第27章圆 基础题过关检测★【12个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第27章圆 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．圆的认识 二．垂径定理 三．圆周角定理 四．圆内接四边形的性质 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．切线的性质 八．切线的判定与性质 九．正多边形和圆 一十．弧长的计算 一十一．扇形面积的计算 一十二．圆锥的计算 思维导图 考点精讲精练 一．圆的认识 · 圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1．（2024春•昌邑市期末）下列说法正确的有　　 A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 二．垂径定理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．（2024•长沙模拟）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么　　 A．12 B． C．13 D．16 三．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 3．（2024•衢州一模）在中，半径，弦，则弦所对的圆周角大小为 　　度． 4．（2024•吕梁一模）如图，为的直径，，是上两点，且，若，则的度数可以表示为　　 A． B． C． D． 5．（2024•碑林区校级模拟）如图，是的直径，点在上，为的中点，于，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 6．（2023秋•久治县期末）如图，中，，，求的度数． 7．（2024•滨湖区校级二模）如图，是的直径，点、、都是上的点，则　　 A． B． C． D． 8．（2024•赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 9．（2024•青山区校级三模）如图，为半圆的直径，为圆心，点、为半圆上的两个点，且是弧的中点，连接、并延长相交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：（两种证法解答）． （2）若，，请求出的长． 四．圆内接四边形的性质 · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 10．（2024•雁塔区校级模拟）如图，点、、、在上，于点．若，，则的长为　　 A． B． C．8 D．4 11．（2024•天桥区模拟）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 五．点与圆的位置关系 · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 12．（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 13．（2024•广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是　　 A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 六．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 14．（2024•雁塔区校级模拟）如图，是的外接圆，为直径，交于点，若点为半圆的中点，弦，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024•浉河区三模）如图，内接于，是的直径，，则　　． 七．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 16．（2024•泗阳县模拟）如图，，分别与相切于点，，的切线分别交，于点，，切点在弧上，若长为8，则的周长是 　　． 17．（2024•市中区一模）如图，是的直径，，是上的点，，过点作的切线交的延长线于，则为　　 A． B． C． D． 18．（2024•渝中区校级二模）如图，的半径是6，直线与相切于点，连接、分别交于点、点，若点为圆周上一点且，，则的长为　　 A． B． C． D． 19．（2024•新城区校级三模）如图，是的直径，为弦，过点作的切线，交的延长线于点，点为切线上一点，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，且，，求的半径． 20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，． （Ⅰ）如图①，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长． 21．（2024•河东区校级三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． （Ⅰ）如图①，若为弧的中点，求，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点，求的长． 22．（2024•雁塔区校级四模）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． （1）求证：为直角三角形． （2）延长与交于点，连接，若，求的长． 八．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 23．（2024•曾都区三模）如图，在中，，以为直径作交于点，点为的延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24．（2024•榆阳区校级模拟）如图，是的直径，是弦，与相交于点，点是的中点，连接、，为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若为的中点，，求的长． 25．（2024•内蒙古）如图，在中，以为直径的交于点，，垂足为．的两条弦，相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求扇形的面积． 九．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 26．（2024•石家庄模拟）如图，点是正五边形的边延长线上的一点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 27．（2024•保山一模）已知一个正多边形的内角比外角多，则这个多边形的边数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 28．（2024春•晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•义乌市期末）如图，点是正十二边形的中心，于点，则正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2024•九台区三模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出的范围 　　． 31．（2024•中山市二模）如图，正六边形内接于，其半径为6，则这个正六边形的边心距的长为 　　． 32．（2024•长沙一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为　　 A．3 B． C． D． 一十．弧长的计算 · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 33．（2024•包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为　　 A． B． C． D． 34．（2024•内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 　　米．取3.14，计算结果精确到 一十一．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 35．（2024•渝中区校级二模）如图，在矩形中，，对角线，的交点为，分别以、为圆心，的长为半径画弧，两条圆弧恰好都经过点，则图中阴影部分的面积为 　　． 36．（2024•深圳）如图，在矩形中，，为中点，，则扇形的面积为 　　． 37．（2024•长沙模拟）如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 　　． 一十二．圆锥的计算 · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 38．（2024•五华区校级模拟）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 39．（2024•绥江县模拟）将一个底面半径为的圆锥沿任意一条母线剪开，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长是 　　． 40．（2024•渠县校级三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为　　 A． B． C． D． 第27章圆 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．圆的认识 1．（2024春•昌邑市期末）下列说法正确的有　　 A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【答案】 【分析】根据直径的定义对、选项进行判断；根据等弧的定义对选项进行判断；根据弧的分类对选项进行判断． 【解答】解：．经过圆心的弦是直径，所以选项不符合题意； ．直径是同一个圆中最长的弦，所以选项符合题意； ．能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以选项不符合题意； ．弧分为半圆、优弧和劣弧，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键． 二．垂径定理 2．（2024•长沙模拟）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么　　 A．12 B． C．13 D．16 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，设，则，，再利用勾股定理列出方程，解出的值即可． 【解答】解：半径垂直于弦， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 三．圆周角定理 3．（2024•衢州一模）在中，半径，弦，则弦所对的圆周角大小为 　60或120　度． 【答案】60或120． 【分析】根据题意画出图形，连接和，先根据垂径定理求出，结合解直角三角形及圆周角定理得出，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【解答】解：如图，连接、，为优弧上一点，为劣弧上一点， 过作于，连接、， 由垂径定理得：， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：60或120． 【点评】此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 4．（2024•吕梁一模）如图，为的直径，，是上两点，且，若，则的度数可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，求出，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形外角的性质求出． 【解答】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出的度数． 5．（2024•碑林区校级模拟）如图，是的直径，点在上，为的中点，于，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形的性质得出，，结合对顶角相等即可，从而问题得证； （2）根据直角三角形面积公式计算即可求出的长，再证，即可得出与的数量关系，再根据的长即可求出的长，从而求出的长． 【解答】（1）证明：为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得， ， ， 解得， ，， ， ， 解得， 由（1）知， 又，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理及推论，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 6．（2023秋•久治县期末）如图，中，，，求的度数． 【分析】由中，，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角的度数． 【解答】解：中，， ， ． 【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（2024•滨湖区校级二模）如图，是的直径，点、、都是上的点，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答． 【解答】解：连接，如图所示： 是的直径， ， 与是同弧所对的圆周角， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 8．（2024•赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，所以，根据圆周角定理得，再根据，，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【解答】解：半径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 9．（2024•青山区校级三模）如图，为半圆的直径，为圆心，点、为半圆上的两个点，且是弧的中点，连接、并延长相交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：（两种证法解答）． （2）若，，请求出的长． 【答案】（1）证法见解析； （2）2． 【分析】（1）证法一：连接，，根据已知条件证明，再利用平行线分线段成比例证明结论即可；证法二：连接，根据已知条件证明，再根据全等三角形的性质证明结论即可； （2）由（1）得：，利用已知条件，证明，从而得到，然后设，根据已知条件列出关于的方程，求出即可． 【解答】解：（1）证法一：如图，连接，， 为弧的中点， 弧弧， ， ， ， ， ， ， ， ； 证法二：如图所示，连接， 为弧的中点， 弧弧， ， 为直径， ， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， 设，则， 解得：， 的长为2． 【点评】本题主要考查了圆的有关计算，解题关键是熟练掌握圆周角定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质 四．圆内接四边形的性质 10．（2024•雁塔区校级模拟）如图，点、、、在上，于点．若，，则的长为　　 A． B． C．8 D．4 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理求得，在中可得，可得的长度，故长度可求得，即可求解． 【解答】解：连接， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及三角函数，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 11．（2024•天桥区模拟）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念求出即可． 【解答】解：的度数为， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 五．点与圆的位置关系 12．（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断． 【解答】解：点是外一点， ， 的长可能为8． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 13．（2024•广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是　　 A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】 【分析】先根据垂径定理得出，再由得出，故，可知，设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设与交于点， 弦的长为，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ， ， ， 点在圆外． 故选：． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内是解题的关键． 六．三角形的外接圆与外心 14．（2024•雁塔区校级模拟）如图，是的外接圆，为直径，交于点，若点为半圆的中点，弦，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，可得，再根据角的正弦和圆周角定理的推论可得，由点为半圆的中点得到，最后根据三角形的内角和定理可得答案． 【解答】解：如图，连接、， 为直径， ， ， ，即， ， ， 点为半圆的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解题关键． 15．（2024•浉河区三模）如图，内接于，是的直径，，则　　． 【答案】． 【分析】根据是的直径，则，从而有，从而求得，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 七．切线的性质 16．（2024•泗阳县模拟）如图，，分别与相切于点，，的切线分别交，于点，，切点在弧上，若长为8，则的周长是 　16　． 【答案】16． 【分析】由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果． 【解答】解：、、分别与相切于点、、， ，，， 的周长． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长． 17．（2024•市中区一模）如图，是的直径，，是上的点，，过点作的切线交的延长线于，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质证明，而，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2024•渝中区校级二模）如图，的半径是6，直线与相切于点，连接、分别交于点、点，若点为圆周上一点且，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到和，解直角三角形求出，，即可求出． 【解答】解：连接， 直线与相切于点， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据切线的性质证得和是解决问题的关键． 19．（2024•新城区校级三模）如图，是的直径，为弦，过点作的切线，交的延长线于点，点为切线上一点，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，且，，求的半径． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）先根据切线的性质得到，即，再证明，然后根据对顶角相等得到，从而得到； （2）先利用勾股定理计算出，设，则，，证明，利用相似比得到，然后利用方程的解求出，从而得到的半径． 【解答】（1）证明：为的切线， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，，，， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得， ， 的半径为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质． 20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，． （Ⅰ）如图①，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （Ⅱ）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（Ⅰ）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【解答】解：（Ⅰ）在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅱ）如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（Ⅰ）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 21．（2024•河东区校级三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． （Ⅰ）如图①，若为弧的中点，求，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点，求的长． 【答案】（Ⅰ）；； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）连接，根据圆内接四边形的性质得，再根据可得出的度数；根据为弧的中点可得，由此可得的度数； （Ⅱ）连接，相交于点，证明得四边形为矩形，则，然后在△中由勾股定理求出即可得出的长． 【解答】解：（Ⅰ）连接，如图①所示： 四边形内接于，， ， 为的直径， ， ； 为弧的中点， 弧弧， ， ； （Ⅱ）连接，相交于点，如图②所示： 与相切于点， ，即， 为的直径， ， 为弧的中点，为的半径， ，， ， 四边形为矩形， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ． 【点评】此题主要考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键． 22．（2024•雁塔区校级四模）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． （1）求证：为直角三角形． （2）延长与交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可； （2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到，设，则，再利用勾股定理列出方程解答即可． 【解答】（1）证明：与相切于点， ， ， ． ， ， ， ， ． 即， 为直角三角形； （2）解：，， ． 由（1）知：， ． ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， 设，则， ， ， ， ． ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 八．切线的判定与性质 23．（2024•曾都区三模）如图，在中，，以为直径作交于点，点为的延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，则，再根据得，则，然后根据得，进而可得，据此根据切线的判定即可得出结论； （2）根据可设，，则，设，则，证明得，即，由此解出，则，据此即可得出的半径． 【解答】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， 可设，， ， 设， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， 解得：， ， ， 故的半径为． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 24．（2024•榆阳区校级模拟）如图，是的直径，是弦，与相交于点，点是的中点，连接、，为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若为的中点，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，从而得到，故，可证，又根据，得，从而得到为的切线； （2）根据为的中点，可得，又因为，所以，根据对应边成比例可得． 【解答】（1）证明：点是的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 为的切线． （2）解：为的中点， ， ， ，， ， ，即， ． 【点评】本题考查了垂径定理，切线的判定，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握垂径定理，切线的判定，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2024•内蒙古）如图，在中，以为直径的交于点，，垂足为．的两条弦，相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求扇形的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）扇形的面积为． 【分析】（1）连接，则，由，，得，由是的直径，得，则，所以，则，所以，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，可求得，则，由，求得，则，即可根据扇形的面积公式求得． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 九．正多边形和圆 26．（2024•石家庄模拟）如图，点是正五边形的边延长线上的一点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正多边形的每个外角相等求出，再由等腰三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：点是正五边形的边延长线上的一点，连接，若， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形的外角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握正多边形的性质是解题的关键． 27．（2024•保山一模）已知一个正多边形的内角比外角多，则这个多边形的边数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据多边形的外角与相邻内角的和是求出这个正多边形的外角的度数，再由正多边形的外角和是即可求出答案． 【解答】解：设这个多边形的外角为，则与它相邻的内角为，由题意得， ， 解得， 这个多边形的边数为， 即这个正多边形为正五边形， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的内角、外角的关系以及多边形的外角和是是正确解答的关键． 28．（2024春•晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出正六边形的中心角的度数即可． 【解答】解：如图，正六边形内接于， ， 绕着点顺时针或逆时针至少旋转才能与原正六边形重合， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键． 29．（2023秋•义乌市期末）如图，点是正十二边形的中心，于点，则正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据正多边形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：连接， 点是正十二边形的中心， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 30．（2024•九台区三模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出的范围 　　． 【答案】． 【分析】作正六边形的外接圆，连结、、，则，所以，当点与点重合时，最小，；当点与点重合时，最大，，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：作正六边形的外接圆，连结、、， ， ， 点在边上运动， 当点与点重合时，最小，； 当点与点重合时，最大，， 的范围是， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 31．（2024•中山市二模）如图，正六边形内接于，其半径为6，则这个正六边形的边心距的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接、，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：如图所示，连接、， 多边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键． 32．（2024•长沙一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【解答】解：连接、，作于，如图： 六边形是正六边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 的估计值为， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征是解题的关键． 一十．弧长的计算 33．（2024•包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为． 故选：． 【点评】本题考查了弧长的计算，关键是根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质求出圆心角的度数． 34．（2024•内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 　28.7　米．取3.14，计算结果精确到 【答案】28.7． 【分析】利用弧长公式构建关系式，可得结论． 【解答】解：由题意， （米． 米． 故答案为：28.7． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 一十一．扇形面积的计算 35．（2024•渝中区校级二模）如图，在矩形中，，对角线，的交点为，分别以、为圆心，的长为半径画弧，两条圆弧恰好都经过点，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据已知得，都为边长为的等边三角形，，所以阴影部分的面积为三角形的面积减去两个弓形的面积． 【解答】解：根据已知得，都为边长为的等边三角形， ， ，的面积为：， 扇形和扇形的面积为， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 36．（2024•深圳）如图，在矩形中，，为中点，，则扇形的面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件求出，从而求出，根据三角形函数求出，同理求出，进而求出，再利用扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 【解答】解：， ， 为中点， ， 四边形为矩形， ， ， ， 同理，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算等，掌握矩形的性质、三角函数和扇形的面积公式是解题的关键． 37．（2024•长沙模拟）如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 　0.36　． 【分析】连接，设的半径为．在中，利用三角函数求出的值；根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而表示出扇形的面积和的面积，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【解答】解：如图，连接，设的半径为． ， ， ，，， ，即，解得， 又， ， ， ，， ， ． 故答案为：0.36． 【点评】本题考查扇形面积的计算等，掌握等腰三角形的性质及扇形面积公式是本题的关键． 一十二．圆锥的计算 38．（2024•五华区校级模拟）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得出答案． 【解答】解：圆锥的侧面积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 39．（2024•绥江县模拟）将一个底面半径为的圆锥沿任意一条母线剪开，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长是 　9　． 【答案】9． 【分析】设圆锥的母线长为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程，然后解方程即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为 ， 根据题意得， 解得， 即圆锥的母线长为． 故答案为：9． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 40．（2024•渠县校级三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为， ， ， ， ， ， 经检验，是方程的解． 故选：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，关键是圆锥底面周长和侧面积公式的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$