第27章圆 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第27章圆 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．垂径定理的应用 二．圆周角定理 三．圆内接四边形的性质 四．点与圆的位置关系 五．三角形的外接圆与外心 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二．扇形面积的计算 一十三．圆锥的计算 思维导图 考点精讲精练 一．垂径定理的应用 · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1．（2024春•兴义市校级月考）某应急物资储藏室的门洞截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形，上面是半圆，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过储藏室的门吗？请通过计算说明理由． 二．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 2．（2024•舞阳县二模）如图，圆上依次有，，，四个点，，交于点，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024•沙洋县模拟）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•石家庄模拟）如图，点在以为直径的半圆上，，点在上，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2024•鞍山二模）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2024•槐荫区二模）如图，正方形网格中，点，，，均在格点上．过点，且与交于点，点是上一点， 则　　． 7．（2024•浉河区三模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2024•牡丹江）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为 　　． 9．（2024•保山一模）如图，是的弦，交于点，点是优弧上一点，若，则为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•西城区校级月考）如图，在以为直径的半圆中，有一内接矩形，其边长比，若，，，给出下面四个结论： ①②③④ 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 三．圆内接四边形的性质 · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 11．（2024•吉林）如图，四边形内接于．过点作，交于点．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•义乌市期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 　　． 四．点与圆的位置关系 · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 13．（2024•绥江县三模）在同一平面内，点在外，已知点到上的点的最大距离为，最小距离为，则的半径为　　 A． B． C． D． 五．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 14．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则　　． 六．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 15．（2024•桂林二模）如图，是的直径，与相切于点，线段交于点，连接．若，则等于　　 A． B． C． D． 16．（2024•平湖市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点的半径为1，是线段上的一点，连接交于点，在的左侧过点作的切线，切点为，连接，． （1）当时，线段的长是 　　； （2）点在线段上运动时，线段长度的取值范围是 　　． 17．（2024•南漳县一模）在中，弦． （1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论． （2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 七．切线的判定 · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 18．（2024春•金溪县校级月考）如图，直径弦于点，． （1）求证：； （2）若直径，，求证：是的切线． 八．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 19．（2024春•江阴市校级月考）如图，是圆内接三角形，过圆心作，连接，过点作，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）如果，求半径的长度． 20．（2024•营口一模）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 21．（2024•湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22．（2024春•锦江区校级月考）如图，是的直径，弦，垂足为，为上一点，为延长线上一点，且，与的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，，求和的长． 23．（2024•内蒙古）如图，在中，以为直径的交于点，，垂足为．的两条弦，相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求扇形的面积． 24．（2024•铁锋区二模）如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为1的与的一边相切时，的长为 　　． 25．（2024•宝安区校级三模）如图，中，点是边上任意一点，以为圆心，为半径的圆交于，交交于，给出下列信息：①；②；③是的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 　　，结论是 　　（只要填写序号）． （2）如果，，求的半径． 九．三角形的内切圆与内心 · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 26．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 一十．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 27．（2024•随州一模）如图，多边形为圆内接正五边形，与圆相切于点，则的大小为　　 A． B． C． D． 28．（2024•武侯区校级三模）如图，的内接正六边形，的半径为2，这个正六边形的边心距为　　 A．2 B．1 C． D． 29．（2024•保山一模）已知一个正多边形的内角比外角多，则这个多边形的边数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 30．（2024•长春模拟）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为 　　． 31．（2024•东城区校级三模）半径为的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为　　 A． B． C． D． 一十一．弧长的计算 · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 32．（2024•三门峡一模）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是　　 A． B． C． D． 33．（2024•鹿城区一模）若扇形的圆心角为，半径为9，则扇形的弧长为 　　． 一十二．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 34．（2024春•海淀区期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为 　　厘米，正方形团扇的边长为 　　厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 35．（2024•泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 36．（2024•海东市二模）2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是　　 A． B． C． D． 37．（2024•平顶山三模）如图，在扇形中，，点为的中点，点为上任一点，其中，当的值最小时，图中阴影部分的面积为 　　（结果保留 一十三．圆锥的计算 · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 38．（2024•漳州三模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为　　 A．10 B．20 C． D． 39．（2024•东城区二模）一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是　　 A． B． C． D． 40．（2024•易门县二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长，扇形的圆心角　　． 第27章圆 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．垂径定理的应用 1．（2024春•兴义市校级月考）某应急物资储藏室的门洞截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形，上面是半圆，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过储藏室的门吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆货车能通过储藏室的门．理由见解析． 【分析】，为卡车的宽度，过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，，，则且，在中，利用勾股定理可求出，这样，，即可判断． 【解答】解：这辆货车能通过储藏室的门．理由如下： 如图，为卡车的宽度，过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足， 则，，由作法得，， 又， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， 这辆货车能通过储藏室的门． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 二．圆周角定理 2．（2024•舞阳县二模）如图，圆上依次有，，，四个点，，交于点，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 3．（2024•沙洋县模拟）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，重合）．设，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂直的定义得到，由圆周角定理推出，即可求出． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 4．（2024•石家庄模拟）如图，点在以为直径的半圆上，，点在上，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角的含义先求解，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【解答】解：如图，连接， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的对角互补是解本题的关键． 5．（2024•鞍山二模）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【解答】解：如图所示，连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． 6．（2024•槐荫区二模）如图，正方形网格中，点，，，均在格点上．过点，且与交于点，点是上一点， 则　　． 【答案】． 【分析】根据圆周角定理得，，进而得到，据此求解即可． 【解答】解：根据圆周角定理得，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到是解题的关键． 7．（2024•浉河区三模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用作法得到得，则利用等腰三角形的性质得到，于是可计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数． 【解答】解：如图， 由作法得， ， ， ， 直线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． 8．（2024•牡丹江）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为 　　． 【答案】． 【分析】由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【解答】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 9．（2024•保山一模）如图，是的弦，交于点，点是优弧上一点，若，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理、圆周角定理求出，，据此求解即可． 【解答】解：如图，连接， 是的弦，， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解决此题的关键． 10．（2024春•西城区校级月考）如图，在以为直径的半圆中，有一内接矩形，其边长比，若，，，给出下面四个结论： ①②③④ 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据，得出，再根据半径相等判断①；证明，根据相似性质判断②；根据完全平方公式变形判断③④． 【解答】解：，，，， ， ， ， ， ， ， ，①正确； 连接，， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， 即，②正确； ，， ，故③正确； ，故④错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆的性质，完全平方公式，圆周角定理等知识点，解题的关键是证明相似． 三．圆内接四边形的性质 11．（2024•吉林）如图，四边形内接于．过点作，交于点．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，得出，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：， ， 四边形内接于， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 12．（2023秋•义乌市期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】由圆周角定理得到，然后利用是直径求得，从而求得答案． 【解答】解：， ， 是直径， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是将已知条件转化到中，难度不大． 四．点与圆的位置关系 13．（2024•绥江县三模）在同一平面内，点在外，已知点到上的点的最大距离为，最小距离为，则的半径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点在圆外可知即为圆的直径，进而可得出结论． 【解答】解：点在外，已知点到上的点的最大距离为，最小距离为， 的半径为． 故选：． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内是解题的关键． 五．三角形的外接圆与外心 14．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则　65　． 【答案】65． 【分析】连接，先根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 故答案为：65． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 六．切线的性质 15．（2024•桂林二模）如图，是的直径，与相切于点，线段交于点，连接．若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据切线的性质，三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 16．（2024•平湖市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点的半径为1，是线段上的一点，连接交于点，在的左侧过点作的切线，切点为，连接，． （1）当时，线段的长是 　1　； （2）点在线段上运动时，线段长度的取值范围是 　　． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）根据切线的性质得到，在中，由，可得出，再由，得到为等边三角形，根据等边三角形三边相等得到，求出的长即可； （2）延长交圆于点，连接，可得出，设，，根据相似三角形的性质列出与的关系式，可得出随的增大而增大，分别求出的最值，即可求出的范围． 【解答】解：（1）是圆的切线，为圆的半径， ， 在中，， ， ， 为等边三角形， ； 故答案为：1； （2）如图所示，延长交圆于点，连接， 为圆的切线， ， 为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，即， ，， ， 根据勾股定理得：， ， ，， ， 随的增大而增大， 当最小时，最小；最大时，最大， 由图可知，当在点时，最大，最大为，即的最大值为2， 把代入得：最大值为； 当时，最小，即最小， ，，， ， 当时，， 当的最小值为时，的最小值为， 则线段的范围是． 故答案为：． 【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，函数关系式，求函数最值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 17．（2024•南漳县一模）在中，弦． （1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论． （2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）与的长度相等，证明见解答； （2）阴影部分的面积是． 【分析】（1）由弦，得，则，所以，则与的长度相等； （2）连接，则，由切线的性质得，而为的直径，所以，可证明，所以，由，得，所以，则，由，得，求得，即可由求得． 【解答】解：（1）与的长度相等， 证明：弦， ， ， ，， ， 与的长度相等． （2）如图2，连接，则， ， 与相切于点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【点评】此题重点考查同圆中相等的弦所对的弧相等、圆周角定理、平行线的性质、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 七．切线的判定 18．（2024春•金溪县校级月考）如图，直径弦于点，． （1）求证：； （2）若直径，，求证：是的切线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）利用垂径定理求得，再利用证明即可推出； （2）利用圆周角定理求得，再利用余弦函数的定义求得，利用垂径定理结合圆周角定理求得，据此求得，即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）， ， 直径弦于点， ，， ， ； （2）连接，， 为直径， ， ，， ， ， 直径弦于点， ， ， 由（1）得， ，即， 是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，余弦函数的定义，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 八．切线的判定与性质 19．（2024春•江阴市校级月考）如图，是圆内接三角形，过圆心作，连接，过点作，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）如果，求半径的长度． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【分析】（1）根据，可得出，根据平行线的性质可得，即可得出是的切线； （2）根据圆周角定理可得，得出，即可证明，根据相似三角形的性质，结合可求出的长，根据勾股定理即可得答案． 【解答】（1）证明： ，，， ，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，即， ， ， 由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 半径的长度为2． 【点评】本题考查平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质及勾股定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 20．（2024•营口一模）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由圆周角定理得，即，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得，，则，然后由平行线的性质得，则，即，即可得出结论； （2）证，得，则，即可求解． 【解答】（1）证明：是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 21．（2024•湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接，证明，得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）中，解直角三角形求得，，进而求得，根据弧长公式即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，，，，，， ， 解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 的长． 【点评】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，弧长公式，综合运用相关知识是解决问题的关键． 22．（2024春•锦江区校级月考）如图，是的直径，弦，垂足为，为上一点，为延长线上一点，且，与的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，，求和的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是，的长是． 【分析】（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明为的切线； （2）由，根据垂径定理得，由，得，则，求得，，连接，设，则，由勾股定理得，求得，再证明，求得，，所以． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ， ， 于点， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解：是的直径，弦于点，， ，， ， ， ， ， ， 连接，设，则， ， ， 解得， ， ， ， ，， ，， ， 的长是，的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、平行线的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（2024•内蒙古）如图，在中，以为直径的交于点，，垂足为．的两条弦，相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求扇形的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）扇形的面积为． 【分析】（1）连接，则，由，，得，由是的直径，得，则，所以，则，所以，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，可求得，则，由，求得，则，即可根据扇形的面积公式求得． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2024•铁锋区二模）如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为1的与的一边相切时，的长为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】分三种情况讨论解答：①与边相切，②与边相切，③与边相切，依据题意画出图形，利用切线的性质，过点分别作各边的垂线段，利用比例式即可求得结论． 【解答】解：①当与边相切时，如图， 过点作，则为切点，． ， ． ． ， ， ； 此时，点与点重合． ②当与边相切时，如图， 过点作，则为切点，． ， ． ． 由①得：， ． ， 解得：； ③当与边相切时，如图， 过点作于点，则为切点，． 过点作于点， ，， ． ． ，， ． ． ． ． ，， ． ． ， ． 综上，当半径为1的与的一边相切时，的长为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，利用切线的性质得到圆心到直线的距离等于圆的半径和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 25．（2024•宝安区校级三模）如图，中，点是边上任意一点，以为圆心，为半径的圆交于，交交于，给出下列信息：①；②；③是的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 　①②　，结论是 　　（只要填写序号）． （2）如果，，求的半径． 【答案】（1）①②，③（答案不唯一），理由见解答； （2）的半径是． 【分析】（1）把①②作为条件，③作为结论，要证明是的切线，想到连接，只要求出即可，根据已知证明出，即可解答； （2）根据已知，然后把放在和中，先设，，再表示出，即可解答． 【解答】解：（1）选择的条件是：①②，结论是：③， 理由：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； （2）在中，， 设，， ， ，， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的半径是． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练利用锐角三角函数的定义进行计算是解题的关键． 九．三角形的内切圆与内心 26．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】设这个三角形的内切圆半径是，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是， 三角形周长为12，面积为6， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 一十．正多边形和圆 27．（2024•随州一模）如图，多边形为圆内接正五边形，与圆相切于点，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，先求出，再求出，根据切线的性质求出，问题得解． 【解答】解：如图，连接、， 多边形为圆内接正五边形， ， ， ， 为圆的切线， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形和圆的相关知识，切线的性质等，根据题意添加辅助线，求出是解题的关键． 28．（2024•武侯区校级三模）如图，的内接正六边形，的半径为2，这个正六边形的边心距为　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可． 【解答】解：作交于点， 六边形是内接正六边形， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键． 29．（2024•保山一模）已知一个正多边形的内角比外角多，则这个多边形的边数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据多边形的外角与相邻内角的和是求出这个正多边形的外角的度数，再由正多边形的外角和是即可求出答案． 【解答】解：设这个多边形的外角为，则与它相邻的内角为，由题意得， ， 解得， 这个多边形的边数为， 即这个正多边形为正五边形， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的内角、外角的关系以及多边形的外角和是是正确解答的关键． 30．（2024•长春模拟）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为 　　． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，过点作，垂足为，设正六边形的边长为，则， 在△中，，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 31．（2024•东城区校级三模）半径为的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可以求得半径为的圆内接正三角形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值． 【解答】解：如图，过点作于点，连接， 是正三角形，且是半径为的圆的内接正三角形， ， ； 如图，过点作于点，连接，， 六边形半径为的圆的内接正六边形， ，， 是正三角形， ， ， 圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆与正多边形，关键是等边三角形性质定理的应用． 一十一．弧长的计算 32．（2024•三门峡一模）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式：，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的，并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，因此得到，，得出半径，再计算弧长即可 【解答】解：由图可知，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的，并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径， ，，，， ，，，， ，， 弧的半径为， 弧的弧长． 故选：． 【点评】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键． 33．（2024•鹿城区一模）若扇形的圆心角为，半径为9，则扇形的弧长为 　　． 【答案】． 【分析】应用弧长计算公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式进行求解是解决本题的关键． 一十二．扇形面积的计算 34．（2024春•海淀区期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为 　　厘米，正方形团扇的边长为 　　厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】（1），； （2）圆形团扇所用的包边长度更短． 【分析】（1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可； （2）根据圆和正方形的周长公式解答即可． 【解答】解：（1）由题意得： 圆形团扇的半径为：（厘米），正方形团扇的边长为：（厘米）， 故答案为：，； （2）圆形团扇的半径为厘米， 圆形团扇的周长为：（厘米）， 正方形团扇的边长为厘米， 正方形团扇的周长为：（厘米）， ，， ， 圆形团扇所用的包边长度更短． 【点评】本题考查了扇形的面积，掌握圆和正方形的面积和周长公式是解答本题的关键． 35．（2024•泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，作于点，得三角形是等边三角形，求出，，再根据，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接，，作于点， ， 三角形是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 36．（2024•海东市二模）2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：四边形中，，， ，， 车轮的直径为24英寸，约， 需要的铁皮面积约是， 故选：． 【点评】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 37．（2024•平顶山三模）如图，在扇形中，，点为的中点，点为上任一点，其中，当的值最小时，图中阴影部分的面积为 　　（结果保留 【答案】． 【分析】作点关于的对称点，连接，连接与交于点，连接；点（异于点是上的任意一点，连接、、，利用垂直平分线的性质及三角形三边之间的关系证明点使得的值最小；根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证明是等边三角形，从而证明， 分别利用扇形和三角形面积公式计算扇形和的面积，根据计算阴影部分面积即可． 【解答】解：作点关于的对称点，连接，连接与交于点，连接；点（异于点是上的任意一点，连接、、． 点和关于对称， 垂直平分， ， ， 同理，， ， 当点在如图位置时，的值最小． ， 是等腰三角形， ， 是的平分线， ， 是等边三角形， 点为的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积等，掌握垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定及扇形、三角形面积公式是解题的关键． 一十三．圆锥的计算 38．（2024•漳州三模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为　　 A．10 B．20 C． D． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 ，则圆锥母线长为 ， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则圆锥母线长为， 故选：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 39．（2024•东城区二模）一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：圆锥的底面半径的长为3， 圆锥的底面周长的长为， 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 扇形弧长为：， 圆锥侧面展开图的面积为， 故选：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 40．（2024•易门县二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长，扇形的圆心角　120　． 【答案】120． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得， 解得． 故答案为：120． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$