即， 解得：，（舍）， 故：， 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出，折叠得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选A 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：36． 【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴ 题型02巧用全等法求折叠中线段的长 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点B落在点处，边交于点F，第二步：将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，是的中点，则线段的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，根据矩形折叠得到，，，，结合中点及勾股定理求出，从而得到即可得到答案 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B 【例2-2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】由折叠可知，通过“”易证明，得到．于是．设，则，进而可得．在中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】∵四边形为矩形， ∴． 由折叠可知：． ∴． 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则 ． ∴． 在中，，即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质得出是解题关键 【例2-3】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后，点落在点处，并且点落在边上的处，连接． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折性质、全等三角形的性质、勾股定理的应用、补角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据翻折，易得，结合全等三角形的性质，再根据角的运算以及等量代换，即可作答． （2）先算出的值，再设，根据勾股定理建立等式，表达出，再在中，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：由题可知： （2）解：在中 在中，设 在中， 在中 解 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形性质及判定，折叠问题等．根据题意设，则，证明，利用全等性质得到，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，沿折叠，点D落在点G处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中应用勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选∶D 【变式2-2】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为 【答案】 【分析】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 设，则：，， ∴， 在，，即：， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长方形中，，，，点在边上，由往运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点对应点为，所在直线与边交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，从而得到，由折叠的性质可得，，即可得到，根据等角对等边，即可求解， （2）延长、交于点，当时，求出的长，由，得到，同理（1）可得到，在中应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质可得，， ， ， （2）解：延长、交于点， 由矩形的性质可得，， ， 又， 当时，，， ， ， ， 由折叠的性质可得，， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即：，解得：， ， 故答案为： 题型03巧用方程思想求折叠中线段的长 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变化、勾股定理，利用勾股定理可以求得的长，由折叠得，，设，在中利用勾股定理即可得到的长，继而得的长．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，， ∴，，， ∴在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴折痕长为． 故选：B 【例3-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图所示为一张直角三角形纸片，直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题． 设，则，，在中，根据勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 【例3-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处． (1)求的长： (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）直接根据勾股定理，即可解答； （2）根据折叠的性质得出，设，则，，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵沿折叠，使点恰好落在斜边的处， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B 【变式3-2】（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为： 【变式3-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设 根据翻折的性质可得， 在中， ∴ 解得： ∴的长为 题型04巧用折叠探究线段之间的数量关系 【典例分析】 【例4-1】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合落在边上的同一点P处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为则之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过P作于E，如图： ∵，，， ∴， ∵将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合落在边上的同一点P处，折痕分别是，， ∴B与P关于直线对称，C与P关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ． ， ∴．A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 【例4-2】（20-21八年级上·江苏常州·期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点． ①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若， 则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①2；②BC＝2BP，见解析 (2)BP＝10或30 【分析】（1）①利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC，进而得BC＝2BP； （2）由△PEC是直角三角形，∠EPC=90°时，这时四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：①如图：点E为折叠后的点B的对应点 ∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°， ∴， ∴CE=DC-DE=10-8=2； 故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CEAP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）∵△PEC是直角三角形 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 则∠ECP=∠B=90°， ∴， ∵， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上， 不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质、正方形的判定、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 【例4-3】（22-23八年级上·山西运城·期末）在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，． ①如图1，当时，______，边与线段的数量关系是______； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及边与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①45°；；②成立；理由见解析 (2)，；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质求得，由折叠的性质求得，再证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （2）同（1），证明是等边三角形，即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ②∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， 理由：∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出为等腰直角三角形或等边三角形 【变式演练】 【变式4-1】（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图1，长方形中，点是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点． (1)若点恰好落在边上，则与的数量关系是_______． (2)如果点在长方形的内部，如图1所示． ①求证：； ②若，，求的长度． (3)在折叠长方形的过程中，若．请用含的代数式表示的值． 【答案】(1)2AB=AD (2)①见详解；② (3)或 【分析】（1）证明四边形ABGE是正方形即可求解； （2）①证明Rt△EGF≌Rt△EDF，即可求解；②根据①的结论用DC表示出BF，再在Rt△BFC中利用勾股定理即可求解； （3）分情况讨论：第一种情况：当G点在四边形ABCD内部时；第一种情况：当G点在四边形ABCD的边BC上时；第一种情况：当G点在四边形ABCD外部时．三种情况方法相似，均是先证明GF=DF，再在Rt△BCF中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由折叠的性质得：AE=EG，∠A=∠BGE， 在矩形ABCD中，∠A=∠ABG=90°， ∴∠BGE=90°， ∴四边形ABGE是矩形， ∵AE=EG， ∴矩形ABGE是正方形， ∴AB=AE， ∵E点为AD中点， ∴2AE=AD， ∴2AB=AD； （2）解：如图， ①由折叠的性质得：AE=EG，∠A=∠BGE， 在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°=∠D， ∴∠EGB=90°=∠EGF， ∵E点为AD中点， ∴AE=ED， ∴EG=ED， ∵EF=EF， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠C=90°，BC=AD， ∵根据折叠有AB=BG， ∴BG=DC， ∵， ∴， 根据①的结论有GF=DF， ∴， ∴， ∵∠C=90°，AD=BC=8， ∴在Rt△BCF中，有， ∴， 解得：， ∴， 即AB的长度为； （3）解：当G点在四边形ABCD内部时，如图， 在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠C=90°， 由（2）得：GF=DF， ∵根据折叠的性质得：AB=BG， ∴BF=BG+GF=AB+DF=DC+DF， ∵，DF+CF=DC， ∴，，且， ∴， ∵在Rt△BCF中，有， ∴， 即， ∴， ∵AB=DC， ∴； 当G点在BC上时，由（1）得：， 此时可知F点与C点重合，即CF=0，DF=DC，根据可知此时的m的值不存在； 当G点在四边形ABCD外部时，连接EF，如图， 根据折叠的性质得：AB=BG，AE=EG，∠A=∠BGE=90°， ∵E点为AD中点， ∴AE=ED， ∴EG=ED， ∵EF=EF， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴DF=GF， ∴BF=BG+GF=AB+DF=DC+DF， ∵，DF-CF=DC， ∴，，且， ∴， ∵在Rt△BCF中，有， ∴，即， ∴， ∵AB=DC， ∴； 综上所述：值可能为或者． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握折叠的性质，证明Rt△EGF≌Rt△EDF是解答本题的关键 【变式4-2】（23-24八年级上·江西景德镇·期中）长方形中，点E是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点F．    (1)若点G恰好落在边上，则与的数量关系是____________； (2)如果点G在长方形的内部，如图所示： ①试探究线段之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的长度为 【分析】（1）由四边形是长方形得，当点G在边上，则，所以； （2）①由折叠得，则，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可得出结论；②设，则，，所以，，根据勾股定理得，求出符合题意的x的值即可． 此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合的数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：如图1，点G在边上，    ∵四边形是长方形， ， 由折叠得， ， ， ∵点E是的中点， ， 故答案为：； （2）解：①， 理由如下：如图，连接，    由图形的翻折可知，， ， ∵点E是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； ②设，则，， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，即的长度为 【变式4-3】（21-22八年级上·江苏无锡·期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． (1)若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE＝　 　； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 【答案】(1)见解析，①，②，见解析； (2)或 【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC； （2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC=90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E， ∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°， ∴DE===8， ∴CE=DC-DE=10-8=2； 故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CE∥AP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）（2）∵△PEC是直角三角形， 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上， 不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$