专题08 计数原理与概率统计、线性规划-【中职专用】江苏省十年（2015-2024）职教高考数学真题分类汇编

专题08 计数原理与概率统计、线性规划 考点01计数原理 （2024江苏）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 （2023江苏）高三年级学生准备了4个演讲类、3个配音类节目，参加学校红色教育表演活动，考虑到演出效果，同类节目不能排在一起，则这7个节目的不同编排种数是 A.144 B.240 C.1440 D.5040 （2022江苏）从6不同的在线课程中选修3门，其中思政和历史课程至少选修1门，则所有不同的选课方案种数是 A. 4 B. 12 C. 16 D. 20 （2021江苏）已知（1﹣2x）n的展开式中x2的系数为40，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 （2020江苏）从5名男医生、4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则所有不同的组队方案种数是 A. 80 B. 100 C. 240 D. 300 （2019江苏）展开式中的常数项等于（ ） A． B． C． D． （2018江苏）用1， 2， 3， 4， 5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是 （ ） A.18 B.24 C.36 D.48 （2016江苏）甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共人有 A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 （2015江苏）有3名女生和5名男生，排成一排，其中3名女生排在一起的所有排法是（ ） A、2880 B、3600 C、4320 D、720 考点02概率统计 （2024江苏）学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. （2023江苏）已知集合 (1)从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，求事件{关于的幂函数是奇函数}的概率 (2)从集合中任取一个实数，从集合中任取一个实数，求事件{双曲线的离心率}的概率 （2022江苏）（12分）袋内有形状、大小相同的9个球，其中2个白球，3个红球，4个黄球，从中随机取 3个球，求下列事件的概率： （1）A = {取出的3个球颜色相同}； （2）B = {取出的3个球中红、白、黄球各有一个}； （3）C= {取出的3个球中恰有2个白球}. （2021江苏）已知关于x的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+a． （1）若a∈{﹣1，1，2，3}，b∈{0，1，2}，求事件A＝{f（x）在[1，+∞）上是增函数}的概率； （2）若a∈[1，2]，b∈[0，2]，求事件B＝{方程f（x）＝0没有实数根）的概率． （2020江苏）袋中装有5张分别写着1，2，3，4，5的卡片。 （1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率； （2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片。 ①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率； ②若第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，求事件C={点在圆内}的概率。 （2019江苏）已知曲线：，其中是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数． （1）求“曲线表示圆”的概率； （2）若，，在此曲线上随机取一点，求“点位于第三象限”的概率． （2018江苏）某校从初三年级体育加试百米测试成绩中抽取100个样本，所有样本成绩全部在11秒到19秒之间. 现将样本成绩按如下方式分为四组：第一组[11，13)，第二组[13,15），第三组[15，17），第四组[17,19]，题19图是根据上述分组得到的频率分布直方图. （1）若成绩小于13秒被认定为优秀，求该样本 在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）是估算本次测试的平均成绩； （3）若第四组恰有3名男生，现从该组随机抽 取3名学生，求所抽取的学生中至多有1名女 生的概率. （2017江苏）将一枚骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为m，n，则点（m，n）在圆 (θ是参数)上的概率为 A. B. C. D. （2017江苏）(12分)为了弘扬传统文化，某校举办了诗词大赛.现将抽取的200名学生的成绩从低到高依次分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），得到频率分布直方图（题19图）.解答下列问题： (1)求a的值； (2)若采用分层抽样的方法从6个小组中随机抽取40人，则应从第1组和第2组各抽取多少人？ (3)从成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求所抽取的2名学生至少有1人来自第5组的概率. 题10图 （2016江苏）（12分）求下列事件的概率： （1）从集合中任取一个数a，从集合中任取一个数b，组成平面上点的坐标，事件点在直线上}； （2）从区间上任取一个数m，从区间上任取一个数n，事件关于x的方程有实根}。 （2015江苏）某班级从甲、乙、丙三名同学中选一名代表在开学典礼上发言，全班同学参加了投票，得票情况统计如题14表及题14图，则同学乙得票数为 。 学生 甲 乙 丙 票数 12 6 题14表 题14图 （2015江苏）盒中共装有9张各写一个字母的卡片，其中4张卡片上的字母是，3张卡片上的字母是，2张卡片上的字母是，现从中任取3张卡片，求下列事件的概率。（1）｛3张卡片上的字母完全相同｝；（2）｛3张卡片上的字母互不相同｝；（3）｛3张卡片上的字母不完全相同｝。 考点03线性规划 （2024江苏）某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本 （2023江苏）某蛋糕店制作A,B两种不同规格的蛋糕，已知制作一个A种规格的蛋糕需要面粉0.4千克，耗费工时0.9小时，制作一个B种规格的蛋糕需要面粉0.8千克，耗费工时0.8小时,出售一个A种规格的蛋糕可获得利润12元，出售一个B种规格的蛋糕可获得利润20元.蛋糕店现有面粉60千克。若总工时不超过80小时，且所有蛋糕都能全部售出，问两种规格的蛋糕各制作多少个时，才能使得总利润最大？并求最大利润 （2022江苏）（10分）某单位租用车辆送180名员工去单位上班.若租车公司有6辆中巴车和8辆大巴车，每辆中巴车能载15人、大巴车能载30人，租用一辆车的费用为中巴车300元、大巴车 500元，且租用的大巴车不多于中巴车3辆，则该单位应租用中巴车、大巴车各多少辆时，租车总费用最小？并求租车总费用的最小值. （2021江苏）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个．问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小？并求最小用料面积． （2020江苏）某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务.该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车，共有12名驾驶员，要求该公司每天至少运送640吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次，每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元、乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时，运输公司所花成本最少？并求最小成本. （2019江苏）某房产开发商年初计划开展住宅和商铺出租业务．每套住宅的平均面积为80平方米，每套商铺的平均面积为60平方米．出租住宅每平方米的年利润是30元，出租商铺每平方米的年利润是50元．政策规定：出租商铺的面积不能超过出租住宅的面积，且出租的总面积不能超过48000平方米．若当年住宅和商铺的最大需求量分别为450套和600套，且开发的住宅和商铺全部租空．问房产开发商出租住宅和商铺各多少套，可使年利润最大？并求最大年利润． （2018江苏）某学校计划购买咯篮球和个足球. （1） 若，满足约束条件，问该校计划购买这两种球的总数最多是多少个？ （2） 若，满足约束条件，已知每个篮球100元，每个足球70元，求该校最少要投入多少元？ （2017江苏）（10分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需投资5万元，且要用A原料2吨，B原料3吨，生产每吨乙产品需投资3万元，且要用A原料1吨，B原料2吨，每吨甲产品售价14万元，每吨乙产品售价8万元.该企业在一个生产周期内，投资不超过34万元，消耗A原料不超过13吨，B原料不超过22吨，且生产的产品均可售出.问：在一个生产周期内生产甲、乙产品各多少吨时可获得最大利润，最大利润是多少？ （2016江苏）（10分）某农场主计划种植辣椒和黄瓜，面积不超过42亩，投入资金不超过30万元。下表给出了种植两种蔬菜的产量、成本和售价数据。 品种 产量/亩 种植成本/亩 每吨售价 辣椒 2吨 万元 万元 黄瓜 4吨 万元 万元 问：辣椒和黄瓜的种植面积分别为多少亩时，所获得的总利润（总利润=总销售收入－总种植成本）最大？并求最大利润（单位：万元）。 （2015江苏）（12分）某学校租用车辆接送188名师生参观爱国主义教育基地，若租车公司现有6辆中巴和8辆大巴可用。每辆中巴可载客18人，大巴40人。已知租用一辆中巴的费用为110元，大巴250元，问学校应租用中巴、大巴各多少辆，才能使费用最少？最少费用是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 计数原理与概率统计、线性规划 考点01计数原理 （2024江苏）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（ ） A. B. C. 960 D. 3360 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数最大项求出，再代展开式通项公式求第4项的系数即可. 【详解】二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中共有项，故， 第4项为，则系数为. 故选：A. （2023江苏）高三年级学生准备了4个演讲类、3个配音类节目，参加学校红色教育表演活动，考虑到演出效果，同类节目不能排在一起，则这7个节目的不同编排种数是 A.144 B.240 C.1440 D.5040 【答案】A 解析： （2022江苏）从6不同的在线课程中选修3门，其中思政和历史课程至少选修1门，则所有不同的选课方案种数是 A. 4 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C （2021江苏）已知（1﹣2x）n的展开式中x2的系数为40，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】展开式中x2的系数为40， 即＝•4x2， 由4＝40得＝10，得n＝5， 故选：A． （2020江苏）从5名男医生、4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则所有不同的组队方案种数是 A. 80 B. 100 C. 240 D. 300 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论: ①选出的5人中有2名男医生, 3名女医生②选出的5人中有3名男医生， 2名女医生，由分类加法计数原理计算可得答案。 【解析】根据题意, 分2种情况讨论： ①选出的5人中有2名男医生， 3名女医生, 有种选法； ②选出的5人中有3名男医生， 2名女医生, 有种选法； 则有40+60=100种组队方法， 故选：B. （2019江苏）展开式中的常数项等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项展开式的通项公式，即可求出答案. 【解析】由二项展开式的通项公式可得展开式的通项公式，令，，∴常数项. 故选：B. （2018江苏）用1， 2， 3， 4， 5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是 （ ） A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】B （2016江苏）甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共人有 A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】D （2015江苏）有3名女生和5名男生，排成一排，其中3名女生排在一起的所有排法是（ ） A、2880 B、3600 C、4320 D、720 【答案】C 考点02概率统计 （2024江苏）学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率： （1）{女同学全部被选中}； （2）{男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}； （3）{既有男同学又有女同学被选中}. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式，结合实际问题组合数的计算即可得解； （2）利用古典概型的概率公式，结合分类计数原理与组合数的计算即可得解； （3）利用古典概型的概率公式，结合间接法与组合数的计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，一共有9人，总的基本事件有个， 事件A包含的基本事件有个， 所以； 【小问2详解】 事件B包含的基本事件有个， 所以； 【小问3详解】 事件C包含的基本事件有 个， 所以. （2023江苏）已知集合 (1)从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，求事件{关于的幂函数是奇函数}的概率 (2)从集合中任取一个实数，从集合中任取一个实数，求事件{双曲线的离心率}的概率 解：（1）由题意，， 所有基本事件有个，事件条件为为奇数， 符号条件的基本事件为，共3个， ，事件的概率为； （2）所有基本事件为正方形，面积为， 化简得，事件条件为 符号条件的基本事件为三角形，面积为， ，事件的概率为. （2022江苏）（12分）袋内有形状、大小相同的9个球，其中2个白球，3个红球，4个黄球，从中随机取 3个球，求下列事件的概率： （1）A = {取出的3个球颜色相同}； （2）B = {取出的3个球中红、白、黄球各有一个}； （3）C= {取出的3个球中恰有2个白球}. 基本事件总数为 （1） 满足事件A的事件数为，； （2）满足事件B的事件数为，； （3）满足事件C的事件数为，. （2021江苏）已知关于x的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+a． （1）若a∈{﹣1，1，2，3}，b∈{0，1，2}，求事件A＝{f（x）在[1，+∞）上是增函数}的概率； （2）若a∈[1，2]，b∈[0，2]，求事件B＝{方程f（x）＝0没有实数根）的概率． 【答案】见解析【解析】（1）根据题意有：a＞0，且对称轴≤1． 基本事件总数为， 满足事件A的事件数为（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）共有5个， ∴P（A）＝； （2）方程ax2﹣4bx+a＝0无实根，则，∴， 又∵a∈[1，2]，b∈[0，2]，∴a﹣2b＞0， 如图， ∴． （2020江苏）袋中装有5张分别写着1，2，3，4，5的卡片。 （1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率； （2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片。 ①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率； ②若第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，求事件C={点在圆内}的概率。 【答案】(1) (2) ① ② 【解析】(1)试验包含基本事件总数为，事件A包含基本事件总数为5， ∴. (2) ①试验“从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片”包含基本事件 试验包含基本事件总数为20个. 事件B包含的基本事件有(1,2) ，(1,3)，(1,4) ，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5) , (3,4)，(3,5)，(4，5)，基本事件个数为10. ∴. ②事件C包含的基本事件：，基本事件个数为6， ∴. （2019江苏）已知曲线：，其中是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数． （1）求“曲线表示圆”的概率； （2）若，，在此曲线上随机取一点，求“点位于第三象限”的概率． 【答案】(1) ； (2) . 【解析】∵曲线：表示圆， ∴， 设事件A：曲线表示圆， 则. (2) ∵，， ∴， ∴表示圆心为，半径为2的圆. 设事件B：点位于第三象限， 则， ∴“点位于第三象限”的概率为. （2018江苏）某校从初三年级体育加试百米测试成绩中抽取100个样本，所有样本成绩全部在11秒到19秒之间. 现将样本成绩按如下方式分为四组：第一组[11，13)，第二组[13,15），第三组[15，17），第四组[17,19]，题19图是根据上述分组得到的频率分布直方图. （1）若成绩小于13秒被认定为优秀，求该样本 在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）是估算本次测试的平均成绩； （3）若第四组恰有3名男生，现从该组随机抽 取3名学生，求所抽取的学生中至多有1名女 生的概率. 解：（1）由频率分布直方图可得成绩优秀的人数为 0.1×2×100=20.······································4分 （2）因为12×0.1+14×0.15+16×0.2+18×0.05=7.4，·············2分 所以本次测试的平均成绩为7.4×2=14.8秒.··············2分 （3）由频率分布直方图得第四组有100×0.05×2=10人，其中由7名女 生，3名男生.·········································1分 设“所抽取的3名学生中至多有1名女生”记作事件 所求事件的概率为·················3分x=5cosθ y=5sinθ （2017江苏）将一枚骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为m，n，则点（m，n）在圆 (θ是参数)上的概率为 A. B. C. D. （2017江苏）(12分)为了弘扬传统文化，某校举办了诗词大赛.现将抽取的200名学生的成绩从低到高依次分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），得到频率分布直方图（题19图）.解答下列问题： (1)求a的值； (2)若采用分层抽样的方法从6个小组中随机抽取40人，则应从第1组和第2组各抽取多少人？ (3)从成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求所抽取的2名学生至少有1人来自第5组的概率. 题10图 【答案】 （2016江苏）（12分）求下列事件的概率： （1）从集合中任取一个数a，从集合中任取一个数b，组成平面上点的坐标，事件点在直线上}； （2）从区间上任取一个数m，从区间上任取一个数n，事件关于x的方程有实根}。 【答案】（1）事件A的情况有：共3种；基本事件的总数为12种 ∴； （2）由方程有实数根，，，，解得，如图： 事件B可用图中阴影部分梯形面积表示，基本事件可用图中长方形面积表示， ∴ （2015江苏）某班级从甲、乙、丙三名同学中选一名代表在开学典礼上发言，全班同学参加了投票，得票情况统计如题14表及题14图，则同学乙得票数为 。 学生 甲 乙 丙 票数 12 6 题14表 题14图 【答案】22 （2015江苏）盒中共装有9张各写一个字母的卡片，其中4张卡片上的字母是，3张卡片上的字母是，2张卡片上的字母是，现从中任取3张卡片，求下列事件的概率。（1）｛3张卡片上的字母完全相同｝；（2）｛3张卡片上的字母互不相同｝；（3）｛3张卡片上的字母不完全相同｝。 答（1），（2），（3） 考点03线性规划 （2024江苏）某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本． 【答案】种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. 【解析】 【分析】设两个未知数，根据题意列不等式组并画出对应区域图，设总成本并求对应函数纵截距最值及对应的值，即可求出最低成本. 【详解】设种植松树株，种植樟树株，则，， 则总成本，即， 由题意可得：，该不等式组表示的线性规划区域如下图所式： 联立，解得，则， 结合图象可知，当过点时，截距最小，最小， 所以最小值为. 故种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. （2023江苏）某蛋糕店制作A,B两种不同规格的蛋糕，已知制作一个A种规格的蛋糕需要面粉0.4千克，耗费工时0.9小时，制作一个B种规格的蛋糕需要面粉0.8千克，耗费工时0.8小时,出售一个A种规格的蛋糕可获得利润12元，出售一个B种规格的蛋糕可获得利润20元.蛋糕店现有面粉60千克。若总工时不超过80小时，且所有蛋糕都能全部售出，问两种规格的蛋糕各制作多少个时，才能使得总利润最大？并求最大利润 解：设制作种规格蛋糕个，种规格蛋糕个，利润元， ，且， 作不等式表示的平面区域， 作直线，平移直线， ，解得，， 当直线过时，最大为， 答：制作种规格蛋糕个，种规格蛋糕个，利润最大元. （2022江苏）（10分）某单位租用车辆送180名员工去单位上班.若租车公司有6辆中巴车和8辆大巴车，每辆中巴车能载15人、大巴车能载30人，租用一辆车的费用为中巴车300元、大巴车 500元，且租用的大巴车不多于中巴车3辆，则该单位应租用中巴车、大巴车各多少辆时，租车总费用最小？并求租车总费用的最小值. 设该单位应租用中巴车辆，大巴车辆时，租车总费用最小. 由题意知 因为 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示. 目标函数为 解方程组得 图中阴影部分是问题的可行域，从图中看出目标函数在点（2，5）处取得最小值，即元 所以，该单位应租用中巴车2辆，大巴车5辆时，租车总费用最小，为3100元. （2021江苏）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个．问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小？并求最小用料面积． 【答案】见解析【解析】设需要甲种原料x张，乙种原料y张， 则， 所用原料的总面积z＝3x+2y． 由约束条件作出可行域如图， 联立，解得x＝2，y＝1，即A（2，1）， 由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时， z取得最小值为3×2+2×1＝8． 故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8m2． （2020江苏）某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务.该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车，共有12名驾驶员，要求该公司每天至少运送640吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次，每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元、乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时，运输公司所花成本最少？并求最小成本. 【答案】每天派出甲型卡车7辆，乙型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1680元. 【解析】(1) 设每天派出辆甲型卡车 辆，乙型卡车辆，运输队所花成本为元, 则，， 目标函数， 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示: 由图可知，当直线，经过点A时,截距z最小, 解方程组得点A的坐标为， 又， ∴点A不是最优解， ∴在可行域的整数点中，点（7，0)使取得最小值， 即， ∴每天派出甲型卡车7辆，乙型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1680元. （2019江苏）某房产开发商年初计划开展住宅和商铺出租业务．每套住宅的平均面积为80平方米，每套商铺的平均面积为60平方米．出租住宅每平方米的年利润是30元，出租商铺每平方米的年利润是50元．政策规定：出租商铺的面积不能超过出租住宅的面积，且出租的总面积不能超过48000平方米．若当年住宅和商铺的最大需求量分别为450套和600套，且开发的住宅和商铺全部租空．问房产开发商出租住宅和商铺各多少套，可使年利润最大？并求最大年利润． 【答案】房产开发商出租住宅300套，商铺400套时，可使年利润最大,此时最大年利润为1920000元. 【解析】设出租住房套，商铺套，利润为元，则=80+60=， 满足，化简得， ∴画出可行域 联立直线方程求解得,即A(300,400)， ∴当移动直线时，经过点A(300,400)时, 该直线在y轴上截距最大,即年利润取到最大值，最大值为P=2400×300 +3000× 400=1920000. 故房产开发商出租住宅300套，商铺400套时，可使年利润最大,此时最大年利润为1920000元. （2018江苏）某学校计划购买咯篮球和个足球. （1） 若，满足约束条件，问该校计划购买这两种球的总数最多是多少个？ （2） 若，满足约束条件，已知每个篮球100元，每个足球70元，求该校最少要投入多少元？ 解：（1）设该校一共购买个球，则目标函数是，··········1分 作出约束条件所表示的平面区域（答21图）， 解方程组得，···········2分 图中阴影部分是问题的可行域，根据题意 从图中看出目标函数在点处取得最大值， 即max z=7+9=16个， 所以该校最多一共可购买16个球.········3分 （2）设该校需要投入元，则目标函数是 ，·························1分 约束条件的可行域是答21图中不包含边界的部分，根据 容易得到满足条件的整数点只有三个，分别是（5,4），（6,5），（6,6）， ·························································2分 显然点（5,4）是最优解，此时min =100×5+70×4=780元， 所以该校最少投资780元.··································1分 （2017江苏）（10分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需投资5万元，且要用A原料2吨，B原料3吨，生产每吨乙产品需投资3万元，且要用A原料1吨，B原料2吨，每吨甲产品售价14万元，每吨乙产品售价8万元.该企业在一个生产周期内，投资不超过34万元，消耗A原料不超过13吨，B原料不超过22吨，且生产的产品均可售出.问：在一个生产周期内生产甲、乙产品各多少吨时可获得最大利润，最大利润是多少？ （2016江苏）（10分）某农场主计划种植辣椒和黄瓜，面积不超过42亩，投入资金不超过30万元。下表给出了种植两种蔬菜的产量、成本和售价数据。 品种 产量/亩 种植成本/亩 每吨售价 辣椒 2吨 万元 万元 黄瓜 4吨 万元 万元 问：辣椒和黄瓜的种植面积分别为多少亩时，所获得的总利润（总利润=总销售收入－总种植成本）最大？并求最大利润（单位：万元）。 【答案】设辣椒和黄瓜的种植面积分别为x，y亩，获得总利润为z万元． 即 由 得 由图可知当，时，z有最大值 即设辣椒和黄瓜的种植面积分别为30亩和12亩时，获得总利润最大为万元 （2015江苏）（12分）某学校租用车辆接送188名师生参观爱国主义教育基地，若租车公司现有6辆中巴和8辆大巴可用。每辆中巴可载客18人，大巴40人。已知租用一辆中巴的费用为110元，大巴250元，问学校应租用中巴、大巴各多少辆，才能使费用最少？最少费用是多少元？ 解：设应租用中巴、大巴分别为辆，费用为 则 当时，元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$