第27章圆 培优题突破练习★★★【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第27章圆 培优题突破练习★★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．圆的认识 二．垂径定理 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．直线与圆的位置关系 八．切线的性质 九．切线的判定 一十．切线的判定与性质 一十一．三角形的内切圆与内心 一十二．正多边形和圆 一十三．扇形面积的计算 思维导图 考点精讲精练 一．圆的认识 · 圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． （1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长　　； ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长　　； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长　　； （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：　　． 二．垂径定理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的内有一点，，点在上，当最大时，的长等于　　 A． B． C．3 D． 3．（2009•鄂州模拟）已知半径为，为外一点，切于点，，是的弦，且，则线段的长为　 　． 三．圆心角、弧、弦的关系 · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 4．（2024•榕城区校级三模）如图，在中，，那么　　 A． B． C． D．与的大小关系无法比较 5．（2021•商河县校级模拟）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 6．（2022秋•南浔区期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 7．如图，在中，弦，点是所对优弧上一点，，，点为上方一点，记的面积为，的面积为，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．10 8．（2022•阳信县模拟）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为　　 A． B． C． D． 9．（1998•金华模拟）如图，，是的两条弦，它们相交于点，连接、，已知，，那么的长是　 　． 10．（2019秋•武昌区期中）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为　　． 11．（2020秋•江岸区校级期末）已知如图，，，，所在圆的圆心是点，，分别在、线段和上选取点、、，则的最小值为　　． 五．点与圆的位置关系 · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 12．（2017秋•丹徒区期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 13．（2020•掇刀区模拟）如图，在等腰直角中，斜边的长度为8，以为直径作圆，点为半圆上的动点，连接，取的中点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 六．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 14．（2020•浙江自主招生）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，是墙角线上的一点，是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•锡山区校级期末）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的外心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论为　　 A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 16．（2020•锦江区校级模拟）设为锐角的边上的点，、分别为与的外接圆圆心，，，，则面积的最小值为 　　． 七．直线与圆的位置关系 · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 17．（2023•隆回县一模）如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点． （1）猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想； （2）若，，求的半径和的长． 八．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 18．（2024•北京）如图，是的直径，点，在上，平分． （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求半径的长． 19．（2024•红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长． 20．（2021秋•通州区期末）如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为　　 A． B． C． D． 21．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，的圆心为，半径是1，点是直线上的动点，过点作的切线，切点是，则切线长的最小值是　　 A． B． C． D． 22．（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，中，，，圆半径为6，为斜边上的一个动点，、分别与圆相切于、，连接交于点，则的最小值为 　　． 23．（2023•兴化市开学）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 　　． 九．切线的判定 · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 24．（2003•吉林）如图，是的直径，是的弦，过弧的中点作的垂线交的延长线于点．若，，则的直径为　　 A． B． C． D． 25．（2024•萍乡一模）如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交干． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26．（2023秋•防城区期末）已知是外一点，交于点，，弦，的度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 27．（2024•恩施州模拟）如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 一十．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 28．（2024•顺庆区二模）如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，，的反向延长线与的延长线交于点，连接与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 一十一．三角形的内切圆与内心 · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 29．（2024•邻水县模拟）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求长． 30．（2018秋•武汉月考）如图，不等边内接于，是其内心，，，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 31．（2019春•江岸区校级月考）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长交于点．连接，则的值为　　 A． B． C． D． 32．如图，关于，有以下结论：①若是锐角的外心，，则；②若是的内心，，则；③若，，则的面积的最大值是12；④的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（2021秋•江都区期末）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 　　． 34．（2022秋•黄石期中）点为的内心，连交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，，若，，则的长为　　． 一十二．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 35．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 36．（2020秋•江岸区期中）如图，多边形为正六边形，点在边上，过作交于点，连接，且满足．设四边形，四边形和三角形的面积分别为，，，则正六边形的面积为　　 A． B． C． D． 37．设正三角形△的面积为，作△的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△，面积为，如此下去作一系列的正三角形△，△，，其面积相应为，，，设，，则当充分大时，的值最接近以下哪个值？　　 A． B． C． D．2 38．（2020•衢州模拟）如图，小圆的半径为1，△，△，△，，△依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形，由弦和弧围成的弓形面积记为，由弦和弧围成的弓形面积记为，，以此下去，由弦和弧围成的弓形面积记为，其中的面积为　　． 一十三．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 39．（2021•武汉模拟）如图，矩形中．，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•邗江区校级月考）如图，已知四边形内接于，，． （1）求的度数； （2）若的半径为3，求阴影部分面积． 第27章圆 培优题突破练习★★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．圆的认识 1．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． （1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长　　； ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长　　； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长　　； （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：　　． 【分析】根据圆的面积公式，将每个圆的面积计算出来，找到和周长的关系即可． 【解答】解：（1）根据， ①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． （2）以为直径的圆的面积为． 把分成两条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成三条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成四条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成条相等的线段，每个小圆的面积． 【点评】此题是一道规律探索题，需要先进行计算，将每个特殊的圆的面积计算出来，通过总结规律得出一般公式． 二．垂径定理 2．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的内有一点，，点在上，当最大时，的长等于　　 A． B． C．3 D． 【分析】当时，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可． 【解答】解：如图所示：、是定值， 时，最大， 在直角三角形中，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件． 3．（2009•鄂州模拟）已知半径为，为外一点，切于点，，是的弦，且，则线段的长为　1或　． 【分析】先利用勾股定理逆定理求出是直角，再利用一组对边平行且相等得到四边形是平行四边形，从而的长等于半径．另当在右侧时，还需讨论． 【解答】解：连接、． ，， 根据勾股定理的逆定理，得， 根据切线的性质定理，得，则， 又，所以四边形是平行四边形， 所以． 当在右侧时，． 【点评】能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，进一步发现特殊四边形平行四边形． 三．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024•榕城区校级三模）如图，在中，，那么　　 A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【分析】可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出、的大小关系，即可得解． 【解答】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：． 【点评】能够通过作辅助线，并根据垂径定理和直角三角形的性质判断出和的大小关系，是解答此题的关键． 5．（2021•商河县校级模拟）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：为的中点， ，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题． 四．圆周角定理 6．（2022秋•南浔区期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设与交于点，延长至，使，连接，，，，可推出，，从而得出点、、、共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 【解答】解：如图， 设与交于点，延长至，使，连接，，，， ， ， ， 直径， ， ，， ，，， ， ， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ， 的周长为，， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 7．如图，在中，弦，点是所对优弧上一点，，，点为上方一点，记的面积为，的面积为，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．10 【分析】如图，作于，作线段的中垂线，作交的延长线于．由的面积为，的面积为，且，推出点在直线上运动，连接交直线于，连接，此时的值最小，最小值线段的长． 【解答】解：如图，作于，作线段的中垂线，作交的延长线于． 的面积为，的面积为，且， 点在直线上运动，连接交直线于，连接，此时的值最小，最小值线段的长． ， ， ， ， ， ，， 在中，， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．（2022•阳信县模拟）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图延长交于，作交的延长线于，连接、．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理求出即可解决问题； 【解答】解：如图延长交于，作交的延长线于，连接、． ， ， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（1998•金华模拟）如图，，是的两条弦，它们相交于点，连接、，已知，，那么的长是　8　． 【分析】根据圆周角定理，可证，又由，可证，即得，可证，得到，代值计算即可求的长． 【解答】解：连接， 由圆周角定理知，， ， ， ， 得， 把，代入得，． 【点评】本题利用了等边对等角，圆周角定理，相似三角形的判定和性质求解． 10．（2019秋•武昌区期中）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为　　． 【分析】如图，作于，于．连接，，．设，则．根据，可得，解得，推出，由，，，四点共圆，推出当的直径最小时，的长最小，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，作于，于．连接，，．设，则． ， ， 解得， ，， ，，， ， ， ，， ， ，，，四点共圆， 当的直径最小时，的长最小， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为， 此时，， 的最小值为， 故答案为． 【点评】本题考查圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 11．（2020秋•江岸区校级期末）已知如图，，，，所在圆的圆心是点，，分别在、线段和上选取点、、，则的最小值为　．　． 【分析】如图，连接，，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，此时的周长，想办法求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，此时的周长， 当的值最小时，的值最小， ，，，， ， ， 当的值最小时，的值最小， 取的中点，连接． ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， ， 当点在直线上时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 五．点与圆的位置关系 12．（2017秋•丹徒区期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小； 【解答】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 13．（2020•掇刀区模拟）如图，在等腰直角中，斜边的长度为8，以为直径作圆，点为半圆上的动点，连接，取的中点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接、，取、的中点、，连接、、．首先证明，推出点的轨迹是，即为直径的半圆，图中红线部分，求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接、，取、的中点、，连接、、，取的中点，连接，，． 是直径， ， ，， ，同理， ，， ， ， 点的轨迹是，为直径的半圆，图中红线部分） ，，， ， ，， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 六．三角形的外接圆与外心 14．（2020•浙江自主招生）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，是墙角线上的一点，是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，，，，由余弦定理，结合三角形面积公式，利用基本不等式可得储存区域面积的最大值． 【解答】解：设，，，， 由，得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式与基本不等式知识点，熟练掌握余弦定理和基本不等式是解决问题的关键． 15．（2022秋•锡山区校级期末）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的外心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论为　　 A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据，是等腰直角三角形，可得，，所以，因为，所以，进而可以判断②；依据垂直平分线，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段，，且点与点的运动时间相同，进而可以判断④． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确； ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 依据外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点， 故③错误； 如图，连接交于点， ， 当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， 点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段， ，且点与点的运动时间相同， ， 点与点的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：． 【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点的运动轨迹． 16．（2020•锦江区校级模拟）设为锐角的边上的点，、分别为与的外接圆圆心，，，，则面积的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，连接、、．由、分别为与的外接圆圆心，推出，，即垂直平分，所以，，则，推出，当点与重合时，为直角三角形，此时点在中点，为最短，，面积的最小值为，据此解答即可． 【解答】解：如图，连接、、． 、分别为与的外接圆圆心， ，， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ， 过作于， 设，则， ， ， 解得， ， 当点与重合时，为直角三角形，此时点在中点，为最短， ， 即的最小值为， 面积的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆的应用，熟练运用相似三角形的性质、圆周角与圆心角的关系、勾股定理等是解题的关键． 七．直线与圆的位置关系 17．（2023•隆回县一模）如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点． （1）猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1）是的切线．证明见解答过程； （2）的半径为2.5，的长为3． 【分析】（1）证明：连接，证得，由平行线的判定得到，再证得，即可证得结论； （2）证明：连接，由圆周角定理得到，再证得，根据相似三角形的性质即可证得结论． 【解答】解：（1）是的切线． 证明：连接， ． ， 平分， ， ， ， 半径， 是的切线； （2）连接， 在中，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ；即的半径为2.5． 作于， ， 四边形是矩形， ，，， ， ． 的半径为2.5，的长为3． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键． 八．切线的性质 18．（2024•北京）如图，是的直径，点，在上，平分． （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析； （2）半径的长为． 【分析】（1）连接交于，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的判定定理得到； （2）根据相似三角形的性质得到，设，，求得，根据切线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接交于， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 设，， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ， 半径的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19．（2024•红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长． 【分析】（1）连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，继而求得答案； （2）首先连接，，由（1）得：，由点为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接， 为半径的圆与相切于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，， 由（1）得：， ， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 20．（2021秋•通州区期末）如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质证明，可得，得，可得点在以为圆心，以为半径的圆上运动，过点作圆的切线，，连接，，所以为最大值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接， 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 过点作圆的切线，，连接，， 为最大值，此时， 在中，，，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， 当的度数最大时，的长为． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轨迹，解决本题的关键是得到点的运动轨迹． 21．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，的圆心为，半径是1，点是直线上的动点，过点作的切线，切点是，则切线长的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小． 【解答】解：对于抛物线，令，得到， ， 令，， 解得或， ，，，， 是切线， ， ， ， 的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ，， ， ， ， 的最小值， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，中，，，圆半径为6，为斜边上的一个动点，、分别与圆相切于、，连接交于点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作的切线和，连接，交于，同样过点作的切线，得出等同于点的点，连接，证明，从而，进而得出，同理可得，，，从而，进而得出，从而，同理可得，，从而，点在以为直径的圆上运动，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 过点作的切线和，连接，交于，同样过点作的切线，得出等同于点的点， 连接， ， 根据对称性可得， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可得， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 连接交于，作于， ， ， ， ， 半径， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 23．（2023•兴化市开学）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】设半径为2的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图1，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图2，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论． 【解答】解：设半径为2的与角的两边相切于，，如图1，连接，，延长交于， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 如图1，延长交于， ，， ， ， ， 与是直角三角形， ，， ， 当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值， 连接， 则四边形是正方形， ，， ； 如图2，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值， 同理可得； 故的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 九．切线的判定 24．（2003•吉林）如图，是的直径，是的弦，过弧的中点作的垂线交的延长线于点．若，，则的直径为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据切线的判定可得到是圆的切线，再根据切割线定理及勾股定理求得，的长，利用相似三角形的判定方法得到，根据相似比即可求得直径的长． 【解答】解：连接，， 是的中点， ，， ， 即， 是的切线； 是的割线，，， ， ， ， ； 在与中，， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理及切割线定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答． 25．（2024•萍乡一模）如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交干． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由已知得出，由垂径定理得出，由平行四边形的性质得出，，，因此，即可得出结论； （2）连接，由垂径定理得出，由平行线得出，得出对应边成比例，证出，，得出，，由勾股定理求出，得出，设，则，的半径为，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，的半径为， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键． 26．（2023秋•防城区期末）已知是外一点，交于点，，弦，的度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 【分析】（1）连接，根据已知条件判定的等边三角形，则； （2）欲证明是的切线，只需证得即可． 【解答】（1）解：如图，连接． ，， ， ， ， ， ， 的等边三角形， ． 又， ； （2）证明：由（1）知，的等边三角形，则，． ， ， ． 又，， ， ，即． 又是半径， 是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 27．（2024•恩施州模拟）如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，证出，即可得出是的切线； （2）连接，由圆周角定理得出，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，求出直径，即可得出的半径． 【解答】（1）证明：连接，如图1所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ， 即的半径为． 【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 一十．切线的判定与性质 28．（2024•顺庆区二模）如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，，的反向延长线与的延长线交于点，连接与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和平行线的判定定理得到，利用垂径定理的推论得到，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，设与交于点，设，则，利用垂径定理得到，再利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理得到，设，则，利用同圆的半径线段得到，则，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， ，， ， ． 点为弧的中点， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）解：连接，设与交于点，如图， ， 设，则， ． ， ． ． 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 一十一．三角形的内切圆与内心 29．（2024•邻水县模拟）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求长． 【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到，再根据，即可判定，进而得到，据此可得直线是的切线； （2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到，即可得出，再判定，即可得到，据此解答即可． 【解答】（1）证明：如图所示，连接， 点是的内心， ， ， ， 又，， ， ， ， 又为半径， 直线是的切线； （2）， ， 又（公共角）， ， ，即， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 30．（2018秋•武汉月考）如图，不等边内接于，是其内心，，，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于，连接、、和，可得．易证，则，作于，又，则，所以，从而得出，代入数据即可得到结论． 【解答】证明：如图1，延长交于，连接、、和， ，， ， ， ， 是其内心， 是的平分线， ， ，记垂足为， ， 作于， ，， ， ， 如图，过作，， 是其内心， ，，， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 31．（2019春•江岸区校级月考）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长交于点．连接，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于，于，于．先根据勾股定理求出，得到的外接圆半径，再证明四边形是正方形，根据内心的性质和切线长定理求出的半径，则，然后在中，运用勾股定理可求，连接，设与交于点，过点作于点，根据为的内心，可得平分，所以，根据垂径定理可得，可得，得，，可得，，然后根据锐角三角函数和勾股定理即可求出结果． 【解答】解：如图，过点作于，于，于． 在中， ，，， ． 点为的外心， 为外接圆半径，． 为的内心， 设的半径为， ， 又， 四边形是正方形， ，，， ， ， 解得， ，． 在中， ，， ， 连接，设与交于点，过点作于点， 则， 为的内心， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ． 故选：． 【点评】此题属于几何综合题，考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，综合性较强，难度很大．求出的内切圆半径是解题的关键．属于中考选择题的压轴题． 32．如图，关于，有以下结论：①若是锐角的外心，，则；②若是的内心，，则；③若，，则的面积的最大值是12；④的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据圆周角定理直接求出的度数即可； ②利用内心的定义得出进而求出即可； ③研究三角形面积最大值的问题，由于已知三边的和，故可以借助海伦公式建立面积关于边的函数，再利用基本不等式求最值； ④根据内心到三角形三边距离相等得出内切圆半径乘以周长等于面积，即可得出答案． 【解答】解：①是的外心，， ，故①正确； ②是的内心，， ，故②正确； ③，， 三角形的周长是16， 设，则， 由海伦公式：，， ， 等号仅当即时成立， 故三角形的面积的最大值是12，故③正确； ④的面积是12，周长是16，设内切圆半径为， 则， 解得：， 题中内切圆的半径是1，故④错误． 故正确的有①②③共3个． 故选：． 【点评】此题主要考查了内心的性质以及圆周角定理和由海伦公式可得三角形的面积，此题涉及知识较多，并且涉及到课外知识难度较大． 33．（2021秋•江都区期末）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】圆与三边的切点分别为，，，连接，，，先根据圆是的内切圆，，，，求出正方形的边长为，根据勾股定理可得，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，圆与三边的切点分别为，，，连接，，， 圆是的内切圆，，，， ，，，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为， 则，， 根据题意，得 ， 解得， ， ， ， 点在以为直径的圆上，如图， 连接，过点作于点， 当点运动到线段上时，取得最小值， ， ，圆的半径， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 34．（2022秋•黄石期中）点为的内心，连交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，，若，，则的长为　4　． 【分析】延长到，使得，连接．想办法求出，证明是的中位线即可解决问题； 【解答】解：延长到，使得，连接． 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为4． 【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 一十二．正多边形和圆 35．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正多边形的性质求得中心角和多边形的内角，设正八边形的边长为，通过直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，用表示出菱形与八边形的面积，进而求得结果便可． 【解答】解：过图2中菱形的顶点作于，设图3中正八边形的中心点为点，一边为，连接、，过点作于， 设正八边形的边长为，则， 由正八边形的性质可得，，， ， ， ， ， 空白部分面积的面积为， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 正八边形的面积为：， 阴影部分的面积为：， 阴影部分面积与空白部分面积之比为． 故选：． 【点评】本题主要考查了正多边形的性质，菱形的性质，关键是正确构造直角三角形，用正多边形的边长表示出各部分的面积． 36．（2020秋•江岸区期中）如图，多边形为正六边形，点在边上，过作交于点，连接，且满足．设四边形，四边形和三角形的面积分别为，，，则正六边形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接交于．证明，，可得结论． 【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接交于． ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 37．设正三角形△的面积为，作△的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△，面积为，如此下去作一系列的正三角形△，△，，其面积相应为，，，设，，则当充分大时，的值最接近以下哪个值？　　 A． B． C． D．2 【分析】由题意①，两边乘4得到：②，②①得到：，由此即可判断． 【解答】解：由题意：，，，， ① 两边乘4得到：②， ②①得到：， 当充分大时，接近0， 的值接近， 故选：． 【点评】本题考查正多边形与圆，规律型图形的变化类，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 38．（2020•衢州模拟）如图，小圆的半径为1，△，△，△，，△依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形，由弦和弧围成的弓形面积记为，由弦和弧围成的弓形面积记为，，以此下去，由弦和弧围成的弓形面积记为，其中的面积为　　． 【分析】根据正三角形和圆的关系可依次求出弓形面积，再根据弓形面积寻找规律即可得结论． 【解答】解：小圆的半径为1， △，△，△，，△依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形， ， 发现规律： 的面积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算、规律型，解决本题的关键是通过计算性质规律． 一十三．扇形面积的计算 39．（2021•武汉模拟）如图，矩形中．，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接．解直角三角形求出、，的度数，再根据计算即可； 【解答】解：如图，连接． 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积． 40．（2023秋•邗江区校级月考）如图，已知四边形内接于，，． （1）求的度数； （2）若的半径为3，求阴影部分面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得的度数，然后根据等边对等角可得答案； （2）首先计算出的度数，再根据圆周角定理可得的度数，用扇形的面积减去三角形的面积即可． 【解答】解：（1）四边形内接于圆， ， ， ， ， ； （2）连接、， ， ， ， ， 是等边三角形， 阴影部分面积． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$