第26章二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数的最值 五．待定系数法求二次函数解析式 六．抛物线与x轴的交点 七．二次函数与不等式（组） 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 思维导图 考点精讲精练 一．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2024春•娄星区校级月考）二次函数的图象的顶点所在的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•榆林三模）如图，一次函数的图象经过二次函数的图象顶点，连接，当长度最小时，则，的值分别为　　 A．，0 B．2，1 C．2，0 D．，1 3．（2024•衢州一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2024•南阳模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（2024•湖南模拟）定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于轴对称，则称这两个函数是“有关系的”．若一次函数与二次函数是“有关系的”，则的值为 　　． 6．（2024春•海淀区校级期末）若点，，，在抛物线上，则，，的大小关系为 　　（用“”连接）． 7．（2024•历下区校级模拟）对于代数式、，定义一种新运算：． ①若，则或； ②若、是一元二次方程的两个根，则； ③若二次函数在内有最小值，则； ④若的函数图象与直线有两个交点，则； 以上结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 8．（2024•清镇市一模）抛物线的部分图象如图所示，其对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 10．（2024•娄星区一模）已知二次函数，，为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．正确的是：　　 A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 11．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，，，下列结论错误的是　　 A． B． C．若实数，则 D．当时， 12．（2024•淮滨县三模）已知抛物线，，为常数，且，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若，，，，是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 　　（填写序号） 13．（2024•烟台）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①； ②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 　　． 三．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 14．（2024•金东区二模）若，，，是抛物线图象上两个不同的点，则为　　 A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 15．（2024•阎良区校级二模）小坤同学画二次函数的图象，列出下表，对应值计算有误的一组点坐标是　　 0 1 2 3 2 3 3 A． B． C． D． 16．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 四．二次函数的最值 · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 17．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系中，是抛物线在第三象限上的一点，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，则四边形的周长的最大值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 18．（2024春•九龙坡区校级期末）当时，二次函数的最小值为15，则的值为　　 A．或8 B．8 C．6 D．或6 19．（2023秋•锡山区期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为　　 A．1 B． C．3 D． 五．待定系数法求二次函数解析式 · 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 20．（2024春•丰城市校级期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，，如果抛物线的对称轴是直线，求此二次函数的表达式． 六．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 21．（2024•贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是　　 A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3 22．（2024•长春一模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 　　． 23．（2024•福建模拟）若关于的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 　　． 24．（2024•通辽模拟）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 　　． 25．（2024•德宏州模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若点，与点，在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 26．（2024•浦口区校级三模）已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． （3）点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 27．（2024春•襄州区校级月考）定义，，为二次函数的特征数，下面给出特征数为，，的函数结论，其中正确的结论是 　　．（填写序号） ①当时，点一定在函数的图象上； ②当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ③当时，函数在时，随的增大而增大； ④若抛物线的顶点与抛物线与轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 七．二次函数与不等式（组） · 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 28．（2024•河北模拟）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，； ②当或时，； ③当时随的增大而增大； ④使的的值有3个． 其中正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 八．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 30．（2024•安徽三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为　　 A． B． C． D． 31．（2024•邓州市二模）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 32．（2024•蒸湘区一模）在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 　　米． 33．（2024•城中区校级一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量（件与每件玩具售价（元之间满足一次函数关系（其中，且为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　　元． 34．（2024春•青秀区校级期末）实验与探究 某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 9 18 27 36 飞行高度 0 22 40 54 64 【探究发现】 通过分析数据可以发现随的变化满足一次函数关系，随的变化满足二次函数关系． （1）请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解决问题】 如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下面的问题： （1）若发射平台相对于水平安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在水平安全线上设置回收区域，，．若飞机落到回收区域内（不包括端点、，求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围． 35．（2024•广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 36．（2024•梁园区校级一模）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索所在曲线的与之间近似满足函数关系． 某实践小组经过测量，桥面中点处上方点为该悬索桥主索的最低点，，，塔桥高度为． （1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式； （2）若想在距离点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度； （3）厂家生产了一条长的吊索，应将该吊索安置在距点多远的桥面上？ 37．（2024春•襄州区校级月考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元． （1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 　　件； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随的增大而减小，请求出的取值范围． 38．（2024•保康县模拟）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、，求的取值范围． 九．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 39．（2024•盂县三模）如图，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点为顶点坐标． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）点在抛物线第二象限运动（不含，两点），连接，，当时，求点的横坐标． 40．（2024•宝安区校级三模）综合与实践 【生成概念】抛物线与轴交于点，若抛物线上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“兄弟抛物线”． 【感知特例】（1）已知抛物线，写出的“兄弟抛物线” 的解析式，并画出抛物线和． 【代数推理】通过代数推理证明抛物线图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试． 运用代数推理证明：抛物线的图象是轴对称图形，对称轴是直线． 证明：在抛物线上任取一点，则 点关于直线对称的点， ， 点也在抛物线的图象上， 点是抛物线上的任意一点，它关于直线对称的点都在抛物线的图象上， 抛物线的图象是轴对称图形，对称轴是直线． （2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线与的“兄弟抛物线” 关于点中心对称． 【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线和的“兄弟抛物线” 这两抛物线的顶点所连直线和有一定的关系，请你求出直线与轴正半轴夹角的正切值（可用、表示）． 第26章二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．二次函数的性质 1．（2024春•娄星区校级月考）二次函数的图象的顶点所在的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置． 【解答】解：， 顶点坐标为， 顶点在第一象限． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标． 2．（2024•榆林三模）如图，一次函数的图象经过二次函数的图象顶点，连接，当长度最小时，则，的值分别为　　 A．，0 B．2，1 C．2，0 D．，1 【答案】 【分析】依据题意，在直线上，从而当直线时，最短，又直线过原点，故可得直线为，再联列方程组，可求出此时，进而可得方程组，计算可以得解． 【解答】解：在直线上， 当直线时，最短． 又直线过原点， 可得直线为． 联列方程组， ． 此时． ． ，． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•衢州一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由，从而当时，取最小值为．，再分三种情形①②，③，分别进行分析可以判断得解． 【解答】解：由题意，， 当时，取最小值为． ①当时，即时， 有． ，不合题意． ②当，时，即． 此时当时，取最小值为，符合题意． ③当时， 有． ，不合题意． 总上，． 故选． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•南阳模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】 【分析】根据题意可得：二次函数的图象的顶点坐标为：，且顶点在第四象限，从而可得，，进而可得，，然后根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：由题意得：二次函数的图象的顶点坐标为：，且顶点在第四象限， ，， ，， 一次函数的图象一定经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5．（2024•湖南模拟）定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于轴对称，则称这两个函数是“有关系的”．若一次函数与二次函数是“有关系的”，则的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】依据题意，设一次函数上存在唯一的一个点为，关于轴对称的点在二次函数上，从而可得，进而可得，又根据点的唯一性，则方程的△，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，设一次函数上存在唯一的一个点为，关于轴对称的点在二次函数上， ． ． 点的唯一性， 方程的△． ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024春•海淀区校级期末）若点，，，在抛物线上，则，，的大小关系为 　．　（用“”连接）． 【分析】根据对称轴是直线，判断出，，离对称轴的远近可得结论． 【解答】解：的开口向上，且对称轴为， 又点离对称轴最远，点离对称轴最近， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数函数值变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对函数值的影响是解题的关键． 7．（2024•历下区校级模拟）对于代数式、，定义一种新运算：． ①若，则或； ②若、是一元二次方程的两个根，则； ③若二次函数在内有最小值，则； ④若的函数图象与直线有两个交点，则； 以上结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】将定义的新运算转化成一元二次方程 ①利用因式分解法解方程； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入变形后的代数式即可； ③由定义的新运算可得二次函数，然后根据二次函数的性质和二次函数的最值即可求解的值； ④数形结合即可求得的取值范围． 【解答】解：①， ， 即， ， 解得：，， 故是正确的； ②由定义的新运算可得： ， 即， 、是一元二次方程的两个根， ，， ； 故是正确的； ③由定义的新运算可得： 二次函数， ， 函数的顶点为，， 二次函数在内有最小值， ； 故错误； ④由定义的新运算可得：函数， 令，则，解得， 函数的图象与轴的交点为，，，， 把，代入，解得， 把，代入，解得， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 令，整理得， 若△时，的函数图象与直线有三个交点， 即，解得， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 故若的函数图象与直线有两个交点，则或； 故错误； 故选：． 【点评】本题考查定义的新运算，二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 二．二次函数图象与系数的关系 8．（2024•清镇市一模）抛物线的部分图象如图所示，其对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴，得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个不同的交点，即可判断②；根据抛物线对称轴为直线，即可判断③；求出抛物线与轴的另一个交点为即可判断④． 【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ，， ，故①正确； 由函数图象可知抛物线与轴有两个不同的交点， ，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 9．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴公式，可求出当时抛物线的对称轴；利用根的判别式即可得出函数图象与轴的交点情况；根据函数图象过定点时与及的取值无关即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线． 故①正确． 令得， ， 则△， 因为， 所以△， 则函数图象与轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为， 由得， ，． 由得， ， 所以当时，， 即函数图象过定点． 故③正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024•娄星区一模）已知二次函数，，为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．正确的是：　　 A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，则，故可判断①；又对称轴是直线，故可判断②；又对称轴是直线，且当时，，则当时，，故可判断③；又抛物线对称轴是直线，且抛物线与轴的一交点为，从而另一交点为，可得△，故可判断④． 【解答】解：由题意，抛物线开口向下， ，故①正确． 又对称轴是直线， ，故②正确． 对称轴是直线， 又当时，， 当时，，故③正确． 又抛物线对称轴是直线，且抛物线与轴的一交点为， 另一交点为． △，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 11．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，，，下列结论错误的是　　 A． B． C．若实数，则 D．当时， 【答案】 【分析】根据函数图象可知，由此可判断出；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断；没有直接条件判断． 【解答】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得， ， ，， ， ．故正确，不符合题意；函数的最小值在处取到， 若实数，则，即若实数，则．故正确，不符合题意； 轴， ， 令，则，即抛物线与轴交于点， 当时，，． 当时，．故正确，不符合题意； ， ，没有条件可以证明．故错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 12．（2024•淮滨县三模）已知抛物线，，为常数，且，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若，，，，是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 　②③　（填写序号） 【答案】②③． 【分析】根据题意和利用函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：①无法判断的符号， 无法判断的符号，故①错误，不合题意； ②若，则抛物线开口向上， ，，，是抛物线上两点，且， 点，到对称轴的距离小于点，到对称轴的距离， ，故②正确，符合题意； ③方程的四个根分别为和的根， 抛物线关于直线对称， 抛物线与直线的交点的横坐标之和为6， 抛物线与直线的交点横坐标之和为12， 方程的四个根的和为12，故③正确，符合题意； ④对称轴为直线， ， ， ， 抛物线， 抛物线过点， 若，对应的整数值有4个， 若，分别为，，，，则，解得； 若，分别为，，，， 则， 解得，故④错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 13．（2024•烟台）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①； ②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 　①②④　． 【答案】①②④． 【分析】利用待定系数法求出、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤． 【解答】解：把，，代入得： ， 解得 ，故①正确； ，，， ， 当时，， ， △， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数取最大值9， 与时函数值相等，等于5， 当时，的取值范围为，故③错误； ， 点，关于对称轴对称， ，故④正确； 由 得，即，画函数 和图象如下： 由， 解得， ，， 由图形可得，当或时，，即，故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 三．二次函数图象上点的坐标特征 14．（2024•金东区二模）若，，，是抛物线图象上两个不同的点，则为　　 A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】 【分析】根据题意可得，，代入原式可得，再分类情况去绝对值进行分析即可得出答案． 【解答】解：，，，是抛物线图象上两个不同的点， ，， ， 当，时， 上式 ， ，，， 原式， 当，时， 上式 ， ，，， 原式， 当，时， 上式 ， ，，， 原式， 当，时， 上式 ， ，，， 原式． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象上的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 15．（2024•阎良区校级二模）小坤同学画二次函数的图象，列出下表，对应值计算有误的一组点坐标是　　 0 1 2 3 2 3 3 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由抛物线开口向上，对称轴在轴的左侧及抛物线不能同时经过，，求解． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴在轴的左侧， 而抛物线经过，，时，抛物线开口向上，对称轴是轴，经过，，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，不符合题意， 抛物线不能同时经过，，， 不在抛物线上， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的性质． 16．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：二次函数， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为轴． 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性． 四．二次函数的最值 17．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系中，是抛物线在第三象限上的一点，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，则四边形的周长的最大值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】 【分析】设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【解答】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，，则，， 令四边形的周长为，， ， 时，取最大值，为6． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键． 18．（2024春•九龙坡区校级期末）当时，二次函数的最小值为15，则的值为　　 A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 19．（2023秋•锡山区期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值，即点、重合，的值最小，即可求出的最小值；延长、相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当、取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点、重合，求出，得到，进而得到． 【解答】解：四边形为菱形， ， 当时，取最小值， 四边形为矩形， ， 点、重合，的值最小，即为的长， 的最小值为4， 的最小值为4， 延长、相交于点，过点作的延长线于点，则， 四边形为矩形，四边形为菱形， ，，，， ，， ， ， ， 当、取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点、重合，此时， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，再根据三角形面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 五．待定系数法求二次函数解析式 20．（2024春•丰城市校级期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，，如果抛物线的对称轴是直线，求此二次函数的表达式． 【分析】由二次函数与一次函数的交点为和，将和的坐标分别代入一次函数解析式中，求出与的值，确定出与的坐标，由坐标为，设抛物线解析式为，将坐标代入得到关于与的方程，再由对称轴公式，根据对称轴为直线列出关于与的方程，联立两方程求出与的值，即可确定出抛物线解析式 【解答】解：（1）由二次函数与一次函数图象交于，， 将，代入一次函数中得：，解得：， 将，代入一次函数中得：，解得：， ，， 设二次函数解析式为， 由抛物线对称轴为直线，得到，即①， 将坐标代入抛物线解析式得：②， 联立①②解得：，， 抛物线解析式为． 【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键． 六．抛物线与x轴的交点 21．（2024•贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是　　 A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3 【答案】 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项顶点坐标为，对称轴为，故选项错误； 选项：由对称性可知，关于对称的点为，故选项错误； 选项：开口向下，当时，随的增大而增大，故选项错误； 选项：设二次函数解析式为，将代入得，，令得，二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3，故选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键． 22．（2024•长春一模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 　0　． 【答案】0 【分析】利用公式求出的值． 【解答】抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点， △， ． 【点评】本题考查利用公式求的值． 23．（2024•福建模拟）若关于的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 　　． 【答案】． 【分析】首先推导出二次函数的对称轴为直线，顶点为，，图象开口向上，进而得到在对称轴的左侧，，当时，点，距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，代入求解即可． 【解答】解：关于的方程的两根，满足， △， 或， ， ， ， 二次函数， 对称轴为直线，顶点为，，图象开口向上， 当时，随的增大而减小， 在对称轴的左侧，， 当时，点，距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值， ， ， 顶点纵坐标的最大值是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，根的判别式，二次函数的最值，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24．（2024•通辽模拟）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 　　． 【答案】． 【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案． 【解答】解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据轴对称的性质可知：， ， 根据“两点之间线段最短”可知：， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小． 点，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 即为最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置． 25．（2024•德宏州模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若点，与点，在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【答案】（1）；（2）4． 【分析】（1）依据题意，令时，则，可得，从而，可得代入中，求出，即可得解； （2）依据题意，建立方程组，进而可得，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，令时，则， ． ． ． 将代入中， ． 这条抛物线的解析式为． （2）由题意，， 又，， ． ． 答：的值为4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 26．（2024•浦口区校级三模）已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． （3）点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）证明见解析；（3）当或时，；或时，． 【分析】（1）依据题意得，抛物线对称轴是直线，即可得解； （2）依据题意，令，从而可得或，故该函数图象与轴的两个交点为，，，，又，则，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，对称轴是直线，又点、在该函数图象上，故可得，，进而再根据和分别讨论计算可以得解． 【解答】（1）解：由题意得，抛物线对称轴是直线． （2）证明：由题意，令． 或． 该函数图象与轴的两个交点为，，，． ， ． ． ，． ． 该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． （3）解：由题意，对称轴是直线， 又点、在该函数图象上， ，． ①当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，时，． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，或时，． ②当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 此时， ，不合题意． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 此时， ． 时，． 综上所述，当或时，；或时，． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 27．（2024春•襄州区校级月考）定义，，为二次函数的特征数，下面给出特征数为，，的函数结论，其中正确的结论是 　①②③　．（填写序号） ①当时，点一定在函数的图象上； ②当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ③当时，函数在时，随的增大而增大； ④若抛物线的顶点与抛物线与轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 【答案】①②③． 【分析】利用特征数定义，得到二次函数为，将坐标代入到解析式中，满足解析式，所以①正确，设二次函数与轴交点坐标分别为，和，，直接求出和，或者用根与系数关系，求出，利用的取值范围，判断的范围，得到②正确，求出二次函数对称轴为，利用范围，判断③是错误的，设抛物线与轴交点分别为，，顶点为，由②可得的长度，并且可以表示出点坐标，因为三角形为等腰直角三角形，过作于，所以，利用等式列出方程，可以求得的值． 【解答】解：由定义可得，特征数为，，的函数为， ①当时，， 时，点一定在函数的图象上， 故①正确； ②令，则， ， 设函数与轴交点为，，，， ， ， 当时，， 故②正确， ③函数对称轴为， 当是，对称轴， ， 抛物线开口向下， 对称轴左边是增大而增大，就在对称轴左边 故③正确， ④如图1，当时，设抛物线与轴交于，两点， 由②可得，， 过作于， ， 为等腰直角三角形， ， ， 与不重合， ．， ， ， 或， 故④错误， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数的基本性质，包括二次函数的顶点坐标，开口方向，对称轴及图象特征，以及与轴交点坐标． 七．二次函数与不等式（组） 28．（2024•河北模拟）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，； ②当或时，； ③当时随的增大而增大； ④使的的值有3个． 其中正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】依据题意，可得，从而求出和两图象的交点为，，又时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围，故可判断①；又，求出后，故可判断②；又，结合对应抛物线开口向上，则当时，随的增大而增大，故可判断③；又，则或，再结合对于的△，此时方程有两个不等的实数根；而对于的△，此时方程没有实数根，故可判断④． 【解答】解：由题意，可得， 或． 和两图象的交点为，． 时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 当或时，，故①正确． 又， 或． 当或时，，故②正确． ， 又对应抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，故③正确． ， 或． 对于的△，此时方程有两个不等的实数根；而对于的△，此时方程没有实数根． 的有2个，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 29．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】根据图像得到二次函数图象在直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【解答】解：根据图像，函数和的图象的两交点的横坐标为2和， 当或时，二次函数图象在直线的下方， 当时，的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，解答的关键是找到两图象的交点的横坐标． 八．二次函数的应用 30．（2024•安徽三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求点坐标，就可求出点到杯口的距离． 【解答】解：建立如图所示坐标系，作轴于点． 各点坐标为：，，，． 设， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ，， ， ， 解得（舍去），， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式． 31．（2024•邓州市二模）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可． 【解答】解：米， 当时，， 当水位上升5米时，， 把代入抛物线表达式得：， 解得， 此时水面宽， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 32．（2024•蒸湘区一模）在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 　12　米． 【答案】12． 【分析】根据题意，当时的值就是这次实心球的成绩． 【解答】解：当时，， 整理，得， 解得，（舍， 所以小康这次实心球训练的成绩是12米． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与轴的交点，令，求出的值，再判断答案． 33．（2024•城中区校级一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量（件与每件玩具售价（元之间满足一次函数关系（其中，且为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　1600　元． 【答案】1600． 【分析】依据题意，先求出利润关于售价的函数关系式，再化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【解答】解：由题意，利润． ， 当时，随的增大而增大． 又， 当时，取得最大值，此时． 答：当每件玩具售价为120元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1600元． 故答案为：1600． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． 34．（2024春•青秀区校级期末）实验与探究 某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 9 18 27 36 飞行高度 0 22 40 54 64 【探究发现】 通过分析数据可以发现随的变化满足一次函数关系，随的变化满足二次函数关系． （1）请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解决问题】 如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下面的问题： （1）若发射平台相对于水平安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在水平安全线上设置回收区域，，．若飞机落到回收区域内（不包括端点、，求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围． 【答案】】探究发现：（1）一次函数的关系式为，二次函数的关系式为； 解决问题：（1）飞机落到安全线时飞行的水平距离为； （2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【分析】】探究发现：（1）依据题意，由与是一次函数关系，与是二次函数关系，故可设，，进而可得，，计算即可得解； 解决问题：（1）依据题意，由，令，计算出即可判断得解； （2）依据题意，设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度，又，故，可得．结合在中，求出当，时，；当，时，，进而可以判断得解． 【解答】】解：探究发现：（1）由题意，与是一次函数关系，与是二次函数关系， 设，， 由题意得：，． ，． 一次函数的关系式为，二次函数的关系式为． 解决问题：（1）由题意，， 令， （舍，． 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （2）设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度， ， ． ． 在中， 当，时，； 当，时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，灵活运用一次函数的性质和二次函数的性质是关键． 35．（2024•广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元． 【分析】设该果商定价万元时每天的“利润”为万元，根据题意列出与之间的函数关系式，再根据二次函数的单调性即可得出答案． 【解答】解：设该果商定价万元时每天的“利润”为万元， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为312.5万元， 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． 36．（2024•梁园区校级一模）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索所在曲线的与之间近似满足函数关系． 某实践小组经过测量，桥面中点处上方点为该悬索桥主索的最低点，，，塔桥高度为． （1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式； （2）若想在距离点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度； （3）厂家生产了一条长的吊索，应将该吊索安置在距点多远的桥面上？ 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据题意得，，利用待定系数法求解即可； （2）设点在点右侧处，则，令，代入解析式求出值，再乘以2即可； （3）令，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，点，， 设主索所在抛物线的解析式为， 将代入该解析式可得，， ， 该悬索桥主索所在抛物线的解析式为； （2）设点在点左侧处，则， 当时，， 则这两条吊索的总长度为：， 这两条吊索的总长度为． （3）解：吊索长度为， 则， 解得或， 答：应将该吊索安置在距点或的桥面上． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 37．（2024春•襄州区校级月考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元． （1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 　160　件； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随的增大而减小，请求出的取值范围． 【答案】（1）160； （2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）． 【分析】（1）由题意，根据每件商品的售价与数量之间的关系，即可求解； （2）由题意，根据每件商品的利润与数量及总利润之间的关系，再把函数解析式变形为顶点式，同时考虑为整数，即可求解； （3）根据题意可得函数解析式为：，函数的对称轴为：，根据售价每件不低于57元时，与对称轴组成方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出件， 故答案为：160； （2）由题意得：且为整数） ， ， 当时，有最大值2402.5， ，且为整数， 当时，，（元， 当时，，（元， 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）由题意得： ， 函数的对称轴为：， 售价每件不低于57元时，即， 即临界点为：， 解得：， ． 【点评】本题考查了二次函数的应用，吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键． 38．（2024•保康县模拟）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、，求的取值范围． 【答案】（1）①抛物线的解析式为； ②石块能飞越防御墙； （2）的取值范围为． 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入，求得的值，与6作比较即可； （3）把，和，分别代入求出即可． 【解答】解：（1）①设石块运行的函数关系式为， 把代入解析式得：， 解得：， 解析式为：，即； ②石块能飞越防御墙，理由如下： 把代入得： ， ， 石块能飞越防御墙； （3）由题可知，抛物线， 把，代入得：， 解得； 把，代入解析式， 解得， 的取值范围为． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 九．二次函数综合题 39．（2024•盂县三模）如图，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点为顶点坐标． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）点在抛物线第二象限运动（不含，两点），连接，，当时，求点的横坐标． 【答案】（1），； （2）点的横坐标为． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由，得到，即，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 抛物线的函数表达式为． ； （2）如答图，过点作轴于点． 抛物线的表达式为 ， ， ，． 在中， 点在抛物线第二象限上运动，点的横坐标为， ， ，． ， ． 在中，， ． 解得：（不合题意的值已舍去）， 点的横坐标为． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 40．（2024•宝安区校级三模）综合与实践 【生成概念】抛物线与轴交于点，若抛物线上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“兄弟抛物线”． 【感知特例】（1）已知抛物线，写出的“兄弟抛物线” 的解析式，并画出抛物线和． 【代数推理】通过代数推理证明抛物线图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试． 运用代数推理证明：抛物线的图象是轴对称图形，对称轴是直线． 证明：在抛物线上任取一点，则 点关于直线对称的点， ， 点也在抛物线的图象上， 点是抛物线上的任意一点，它关于直线对称的点都在抛物线的图象上， 抛物线的图象是轴对称图形，对称轴是直线． （2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线与的“兄弟抛物线” 关于点中心对称． 【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线和的“兄弟抛物线” 这两抛物线的顶点所连直线和有一定的关系，请你求出直线与轴正半轴夹角的正切值（可用、表示）． 【答案】（1），图象见解析；（2）证明过程见解析；（3）． 【分析】（1）根据定义直接写出即可，然后列表、描点、连线画图即可； （2）在任取一点，写出关于对称的点的坐标，证明其在上即可； （3）根据前面思路分别写出两顶点坐标，再将坐标转化为线段长度求解即可． 【解答】（1）的“兄弟抛物线” 的解析式为，图象如图所示： （2）运用代数推理证明：抛物线；与的“兄弟抛物线” 关于点中心对称， 证明：在抛物线上任取一点，则， 点关于点成中心对称的， 的解析式为， ， 点在抛物线的图象上， 点是抛物线；上的任意一点，它关于点中心对称的点都在抛物线的图象上， 抛物线的图象上的任意一点关于点中心对称的点都在抛物线的图象上． 同理，抛物线的图象上的任意一点关于点中心对称的点都在抛物线的图象上． 抛物线与的“兄弟抛物线” 关于点中心对称． （3）抛物线的顶点坐标为，点， 抛物线的顶点坐标为， ． 【点评】本题主要考查了中心对称的性质、二次函数的图象与性质、二次函数上点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$