专题01 数的开方（中等+优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题01数的开方思维导图 【类型覆盖】 类型一、算术平方根的非负性 【解惑】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D．0 【融会贯通】 1．已知直角坐标系中，点满足，则点P坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为 ． 3．阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 类型二、估算算术平方根 【解惑】估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【融会贯通】 1．估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 2．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 类型三、实数中的数轴 【解惑】如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ． 3．求下列符合条件的未知数的值： (1) (2) 类型四、程序流程图 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 2．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 3．求下列各式中x的值： (1) (2) 类型五、整数与小数部分 【解惑】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【融会贯通】 1．已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 类型六、平方根与立方根解方程 【解惑】已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【融会贯通】 1．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 2．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 3．如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 类型七、立方根的实际应用 【解惑】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【融会贯通】 1．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 2．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 类型八、实数运算的实际应用 【解惑】阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【融会贯通】 1．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 2．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 3．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 类型九、实数中的规律 【解惑】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2)______． (3)计算：． 【融会贯通】 1．对于正数x，规定．例如：，，． (1)求值：_______；_______． (2)猜想：_______，并证明你的结论； (3)求值． 2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 3．阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数．用表示这三个数中最小的数．例如：；； 解决下列问题： (1)______，若，求的范围 (2)如果，求 类型十、实数中的新定义 【解惑】阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________； (2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【融会贯通】 1．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 2．本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． (1)写出与的取值范围； (2)若为有理数8，求此时的值； (3)已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【一览众山小】 1．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是 ． 5．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 6．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 7．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 8．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 9．若满足，则 ． 10．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01数的开方思维导图 【类型覆盖】 类型一、算术平方根的非负性 【解惑】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性等知识，依据题意得出，，从而求出a、b的值，继而得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是：， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知直角坐标系中，点满足，则点P坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性质以及算术平方根中被开方数的非负性质，解二元一次方程组，正确得出，的值是解题关键． 直接利用绝对值的非负性质以及算术平方根中被开方数的非负性质，解二元一次方程组即可． 【详解】 解：∵， ， 解得：， 故点坐标为：． 故选：D． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，算术平方根的非负性，理解绝对值，算术平方根的非负性是解决问题的前提，求出、的值是正确解答的关键．根据绝对值，算术平方根的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，而，， ，， 解得，， ． 故答案为： 3．阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)3； (2)的值是0或2 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小， （1）先估算出的大小，然后确定整数部分； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，即， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3；． （2）∵ ∴， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ∴ 即： ∴， 解得或． ∴满足条件的的值是0或2． 类型二、估算算术平方根 【解惑】估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 【融会贯通】 1．估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 类型三、实数中的数轴 【解惑】如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，先根据数轴确定点对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间且靠近， A、，故本选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数是，且点在点的右侧， 点表示的数为：， 故选：B． 2．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根的定义，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 根据x是满足的整数，则求出或5，分别代入找出符合结果是有理数的即可． 【详解】解：∵x是满足的整数 ∴或 ∴或5， 当时，是无理数，不符合题意舍； 当时，是有理数，符合题意， ∴， 故答案为：5． 3．求下列符合条件的未知数的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根， （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 类型四、程序流程图 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 【融会贯通】 1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 2．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】5 【分析】利用夹逼法确定，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个连续的整数， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法求解的方法是解题关键． 3．求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，   ∴ ，    ∴； 类型五、整数与小数部分 【解惑】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了用算术平方根和立方根的定义求解方程，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接开平方求解即可； （2）将移到方程右边，两边同时乘以3，然后两边同时开立方，得到一个一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或 （2） ， ， 类型六、平方根与立方根解方程 【解惑】已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3 (2)cm 【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根． （1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可． 【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：， 解得：或（舍去），即棱长为cm， 体积为(cm3)， 答：正方体的棱长为cm，体积为cm3； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：， 解得：， 所以每个小正方体的棱长为cm． 答：每个小正方体的棱长为cm． 【融会贯通】 1．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 2．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3． (2)正方形的面积是5，边长为． 【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键． （1）直接根据立方根的意义求解即可； （2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y，则， 解得，（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． 3．如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 【答案】(1)12厘米 (2)64平方厘米 (3)58.8厘米 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答； （3）利用平行线的性质及平移的性质，找到即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：厘米， 答：正方形纸板的边长为12厘米； （2）解：依题意得：厘米， 则剪切纸板的面积平方厘米， 剩余纸板的面积平方厘米， 即剩余的正方形纸板的面积为64平方厘米． （3）解：由图及条件可知：， 故零件的周长为： 类型七、立方根的实际应用 【解惑】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【融会贯通】 1．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 2．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可； （3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：；1； （2）解：∵，，，，…， ∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 类型八、实数运算的实际应用 【解惑】阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 【融会贯通】 1．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 2．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 3．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 类型九、实数中的规律 【解惑】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2)______． (3)计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． （3）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）， 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握其运算法则解题的关键． 【融会贯通】 1．对于正数x，规定．例如：，，． (1)求值：_______；_______． (2)猜想：_______，并证明你的结论； (3)求值． 【答案】(1)1；1 (2)1；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，可以取得各个式子的值； （2）根据（1）中的最后一个式子的值，可以写出猜想，然后证明即可； （3）根据（2）中已经证明的结论，可以求得所求式子的值． 本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ， ∴ ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：， 证明： ， 成立； （3）解： ． 2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2，5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， ，， 故答案为：2，5； （2），，且， ，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 3．阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数．用表示这三个数中最小的数．例如：；； 解决下列问题： (1)______，若，求的范围 (2)如果，求 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据定义：用表示这三个数的平均数．用表示这三个数中最小的数．进行列式，分类讨论，即可作答． （2）根据新定义求出，，的值，再根据，，的意义，分三种情况分别进行解答即可． 本题考查解一元一次不等式组，实数的大小比较以及新定义运算，掌握一元一次不等式组的解法，理解新定义运算的意义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：依题意， ； ∵ ∴得， 即． （2）解：，，， 当，，时，此时，即，解得； 当，，时，无意义； 当，，时，此时，即，解得（舍去）， 综上所述，当，，，，时，的值为1． 类型十、实数中的新定义 【解惑】阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________； (2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）先估算出的范围，再求出、的值，最后代入值计算即可； （3）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是， 的小数部分是， 故答案为：； （2）， ，即， 的整数部分是， 的整数部分是，的整数部分是， 的小数部分是，即； 的小数部分是，即， ； （3）解：面积为的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积得：， 当较小时，忽略，得， 解得：， ． 【融会贯通】 1．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 【答案】(1)，16.1，1.67； (2)5 【分析】本题考查算术平方根、平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到275.56对应的为16.6，因为平方根有两个，所以275.56的平方根是，同理计算，，即可解答； （2）根据夹值法求平方根，因为280在278.89和282.24之间，所以在167和168之间，则其整数部分为167，即，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据表格，等于275.56时对应的为16.6， ∵的平方都等于275.56， ∴275.56的平方根是； 同理可得，， 故答案为：；；； （2）解：由． 故． 则， ∴125的立方根为：5． 2．本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． (1)写出与的取值范围； (2)若为有理数8，求此时的值； (3)已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 【答案】(1) (2)29 (3) 【分析】本题考查了实数的运算与性质，理解题意是关键； （1）根据被开方数非负可确定a的取值范围，根据算术平方根非负可确定b的取值范围； （2）由，即可确定b的值，从而可确定a的值； （3）由a的值可得b的值，然后代入等式中，根据x、y为有理数即可求得x、y的值． 【详解】（1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：， 则， 整理得：， ∴， 即． 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 【一览众山小】 1．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即的值在3和4之间， 故选：A． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上实数的位置，计算判断即可．本题考查了实数与数轴，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵， ∴，，，， 故选C． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是实数与数轴，由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 5．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】解：，，2的算术平方根是， 故答案为：． 6．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据运算程序进行计算即可． 【详解】解：根据步骤，输入64，先有，是有理数，是有理数，返回到第一步，取2的立方根是，是无理数，最后输出 故答案为：． 7．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 8．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 9．若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可得，，即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 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