专题06 圆锥曲线-【中职专用】江苏省十年（2015-2024）职教高考数学真题分类汇编

专题06 圆锥曲线 考点01椭圆 （2024江苏）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． （2023江苏）已知椭圆的四个顶点围成得四边形周长为，离心率为 (1)求椭圆的标准方程 (2)不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，证明：直线与直线的斜率之和等于零. （2021江苏）已知椭圆的离心率为． （1）证明：； （2）若点在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ． ①求直线l的方程； ②求椭圆C的标准方程． （2020江苏）已知椭圆的焦距为，短轴长为2. （1）求椭圆E的方程； （2）设A为椭圆的左顶点，过点A的直线与椭圆交于另一点B. ①若，求直线的斜率； ②若点在线段AB的垂直平分线上，且，求m的值. （2019江苏）已知圆：（）与椭圆：（）相交于点，，且椭圆的一条准线方程为． （1）求的值和椭圆的方程； （2）过点的直线另交圆和椭圆分别于，两点． ①若，求直线的方程； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：． （2018江苏）已知椭圆和直线，直线与椭圆交于,两点. (1) 求椭圆的准线方程； (2) 求△面积的最大值； (3) 如果椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围. （2017江苏）已知椭圆E：+=1的右焦点是圆C：(x-2)2+y2=9的圆心，且右准线方程为x=4.[来源:学科网ZXXK] (1)求椭圆E的标准方程； (2)求以椭圆E的左焦点为圆心，且与圆C相切的圆的方程； (3)设P为椭圆E的上顶点，过点M 0，-的任意直线（除y轴）与椭圆E交于A，B两点，求证：PA⊥PB. （2016江苏）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，并且线段的中点在直线上，求直线的方程； （3）求过原点O和右焦点F，并且与椭圆右准线相切的圆的方程。 （2015江苏）在平面直角坐标系中，已知的两个顶点为A（-4，0)和C（4，0），第三个顶点B在椭圆上，则 。 （2015江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率，过右焦点，且垂直于轴的直线被椭圆E截得弦长为，设直线与椭圆E交于不同的两点A、B，以线段AB为直径作圆M。（1）求椭圆E的标准方程；（2）若圆M与轴相切，求圆M的方程；（3）过点作圆M的弦，求最短弦的长。 考点02双曲线 （2022江苏）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 A. B. C. D. （2021江苏）已知双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，则该双曲线的离心率是（　　） A． B． C．2 D． （2019江苏）已知双曲线的焦点在轴上，且两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． （2018江苏）若双曲线(>0,>0)的一条渐近线把圆 (为参数)分成面积相等的两部分，则该双曲线的离心率是_______. 考点03抛物线 （2019江苏）已知点是抛物线：（）上一点，为的焦点，线段的中点坐标是，则__________． 考点04圆锥曲线综合 （2024江苏）已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. （2022江苏）（14分）已知椭圆的右准线方程为，且该准线截抛物线所得的弦长为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合. ① 求椭圆的标准方程； ② 过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线AD过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线 考点01椭圆 （2024江苏）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 【答案】（1） （2）① ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程中，可得a与b的关系，由离心率公式可得a与c的关系，再由椭圆中的即可求解椭圆的标准方程. （2）①先求出点M的坐标，再求出直线OM的方程，设出点N的坐标，再由点N在椭圆C上，代入椭圆C的方程即可求解点N的坐标. ②分为直线斜率存在和不存在两种情况讨论，求解三角形的底边和高，计算即可得到定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以有①， 又因为离心率为，所以有②， 又因为在椭圆中③， 将②代入③中有④， 将④代入①中有，解得， 所以， 所以椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以椭圆，点代入D得 解得，所以，则， 因为射线交椭圆C于点N， 所以点N点在第一象限， 所以，， 设，N在椭圆C上， 则，解得， 又因为，所以，所以， . ②（i）当直线l斜率不存在时，轴，且与椭圆相切，如图一， ， 当时，，解得， 设,,所以， 所以, 当时，，解得， 设,,所以， 所以, （ii）当直线l斜率存在时，设l：，，，如图二， 因为l与椭圆D相切，所以， 联立得， ， ，可得， ，联立得， 由， 所以，， ， 点O到l的距离是， ， 综上，的面积是定值． （2023江苏）已知椭圆的四个顶点围成得四边形周长为，离心率为 (1)求椭圆的标准方程 (2)不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，证明：直线与直线的斜率之和等于零. 解：（1），解得， ∴椭圆方程为； （2）上焦点， 设直线方程为，， 消去得， ，， ， ∴直线与直线的斜率之和等于零. （2021江苏）已知椭圆的离心率为． （1）证明：； （2）若点在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ． ①求直线l的方程； ②求椭圆C的标准方程． 【解答】证明（1）：由题意，∴， 即：2a2＝3c2＝3（a2﹣b2） ∴a2＝3b2，可得； 得证． 解（2）：①由（1）可得方程为，即x2+3y2＝3b2， ∵当在内部， ∴， ∴． 设直线与椭圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得……①； ……②； 由①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣3（y1+y2）（y1﹣y2）； ∵M为线段PQ的中点， ∴＝， 由点斜式可得直线l的方程为．即． ②联立，把直线方程代入椭圆方程得：x2+9（x﹣1）2＝3b2， 即：10x2﹣18x+9﹣3b2＝0． ∴， 又∵OP⊥OQ，而， ∴， 即4x1x2﹣3（x1+x2）+3＝0……③ 将x1+x2，x1x2代入③ 解得b2＝1符合题意．a2＝3． ∴椭圆方程为． （2020江苏）已知椭圆的焦距为，短轴长为2. （1）求椭圆E的方程； （2）设A为椭圆的左顶点，过点A的直线与椭圆交于另一点B. ①若，求直线的斜率； ②若点在线段AB的垂直平分线上，且，求m的值. 【答案】(1) (2) ① ② 【解析】(1)∵椭圆的焦距为，短轴长为2. ∴， ∴， ∴， ∴椭圆E的方程为. (2)由题意设直线的方程为， 联立椭圆和直线方程可得， ∴， ∴恒成立， ∴由韦达定理可得， 由弦长公式 . ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=0， ∴， ∴， ∴. ②∵点在线段AB的垂直平分线上， ∴设线段AB的垂直平分线方程为， 可得的中点为带入线段AB的垂直平分线方程， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴. （2019江苏）已知圆：（）与椭圆：（）相交于点，，且椭圆的一条准线方程为． （1）求的值和椭圆的方程； （2）过点的直线另交圆和椭圆分别于，两点． ①若，求直线的方程； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：． 【答案】(1) ，椭圆的方程为；(2)①或；②略. 【解析】(1)∵圆：（）与椭圆：（）相交于点，， ∴，， ∵椭圆的一条准线方程为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴椭圆的方程为. (2) ①由题意可得斜率必然存在. 设：，则， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的方程；， ∴直线的方程或. ②， ， ∴. （2018江苏）已知椭圆和直线，直线与椭圆交于,两点. (1) 求椭圆的准线方程； (2) 求△面积的最大值； (3) 如果椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围. 解：（1）易知，，得，·······················2分 所以准线方程为.·····················2分 （2）联立方程组，化简得， 由得 设， 则，， 于是||= ，·························2分 又原点到直线的距离，············1分 所以 ， 当时，等号成立， 即△面积的最大值为.·····················3分 （3）是椭圆上不同的两点，它们关于直线 对称，所以直线的方程可设为， 联立方程组，化简得， 于是，解得，·····1分 又，， 因此的中点坐标，点必在直线上， 代入直线方程得，····························1分 又， 所以.·······························2分 （2017江苏）已知椭圆E：+=1的右焦点是圆C：(x-2)2+y2=9的圆心，且右准线方程为x=4.[来源:学科网ZXXK] (1)求椭圆E的标准方程； (2)求以椭圆E的左焦点为圆心，且与圆C相切的圆的方程； (3)设P为椭圆E的上顶点，过点M 0，-的任意直线（除y轴）与椭圆E交于A，B两点，求证：PA⊥PB. （2016江苏）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，并且线段的中点在直线上，求直线的方程； （3）求过原点O和右焦点F，并且与椭圆右准线相切的圆的方程。 【答案】（1）设椭圆的方程为 由，得，所以 得椭圆的方程为； （2）设直线l方程为， 由方程组 得 设，， 则， 得的中点坐标为， 代入直线方程，得 解得， 所以直线方程为或； （3）设圆的标准方程，由题意得： ，解得 所以圆的方程为 （2015江苏）在平面直角坐标系中，已知的两个顶点为A（-4，0)和C（4，0），第三个顶点B在椭圆上，则 。 【答案】； （2015江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率，过右焦点，且垂直于轴的直线被椭圆E截得弦长为，设直线与椭圆E交于不同的两点A、B，以线段AB为直径作圆M。（1）求椭圆E的标准方程；（2）若圆M与轴相切，求圆M的方程；（3）过点作圆M的弦，求最短弦的长。 解：（1） （2）因为点在椭圆上，所以，所以圆M的方程为 （3）因为，所以点在圆M内。 圆M的圆心为M，半径为 最短弦过点P且垂直于MP， 弦长=. 考点02双曲线 （2022江苏）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A （2021江苏）已知双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，则该双曲线的离心率是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，可得＝2， 所以e＝＝． 故选：D． （2019江苏）已知双曲线的焦点在轴上，且两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查双曲线的渐近线公式及离心率公式及关系. 【解析】∵双曲线的焦点在轴上，∴双曲线的方程为，所以渐近线方程为， ∵两条渐近线方程为，∴. ∵，∴离心率. 故选：A. （2018江苏）若双曲线(>0,>0)的一条渐近线把圆 (为参数)分成面积相等的两部分，则该双曲线的离心率是_______. 【答案】 考点03抛物线 （2019江苏）已知点是抛物线：（）上一点，为的焦点，线段的中点坐标是，则__________． 【答案】 【分析】考查抛物线焦点坐标及抛物线上一点的设法.结合中点坐标公式，联立方程组即可求得答案. 【解析】∵抛物线：（）的焦点设由中点坐标是，可知，0+，解得. 考点04圆锥曲线综合 （2024江苏）已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线方程得到，再利用双曲线与抛物线的准线重合得到，从而代入求得，由此得解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即， 抛物线可化为，其准线为， 可得双曲线的准线，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则该双曲线的标准方程为. 故选：A. （2022江苏）（14分）已知椭圆的右准线方程为，且该准线截抛物线所得的弦长为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合. ① 求椭圆的标准方程； ② 过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线AD过定点. （1）由题意知，抛物线过点，所以所以抛物线的方程为. （2）①抛物线的焦点坐标为，因为椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合，所以， ，所以椭圆的方程为. ②由题意知，直线的斜率是存在的，设直线的方程为. 设，则. 由，可得，则当时， 因为，所以直线AD的方程为， 即， 因为， 所以直线AD的方程为 所以直线AD恒过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$