第26章二次函数 基础题过关检测★【11个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 基础题过关检测★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．二次函数的定义 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．图象法求一元二次方程的近似根 九．二次函数与不等式（组） 一十．二次函数的应用 一十一．二次函数综合题 思维导图 考点精讲精练 一．二次函数的定义 · 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1．（2024•西城区二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是　　 ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 二．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．（2024•许昌二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　　． 5．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 　　． 三．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 6．（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法：①；②；③；④；⑤（常数．其中正确的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024春•鼓楼区校级期末）已知抛物线上的三点，，，，，，若总有成立，则，，的值分别可以是　　 A．1，2，3 B．，0，2024 C．，， D．，， 8．（2024•仪征市三模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•枣阳市模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，，，两点，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D．为任意实数） 10．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，，，下列结论错误的是　　 A． B． C．若实数，则 D．当时， 11．（2024•让胡路区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为也可以写成．已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则的取值范围是 　　． 12．（2024•平谷区二模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若，点、中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； （3）若对于，时，都有，求的取值范围． 四．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 13．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024•武威二模）已知二次函数，如图，此二次函数的图象经过点，正方形的顶点、在轴上，、恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．2 B．4 C．8 D．18 15．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 16．（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 五．二次函数图象与几何变换 · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．（2024春•鼓楼区校级期末）对于二次函数的性质，下列描述正确的是　　 A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 18．（2024•香洲区三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 　　． 19．（2024•雁塔区校级模拟）若要平移二次函数为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为　　 A． B． C．1 D． 20．（2024春•惠阳区校级月考）二次函数 　　的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到的图象． 21．（2023秋•义乌市期末）把抛物线的图象向下平移3个单位，所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 22．（2024•清城区一模）在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 　　． 23．（2024•邓州市二模）已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出的取值范围． （2）若点，是该函数图象上不同的两点，求的值． （3）当时，将该函数图象沿轴向上或向下平移个单位，若图象的最低点到轴的距离为1，求的值． 24．（2024•黄岩区校级模拟）已知抛物线经过点． （1）求的函数表达式及其顶点坐标； （2）若点和在抛物线上，且，． ①求，两点的坐标； ②将抛物线平移得到抛物线．当时，抛物线的函数最大值为，最小值为，若，求的值． 六．二次函数的最值 · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 25．（2023秋•锡山区期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为　　 A．1 B． C．3 D． 26．（2024•东平县二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 　　． 七．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 27．（2024春•冷水滩区校级月考）二次函数是常数）．不论为何值，该函数的图象与轴　　 A．两个不同的交点 B．两个相同的交点 C．没有交点 D．无法判断 28．（2024•沙市区三模）抛物线，，为常数，经过，两点，下列结论正确的是　　 A．一元二次方程的根为， B． C．若点，在该抛物线上，则 D． 八．图象法求一元二次方程的近似根 · 图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 29．（2023秋•剑阁县期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是　　 A． B． C． D． 九．二次函数与不等式（组） · 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 30．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 31．（2024•宁阳县二模）直线和抛物线，是常数，且在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线与轴一定有两个交点； ③关于的方程有两个根，； ④若，当或时，． 其中正确的结论是 　　（填序号）． 32．（2024春•兴宁区校级期末）我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．如图，抛物线与轴的两个交点分别是，．此时有两个不相等的实数根，；由此观察图象可知：不等式的解集为：或；类似地：不等式的解集是 　　． 一十．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 33．（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点与地面的距离为2米，水滑道最低点与地面的距离为米，点到点的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 　　； （2）如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 34．（2024•枣阳市模拟）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为 ，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）能否围成一个的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 35．（2024•惠州模拟）“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋． （1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？ （2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量（袋与销售单价（元满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？ 一十一．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 36．（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　　． 37．（2024•沙市区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）已知，分别是直线和抛物线上的动点，设点的横坐标为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的所有可能取值． 38．（2024•微山县二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． （1）求抛物线的解析式； （2）在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； （3）在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2024•海州区校级二模）如图，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），与抛物线的对称轴交于点，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点、的横坐标分别为、，若，求的值； （3）设抛物线的顶点为，当时，求的值． 40．（2024•阜宁县三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． （1）点、的坐标分别为 　　，　　， 　　，　　 （2）如图，连接、、，与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； （3）连接，当时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与、重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是 　　． 第26章二次函数 基础题过关检测★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．二次函数的定义 1．（2024•西城区二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是　　 ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】 【分析】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【解答】解：①，是的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，是的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，是的二次函数，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． 二．二次函数的性质 2．（2024•许昌二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，， 四边形是矩形， ， ，，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 3．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据雅系点的概念令，即，由题意，△，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围． 【解答】解：令，即， 由题意，△，即， 又方程的根为， 解得，， 故函数， ， 函数图象开口向下，顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点． 由于函数图象在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为， ， 故选：． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键． 4．（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　4　． 【答案】4． 【分析】依据题意，由的图象与直线有且只有一个公共点，可得令，得方程，从而△，进而计算即可得解． 【解答】解：由题意，的图象与直线有且只有一个公共点， 令，得方程． △． ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】先把二次函数解析式化为一般式，然后利用对称轴方程得到，于是解方程即可． 【解答】解：， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三．二次函数图象与系数的关系 6．（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法：①；②；③；④；⑤（常数．其中正确的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项正确； ②由对称轴为直线， ，，则，故本选项正确； ③由图象可知，当时，，则，故本选项错误； ④从图象知，当时，，则， ， ，即，故本选项错误； ⑤对称轴为直线， 当时，抛物线有最大值， ， （常数，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 7．（2024春•鼓楼区校级期末）已知抛物线上的三点，，，，，，若总有成立，则，，的值分别可以是　　 A．1，2，3 B．，0，2024 C．，， D．，， 【答案】 【分析】依据题意，由可得抛物线的对称轴是直线，又，从而可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合对于三点，，，，，，若总有，故，进而将、、、四个选项代入判断可以得解． 【解答】解：由题意，， 抛物线的对称轴是直线． ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又对于三点，，，，，，若总有， ． 再分别将选项，，，代入上面不等式， 代入后，，要根据的范围才能保证不等式成立，故不正确； 代入后，，要看的范围才能保证不等式成立，故不正确； 代入之后，，与矛盾，故不正确； 代入之后，，不等式成立，符合题意，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2024•仪征市三模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，则，又对称轴是直线，从而，故可判断；又抛物线与轴交于两点，则△，故可判断；又对称轴是直线，且抛物线过，从而抛物线必过点，即有，故可判断；由，进而可得，故可判断． 【解答】解：如图，抛物线开口向下， ． 又对称轴是直线， ，故错误． 又抛物线与轴交于两点， △． ，故错误． 对称轴是直线，且抛物线过， 抛物线必过点． 当时，． ，故正确． ， ，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．（2024•枣阳市模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，，，两点，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D．为任意实数） 【答案】 【分析】、根据开口方向、对称轴以及与轴的交点即可判断； 、根据抛物线的对称性即可判断； 、根据抛物线的对称性求得，根据图象即可判断； 、时，，为最小值，据此即可判断． 【解答】解：、抛物线开口向上， ， ， ， 抛物线 与轴交于负半轴， ， ，故结论错误，不符合题意； 、抛物线对称轴是直线，与轴交于，，，两点， ， ，故结论错误，不符合题意； 、根据对称轴为直线，，则， 时，， ，故结论错误，不符合题意； 、当时，为最小值， ，即为任意实数），故结论正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 10．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，，，下列结论错误的是　　 A． B． C．若实数，则 D．当时， 【答案】 【分析】根据函数图象可知，由此可判断出；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断；没有直接条件判断． 【解答】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得， ， ，， ， ．故正确，不符合题意；函数的最小值在处取到， 若实数，则，即若实数，则．故正确，不符合题意； 轴， ， 令，则，即抛物线与轴交于点， 当时，，． 当时，．故正确，不符合题意； ， ，没有条件可以证明．故错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 11．（2024•让胡路区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为也可以写成．已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则的取值范围是 　或　． 【答案】或． 【分析】先求出的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【解答】解：函数的“镜面函数”解析式为， 当时，， ， 解得， 当的顶点在上时，， 解得或（舍， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ， 当时，， ， 解得， 综上，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和性质，矩形的性质，坐标与图形变化对称，理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 12．（2024•平谷区二模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若，点、中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； （3）若对于，时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线； （2）； （3）． 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）求得抛物线与轴的交点，求得交点间的距离为2，根据题意，据此即可求得； （3）根据题意得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）， 抛物线的对称轴为直线； （2）， 抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得或， 抛物线与轴的两个交点为，，， 点、中至少有一个点位于轴的上方 ， ， ； （3）抛物线的对称轴为， 点一定位于对称轴的右侧，它的对称点为， 对于，时，都有， ， 解得． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，能够理解题意是解题的关键． 四．二次函数图象上点的坐标特征 13．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024•武威二模）已知二次函数，如图，此二次函数的图象经过点，正方形的顶点、在轴上，、恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．2 B．4 C．8 D．18 【答案】 【分析】先把函数图象经过的点代入解析式求出的值，再根据抛物线和正方形的对称性求出，并判断出，设点的坐标为，，把点的坐标代入抛物线解析式求出的值得到点的坐标，然后求解即可． 【解答】解：二次函数的图象经过点， ， 四边形为正方形， 又抛物线和正方形都是轴对称图形，且轴为它们的公共对称轴， ，， 设点的坐标为，， 点在二次函数的图象上， ， 解得，，（舍负）， 点的坐标为， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（2）根据对称性设出点的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形的面积是解题的关键． 15．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：二次函数， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为轴． 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性． 16．（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数，可以得到该函数图象的对称轴为直线，再根据，，三点都在二次函数的图象上和二次函数的性质，即可判断，，的大小关系． 【解答】解：， 抛物线开口向下， 二次函数， 抛物线对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ，，三点都在二次函数的图象上，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 五．二次函数图象与几何变换 17．（2024春•鼓楼区校级期末）对于二次函数的性质，下列描述正确的是　　 A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 【答案】 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【解答】解：二次函数的图象的开口向上， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 可抛物线可由向右平移1个单位得到． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，能够顺利得到顶点式表达的函数的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键． 18．（2024•香洲区三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 　　． 【答案】． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：，即； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 19．（2024•雁塔区校级模拟）若要平移二次函数为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】首先求得抛物线的顶点在直线上，根据题意得到原点到直线的距离就是需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：， 顶点为， 抛物线的顶点在直线上，如图， 原点到直线的距离就是需要平移的最短距离， ， ，， ， ，即， ， 需要平移的最短距离为， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确原点到直线的距离就是需要平移的最短距离是解题的关键． 20．（2024春•惠阳区校级月考）二次函数 　　的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到的图象． 【答案】． 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到的图象． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线的平移规律是解题关键． 21．（2023秋•义乌市期末）把抛物线的图象向下平移3个单位，所得函数解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”即可得到新的图象解析式． 【解答】解：抛物线的图象向下平移3个单位， 平移后图象的解析式为：， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． 22．（2024•清城区一模）在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 　　． 【答案】． 【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【解答】解：把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 23．（2024•邓州市二模）已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出的取值范围． （2）若点，是该函数图象上不同的两点，求的值． （3）当时，将该函数图象沿轴向上或向下平移个单位，若图象的最低点到轴的距离为1，求的值． 【答案】（1）①顶点坐标为；②或． （2）． （3）的值为2和1． 【分析】（1）①化成顶点式即可求解； ②求得抛物线与直线的交点，然后利用二次函数的性质即可得到的取值范围． （2）根据抛物线的对称性得到，解得； （3）将函数图象沿轴向上平移个单位得到，向下平移个单位得到，然后根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当时，则二次函数为， ①， 该函数图象的顶点坐标为； ②， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 令，即， 解得或， 抛物线与直线的交点为，， 当时，的取值范围是或． （2）， 对称轴为直线， 点，是该函数图象上不同的两点， ， 解得， ， ． （3）， 将函数图象沿轴向上平移个单位得到，向下平移个单位得到 最低点为或， 或， 解得，（舍去）， 或， 解得，（舍去）， 将该函数图象沿轴向上平移2个单位或向下平移1个单位，图象的最低点到轴的距离为1， 的值为2和1． 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质和平移的规律是解题的关键． 24．（2024•黄岩区校级模拟）已知抛物线经过点． （1）求的函数表达式及其顶点坐标； （2）若点和在抛物线上，且，． ①求，两点的坐标； ②将抛物线平移得到抛物线．当时，抛物线的函数最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】（1）的函数表达式为，顶点坐标为； （2）①和；②的值为或． 【分析】（1）把点代入解析式即可求得，利用顶点式即可求得顶点坐标； （2）①由抛物线的对称性得到，结合，即可求得，，进一步即可求得、的坐标； ②分三种情况讨论，根据二次函数图象上点的坐标特征，表示出、，由，得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）把点代入得，， 解得， 的函数表达式为， 顶点坐标为； （2）①由可知， ， ，， 和； ②抛物线的对称轴为直线，顶点为， 由①得； Ⅰ．当，即时，时，函数最大值为；时，函数最小值为， ， 解得（舍去）； Ⅱ，即时，时，函数最大值为；时，函数最小值为， ， 解得（舍去）； Ⅲ，即时，时，函数有最小值， 若，即时，时，函数由最大值， ， 解得（舍去），； 若，即时，时，函数由最大值， ， 解得（舍去），（舍去）； 综上，的值为或． 【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，注意运用分类讨论的思想解决问题． 六．二次函数的最值 25．（2023秋•锡山区期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值，即点、重合，的值最小，即可求出的最小值；延长、相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当、取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点、重合，求出，得到，进而得到． 【解答】解：四边形为菱形， ， 当时，取最小值， 四边形为矩形， ， 点、重合，的值最小，即为的长， 的最小值为4， 的最小值为4， 延长、相交于点，过点作的延长线于点，则， 四边形为矩形，四边形为菱形， ，，，， ，， ， ， ， 当、取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点、重合，此时， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，再根据三角形面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2024•东平县二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据，得出，即可得出，推出和，然后即可求出当时的最大值和最小值，即可写出，然后根据求出的最大值和最小值即可求出范围． 【解答】解：根据题意可得：， 抛物线的对称轴，顶点坐标为， ，即与的差值为7， ， ，即， ，则， 当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ， 则对称轴， 当时，随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为4， 当时，有最大值，最大值为， 综上所述：； 故答案为：． 【点评】本题考查的主要是二次函数的最值，解题关键：一是求出的取值范围，二是根据范围求出的最大值和最小值． 七．抛物线与x轴的交点 27．（2024春•冷水滩区校级月考）二次函数是常数）．不论为何值，该函数的图象与轴　　 A．两个不同的交点 B．两个相同的交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】 【分析】当时，计算△，进而即可求解． 【解答】解：当时，， △， 不论为何值，该函数的图象与轴没有交点， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2024•沙市区三模）抛物线，，为常数，经过，两点，下列结论正确的是　　 A．一元二次方程的根为， B． C．若点，在该抛物线上，则 D． 【答案】 【分析】一元二次方程的根为，判断选项；判断选项；根据点距离对称轴远近判断选项；当时，判断选项． 【解答】解：一元二次方程的根为，，故选项错误； ， 又， ， ，故选项错误； 对称轴为直线， 又， ，故选项错误； 当时，， ， ，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数系数与图象的关系，掌握系数与图象的关系是解题的关键． 八．图象法求一元二次方程的近似根 29．（2023秋•剑阁县期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：二次函数的顶点为， 对称轴为， 而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是， 右侧交点横坐标的取值范围是． 故选：． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 九．二次函数与不等式（组） 30．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】根据图像得到二次函数图象在直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【解答】解：根据图像，函数和的图象的两交点的横坐标为2和， 当或时，二次函数图象在直线的下方， 当时，的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，解答的关键是找到两图象的交点的横坐标． 31．（2024•宁阳县二模）直线和抛物线，是常数，且在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线与轴一定有两个交点； ③关于的方程有两个根，； ④若，当或时，． 其中正确的结论是 　①②③　（填序号）． 【答案】①②③． 【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解． 【解答】解：直线经过点， ， ， 故①是正确； ， ， △， 有两个不相等的实数根， 抛物线与轴一定有两个交点， 故②是正确的； 可化为：， 解得：，， 故③是正确的； 由③得直线和抛物线的两个交点的横坐标为1，， 当时，当或时，， 故④是错误的； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，掌握函数与不等式、方程的关系是解题的关键． 32．（2024春•兴宁区校级期末）我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．如图，抛物线与轴的两个交点分别是，．此时有两个不相等的实数根，；由此观察图象可知：不等式的解集为：或；类似地：不等式的解集是 　　． 【答案】． 【分析】由，得．画出抛物线的图象，观察图象可得答案． 【解答】解：由，得． 画出抛物线的图象如图所示， 可知抛物线与轴的两个交点分别是，， 则有两个不相等的实数根，． 由此观察图象可知：不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组、抛物线与轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 一十．二次函数的应用 33．（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点与地面的距离为2米，水滑道最低点与地面的距离为米，点到点的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 　　； （2）如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2）①此人腾空后的最大高度为米；抛物线的解析式；②落点在安全范围内，理由见解析；（3）这条钢架的长度为米． 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，则是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出可得的长，从而求出即可判断得解； （3）依据题意，画出图象找出所求钢架，再由所在抛物线，令，故，进而可得的坐标，可得直线，结合，可设为，再联立方程组，得方程，从而△，求出后可得直线，进而求出的坐标，再结合勾股定理计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为． 又， ． ． 抛物线为． 故答案为：． （2）①由题意，抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为． 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ． ． 抛物线的解析式． ②由①得， 令， ． 或（舍去）． 米． 又米， ． 落点在安全范围内． （3）由题意，如图，即为所求钢架． 所在抛物线， 令， ． 或（舍去）． ． 又， 直线为． ， 可设为． 联立方程组， ． ． △． 直线为，过原点，即与重合． ， 令，则． 米，米． 又， （米． 答：这条钢架的长度为米． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 34．（2024•枣阳市模拟）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为 ，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）能否围成一个的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）；；；（2）能围成一个的矩形劳动实践基地，此时垂直于墙的一边的长为；（3）垂直于墙的一边长为时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值． 【分析】（1）依据题意，由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，依据矩形面积公式即可得出与的函数关系式，根据墙的长度就可以求出的取值范围； （2）依据题意，结合（1），令，从而建立方程计算可以判断得解； （3）依据题意，利用将关于的函数化成顶点式，再根据二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，， ． ． ， ． ． ；；． （2）由题意，令， ． （不合题意，舍去）或． 能围成一个的矩形劳动实践基地，此时垂直于墙的一边的长为． （3）由题意，． 又可利用的墙的长度不超过， ． ． ， 当时，随的增大而减小． 当时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值为：． 答：垂直于墙的一边长为时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 35．（2024•惠州模拟）“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋． （1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？ （2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量（袋与销售单价（元满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋； （2）当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元． 【分析】（1）设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋， 根据题意得：， 解得：， 答：购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋； （2） ， 对称轴为， 抛物线开口向下， 当元时，最大（元， 答：当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 一十一．二次函数综合题 36．（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】①当与原点重合时，，此时矩形不存在；②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点；③时，矩形与图象只有两个公共点；④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点；⑤当点在上时，矩形与图象有三个公共点；⑥当时，矩形与图象只有三个公共点；⑦当时，矩形与图象只有两个公共点． 【解答】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象有三个公共点； ③时，矩形与图象只有两个公共点，如下图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点； ⑤如图，当点在上时，矩形与图象有三个公共点； 设直线的解析式为，把点坐标代入得，即， 点向上平移两个单位长度得到点， ， 点的纵坐标为，即， 把点坐标代入，得：， 解得：，（舍去）， ， 即点的以坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象有三个公共点， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 37．（2024•沙市区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）已知，分别是直线和抛物线上的动点，设点的横坐标为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的所有可能取值． 【答案】（1）； （2）； （3）或，或或或． 【分析】（1）求得、两点坐标，代入抛物线解析式，获得、的值，获得抛物线的解析式． （2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标． （3）、、、四点作平行四边形，以已知线段为边和对角线分类讨论，当为边时，以的关系建立方程求解，当为对角线时，与互相平分，利用直线相交获得点坐标． 【解答】解：（1）在中，令，得，令，得 ， 把，，代入，得 ，解得 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴得平行线交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为 轴， ， 即 设点的坐标为，则， ， ，即 解得（舍去）， 当时， 点的坐标为． 解法二：作点关于轴的对称点，则直线的解析式为， 由题意，直线， 直线的解析式为， 由，解得或， ． 解法三：过点作轴交的延长线于点，过点作于点． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得或， ． （3）当为边时，，， 设，， ， 解得，，， 当为对角线时，与互相平分， 过点作，直线交抛物线于点和， 求得直线解析式为或， 直线与的交点为，点的横坐标为或， 点的坐标为或，或或或． 【点评】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，以为边和对角线是（3）问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题． 38．（2024•微山县二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． （1）求抛物线的解析式； （2）在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； （3）在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题意先求得一次函数，根据题意得出在上，联立两直线解析式，得出，进而待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）取，则，证明，得出，根据题意则为直线与抛物线的交点，联立解析式，解方程，即可求解； （3）根据的内心在抛物线的对称轴上，则的角平分线所在的直线为，先求得关于的对称点为，连接交于点，进而求得直线的解析式为，进而即可求解． 【解答】解：（1）点的坐标为在直线上， ， 解得， ， 点在第一象限内且到轴、轴的距离相等， 在上， 联立， 解得， ， 抛物线经过原点， ， 将，代入得， 解得， ． （2）与轴、轴分别相交于点，， 当时，， 当时，， ，， ，， 由，令， ， 解得，， ， ， 如图所示，取，则， 在和中， ， ， ， ， ， 以为半径的圆与直线相切于点， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ． （3）， 抛物线对称轴为直线， 关于的对称点为， 的内心在抛物线的对称轴上， 的角平分线所在的直线为， 如图所示，连接交于点， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 将代入得， ． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查三角形重心的定义，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，全等三角形的性质与判定，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（2024•海州区校级二模）如图，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），与抛物线的对称轴交于点，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点、的横坐标分别为、，若，求的值； （3）设抛物线的顶点为，当时，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出点、的坐标，再求出直线解析式，求 出点坐标即可求出比值； （3）过点作轴交于点，过点作交于点，过点作于点，可证明，得出比例关系，利用点，，的坐标分别表达，，，的长，建立方程可表达 和，进而可求出的值． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交于点， ， 抛物线的解析式为； （2）点、的横坐标分别为、，若， ，，代入抛物线解析式得： ， 解得， ，， 直线解析式为； 直线与抛物线的对称轴交于点，则点坐标为， ，， ； （3）过点作轴交于点，过点作交于点，过点作于点，如图， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线顶点坐标为， ．， 由（2）知，， ， ， 是等腰直角三角形， 点是的中点，且， ，，， ， ， ．； 由（2）可知，，，，，且，， ， ， 同理可得，，， ． 整理得， （舍或， ， ， 解得或（舍去）． 即若，的值为6． 【点评】本题考查了二次函数的综合与全等三角形的判定与 性质、勾股定理等知识，解题关键是恰当构建全等三角形，利用点的坐标解决问题． 40．（2024•阜宁县三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． （1）点、的坐标分别为 　8　，　　， 　　，　　 （2）如图，连接、、，与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； （3）连接，当时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与、重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是 　　． 【答案】（1）8，0，0，4； （2）当时，有最大值，最大值为； （3）①； ②． 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点，，三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【解答】解：（1）已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点， 令时，，整理得：， ，， ，， 令时，， ， 故答案为：8，0，0，4； （2）已知，， 设直线所在直线的解析式为， ， 解得，， 直线所在直线的解析式为， 如图1所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， 当时，， ，则， 点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， 设，且， ，，， ， ，即， ，， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，如图2， 在中，，， ， 在中，，， ， ，，， ， 是直角三角形，，即， 点关于的对称点为，且， ， 点，，三点共线， ； ，， ， ，， ， ，，，，则，，，， ， ， 点，，三点共线， 点，点， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， ， 解得，或（不符合题意，舍去） ； ②根据题意，作图如图3，过点作轴于点，于点，连接，，过点作轴于点，连接，作于点， 已知，，是的垂直平分线， ，，且， ， ， ，即， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ， ， 在中，， ， ，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ， ， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$