第26章二次函数 培优题突破练习★★★【8个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 培优题突破练习★★★【8个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 考点梳理 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数的最值 五．抛物线与x轴的交点 六．二次函数与不等式（组） 七．二次函数的应用 八．二次函数综合题 思维导图 考点精讲精练 一．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2024•济南模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为，，点，，在该抛物线上，当恒成立时，的最小值为　　 A．1 B．2 C．4 D．3 3．（2022秋•迎江区期中）定义符号，含义为：当时，；当时，．如：，，，．则，的最大值是　　 A． B． C．1 D．0 二．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．（2022•东宝区校级自主招生）如图，抛物线的对称轴为，且过点，，有下列结论： ①； ②；③；④； 其中所有正确的结论是　　 A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 5．（2022•井研县模拟）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断： ①；②；③；④；⑤正确的是　　 A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤ 6．（2023•斗门区一模）在平面直角坐标系中，对图形给出如下定义：若图形上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形的坐标角度是．现将二次函数的图象在直线下方的部分沿直线向上翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是　　 A． B． C． D． 7．（2019春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数，它与轴交于、，且、位于原点两侧，与的正半轴交于，顶点在轴右侧的直线上，则下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 8．（2022秋•汇川区校级期中）抛物线开口向上，顶点为，，，抛物线与轴交于点，，，，，，则下列结论中，正确的结论有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2019秋•海州区校级期末）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①；②是的一个根；③若，，则．其中正确的有　　个． 10．（2024•东区校级一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 　　（填写所有正确结论的序号）． 三．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 11．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图象与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是 　　． 四．二次函数的最值 · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 12．（2022•无锡）在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 13．（2014•龙岩）定义符号，的含义为：当时，；当时，．如：，，，．则，的最大值是　　 A． B． C．1 D．0 五．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 14．（2021•天山区校级二模）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 15．（2021秋•永嘉县校级月考）已知抛物线，其中是常数，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．给出下列4个结论：①不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；②不论为何值，该抛物线与轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点，满足的点有3个时，则；④若时，则；其中，正确的结论个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2021•恩施市一模）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 17．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，若抛物线与轴正半轴相交于点，点是轴上一动点，过点作直线轴，与抛物线相交于，两点在的左侧），过点作轴于，连接，，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为　　 A． B． C． D． 18．（2024•乌鲁木齐二模）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；② 有两个实数根；③当的面积为时，；④当 为直角三角形时，在 内存在唯一一点，使得 的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 19．（2017春•武侯区月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，点的坐标为　 　． 六．二次函数与不等式（组） · 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 20．（2022•陕西模拟）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为．点和点均在直线上．下列结论错误的是　　 A． B．不等式的解集为 C． D．方程有两个不相等的实数根 21．（2021•旌阳区模拟）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2021秋•禹州市期中）如图，直线与抛物线交于、两点，且点的横坐标是，点的横坐标为6，则以下结论：①抛物线的图象的顶点一定是原点；②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而减小；③的长度可以等于8；④不可能成为等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是 　　．（填序号） 23．（2016•闵行区校级自主招生）不等式有多重解法，其中有一种方法如下，在同一平面直角坐标系中作出和的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设，为整数，若对任意，都有成立，则　　． 七．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 24．（2022•定海区校级模拟）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图，已知遮阳棚与竖杆垂直，遮阳棚的高度米，喷水点与地面的距离米（喷水点喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的处，到竖杆的水平距离米（如图，此时水柱的函数表达式为 　　，现将遮阳棚绕点向上旋转（如图，则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 　　米．（保留根号） 八．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 25．（2024•鞍山二模）如图，二次函数图象与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，轴，垂足为，点为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线” 与二次函数图象的另一个交点为，连接，且顶点在第一象限，； （1）当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； （2）当时，连接，若为直角三角形，且，求与之间的数量关系． 26．（2024•德阳校级模拟）抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线顶点坐标为，点是第一象限抛物线上动点，连接，． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）如图1，点在直线上方的抛物线上，使得恰好等于的，求的值． （3）如图2，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标． 27．（2024•赣州二模）如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． （1）填空： ①　　； ②当时，直接写出与的函数解析式为 　　． （2）经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得的值相等． ①求出的取值范围； ②当时，求的值． 28．（2024•深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为，轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为，读数为，抛物线的顶点为． （1） （Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 0 2 3 4 5 6 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； （2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为 　　； ②将点坐标代入中，解得　　；（用含，的式子表示 方案二：设点坐标为． ①此时点的坐标为 　　； ②将点坐标代入中解得　　；（用含，的式子表示 （3）【应用】已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 29．（2024•大安市四模）如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在抛物线上，点的横坐标为．点的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； （4）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出的取值范围． 30．（2023秋•苏州期末）如图，二次函数为常数，且的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，过点且平行于轴的直线与轴交于点，与直线交于点，连接，交直线于点． （1）填空：点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； （2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由； （3）若点为二次函数为常数，且位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标． 31．（2024•琼山区校级三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： ①设的面积为，求出关于的关系式； ②当为何值时，与相似？ （3）如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2024•湖南模拟）我们知道：关于的二次函数，当系数，，确定时，该二次函数的图象也随之确定，顶点坐标也唯一确定． （1）①请写出关于的二次函数的顶点坐标：　　； ②请写出关于的二次函数的顶点坐标：　　；（用含有的式子表示） （2）已知关于的二次函数，请问该抛物线的顶点是否有最高位置或者最低位置？如果有，求出此时的取值； （3）关于的二次函数与，这两个抛物线的顶点分别是，和，当时，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 33．（2024•娄星区一模）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为 　　； ②抛物线的“特征值”为 　　； （2）某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式； （3）二次函数的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值． 34．（2024•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．（1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）点为抛物线对称轴上一点，连结，，求周长的最小值； （3）已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边垂直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值； ②连结，设的中点为，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 35．（2024•利州区二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有　　 A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 36．（2021•阳新县校级模拟）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点坐标为，连接，．有以下说法： ①； ②当时，的值随的增大而增大； ③当时，；④面积的最小值为， 其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2020•越秀区校级二模）如图，已知平行四边形中，，，以为直径的圆经过点，为线段上任一点（与点、点不重合），过点作直线于，交直线于，设，的面积为．以下结论正确的是　　 ①点的坐标是，； ②直线的解析式是：； ③与的函数关系式是：； ④当时，直线与已知圆相切． A．②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 38．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点是横轴正半轴上的一个动点，经过原点，且与相切于点． （1）当轴时，点的坐标为 　　； （2）若点在第一象限，设点的坐标为，则关于的函数关系式为 　　（不用写出自变量的取值范围）； （3）当射线与直线相交时，点的横坐标的取值范围是 　　． 39．（2024•郫都区校级模拟）定义在平面直角坐标系中，点，，，的折线距离．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形（如图所示），若点，动点满足（动点到点，的折线距离之和为．已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点． ①动点的轨迹与轴公共点的坐标为 　　． ②动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为 　　． 40．（2022•安徽模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、分别在轴和轴上，，．是的中点，是线段上的点且，点是线段上一个动点，经过、、三点的抛物线交轴的正半轴于点，连接交于点． （1）当点与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　　； （2）以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，则点的运动路径的长是 　　． 第26章二次函数 培优题突破练习★★★【8个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册 参考答案与试题解析 一．二次函数的性质 1．（2024•济南模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即，解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为1， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线经过点， ． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 抛物线经过点，， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键． 2．（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为，，点，，在该抛物线上，当恒成立时，的最小值为　　 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】 【分析】利用点、、在抛物线上得，，，，再利用得到，所以，从而得到的最小值． 【解答】解：点、、在抛物线上， 得，，， 恒成立，， ， ， 即， 而， ， 即的最小值为3． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：①当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 3．（2022秋•迎江区期中）定义符号，含义为：当时，；当时，．如：，，，．则，的最大值是　　 A． B． C．1 D．0 【答案】 【分析】，的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【解答】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．设它们交于点、． 令，即，解得：或， ，，，． 观察图象可知： ①当时，，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，，的最大值是． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义，和掌握函数的性质是解题的关键． 二．二次函数图象与系数的关系 4．（2022•东宝区校级自主招生）如图，抛物线的对称轴为，且过点，，有下列结论： ①； ②；③；④； 其中所有正确的结论是　　 A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论； ②根据抛物线与轴的交点坐标即可得结论； ③根据对称轴和与轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论； ④根据点，和对称轴方程即可得结论． 【解答】解：①观察图象可知： ，，，， 所以①正确； ②当时，， 即， ， ， ， 所以②正确； ③因为对称轴，抛物线与轴的交点，， 所以与轴的另一个交点为，， 当时，， ． 所以③正确； ④当时，， 又对称轴：， ，， ， ． ， ． 所以④错误． 或者当时，， ， 又， ， ， ， ， 结论④错误 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 5．（2022•井研县模拟）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断： ①；②；③；④；⑤正确的是　　 A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤ 【答案】 【分析】①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得，⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断； 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，， ， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 6．（2023•斗门区一模）在平面直角坐标系中，对图形给出如下定义：若图形上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形的坐标角度是．现将二次函数的图象在直线下方的部分沿直线向上翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分和两种情形画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题． 【解答】解：当时，如图1中， 角的两边分别过点，，作轴于， ， ， 根据对称性可知 此时坐标角度； 当时，如图2中， 角的两边分别过点，，，，作轴于， ， ， 根据对称性可知 此时坐标角度， ； 故选：． 【点评】本题考查二次函数综合题、图形的坐标角度的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形，学会利用特殊点或特殊位置解决问题，属于中考常压轴题． 7．（2019春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数，它与轴交于、，且、位于原点两侧，与的正半轴交于，顶点在轴右侧的直线上，则下列说法：①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】先由抛物线解析式得到，利用抛物线的对称轴得到，易得，于是可对①进行判断；由顶点在轴右侧的直线上可得的范围，从而可判断②是否正确；由及顶点在轴右侧的直线上，可得抛物线与轴两交点之间的距离为定值，故可取进行计算，即可求得的长度及的大小． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 而抛物线与轴的交点在轴上方， ，则， ，故①正确； 由顶点在轴右侧的直线上可得： ②正确； ， 该抛物线的开口方向及大小是一定的 又顶点在轴右侧的直线上 该抛物线与轴两交点之间的距离是定值， 故可令 则 此时抛物线解析式为： 由 得， 故 ③正确； 故④正确； 综上，故选：． 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键，本题具有一定的灵活性与难度． 8．（2022秋•汇川区校级期中）抛物线开口向上，顶点为，，，抛物线与轴交于点，，，，，，则下列结论中，正确的结论有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点判断、、的正负，根据对称轴判断与的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断、、的关系，然后综合分析即可． 【解答】解：①由图象可知，，，，所以，故①正确； ②，，，故②正确； ③由图象可知，时，， 时，，， ， ， ．故③正确； ④时，，， 当时，， 由，得， ，即 两个不等式相加，得， 由②，， ， ， ， ，又， ． 故④错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断． 9．（2019秋•海州区校级期末）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①；②是的一个根；③若，，则．其中正确的有　3　个． 【分析】①根据对称轴方程即可得结论； ②根据对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标即可求出另一个交点坐标即可得结论； ③构造和所在直角三角形全等，得线段相等，从而求得点的坐标，再根据交点式求抛物线解析式，求当时，的值即可得结论． 【解答】解：①因为抛物线的对称轴， 所以，即， 所以①正确； ②因为，对称轴， 所以设抛物线与轴的另一个交点为， 所以， 所以时，，即是的一个根． 所以②正确； ③如图： 过点作对称轴于点，设对称轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ．又，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得， 抛物线解析式为， 当时，， 即． 所以③正确． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识． 10．（2024•东区校级一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 　①③⑤　（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤． 【分析】根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到、、之间的关系，从而对②⑤作判断；利用，可判断③；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出④的正误． 【解答】解：①函数开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧 异号， 抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ， 故①正确； ②图象与轴交于点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ， 故②错误； ③二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，， 最小值：， ， ； ③正确； ④图象与轴的交点在和之间， ， ； 故④错误 ⑤， ，即； 故⑤正确． 综上所述，正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 三．二次函数图象上点的坐标特征 11．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图象与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据对称性，表示、两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可． 【解答】解：如图， 过点作轴，交轴于点，交直线于点，连接， 、关于直线对称， 设， 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 又在上， ， 即， 整理得，， 解得，，， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设一个点的坐标，表示对称点的坐标．两点间的距离公式要理解并熟记． 四．二次函数的最值 12．（2022•无锡）在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作于，作于，可求得，，的值，进而求得四边形的面积；当点在上时，当点和点重合时，四边形的面积，当点在上，点在上时，设四边形的面积为，求得，求得当时，最大，进一步得出结果． 【解答】解：如图1， 作于，作于， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， ，， ， ， ， ，， 梯形的面积， 如图2， 当点在上时， 当点和点重合时，四边形的面积最大．此时， 四边形的面积， 如图3， 当点在上，点在上时，设四边形的面积为， ， ， ， 当时，最大， 因为， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 13．（2014•龙岩）定义符号，的含义为：当时，；当时，．如：，，，．则，的最大值是　　 A． B． C．1 D．0 【答案】 【分析】，的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【解答】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．设它们交于点、． 令，即，解得：或， ，，，． 观察图象可知： ①当时，，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，，的最大值是． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义，和掌握函数的性质是解题的关键． 五．抛物线与x轴的交点 14．（2021•天山区校级二模）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中，正确结论的是　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】 【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与轴的交点，即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③根据抛物线的对称轴确定与的关系式，再根据已知条件求出的取值范围即可判断． 【解答】解：①根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 当时，与其对应的函数值， ，， 函数图象的顶点在第四象限内； ①正确； ②根据二次函数的对称性可知： 关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根， ②正确； ③对称轴为直线，，， 当时，与其对应的函数值， ，即，． 对称轴为直线，二次函数的图象过点，，， ，当时，， ，． ， ③错误． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 15．（2021秋•永嘉县校级月考）已知抛物线，其中是常数，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．给出下列4个结论：①不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；②不论为何值，该抛物线与轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点，满足的点有3个时，则；④若时，则；其中，正确的结论个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①利用判别式的值即可判断；②求出抛物线与轴的交点即可判断；③求出抛物线的顶点坐标，点是抛物线顶点满足条件，由此即可求出的值；④构建不等式即可解决问题； 【解答】解：， △， 不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点，故①正确， 令，解得． 可能小于0，故②错误， ， 顶点的纵坐标为， 抛物线上有一个动点，满足的点有3个时， 点是抛物线的顶点时满足条件，此时，故③正确， 时，，， ，故④错误， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 16．（2021•恩施市一模）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【分析】①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，即可求解； ②时，，即可求解； ③，即可求解； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，即可求解； ⑤若方程，即：若方程，当时，由韦达定理得：其两个根的和为，即可求解． 【解答】解：二次函数表达式为：， ①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，则，故正确； ②函数在轴右侧的交点为，时，，故正确； ③，故错误； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，正确； ⑤若方程，即：若方程，当时，用韦达定理得：其两个根的和为，同理当时，其两个根的和也为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查的是抛物线与轴交点，涉及到根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数表达式的三种形式，进而求解． 17．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，若抛物线与轴正半轴相交于点，点是轴上一动点，过点作直线轴，与抛物线相交于，两点在的左侧），过点作轴于，连接，，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，设交于，交于．首先证明四边形是矩形，，推出，设，根据对称性可知：四边形是平行四边形，推出，，因为将四边形的面积分成的两部分，，可得，推出，推出，，设，由，可得，即，解得，求出点坐标即可解决问题． 【解答】解：如图，设交于，交于． ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，设， 根据对称性可知：，， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形的面积分成的两部分，， ， ， ，，设， ， ， ， 解得， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用此时解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 18．（2024•乌鲁木齐二模）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；② 有两个实数根；③当的面积为时，；④当 为直角三角形时，在 内存在唯一一点，使得 的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】 【分析】①先求出抛物线于轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用表示出面积，再求出的值，即可判断③是否正确；④过点、分别作轴、轴的平行线交于点，连接、、，运用分类讨论思想，求出的值，再将绕点逆时针旋转得到△，连接，过点作轴于点，作轴于点，推出当点，点，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在△和△中，利用勾股定理列出方程组，求出，的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【解答】解：①抛物线经过点，顶点为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线的开口向上， 当时，， 故①正确； ②方程 可变形为方程， 因此 有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下： 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ， 抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交轴于，如图， 则， ，，， ， ， ， ， ， 故③正确； ④如图，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，连接、、， 则四边形是矩形， ， ，，， ，，，，，， 为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， 只能或， 若，则， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， ， ， ； 若，则， ， ， ， ， ，即， ， ， ； 点在与之间（不含端点）， ， 解得， ， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，过点作轴于点，作轴于点， ，，， 和是等边三角形， ，， ， 当点、、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在△中， 由勾股定理，得， 在△中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 19．（2017春•武侯区月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，点的坐标为　　． 【分析】由于四边形的面积等于的面积与的面积之和，当四边形的面积最大时，即最大，设点的坐标为，利用点的坐标表示出的面积即可求出点的坐标． 【解答】解：过点作轴于点，交抛物线于， 将，代入 解得： 抛物线的解析式为： 令代入， 解得：或 设直线的解析式为， 把和代入 解得： 直线的解析式为：， 设的坐标为： ， 的面积为： 四边形的面积最大时，只需要的面积最大即可， 当时， 的面积可取得最大值， 此时的坐标为 【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出的面积的表达式，本题属于中等题型． 六．二次函数与不等式（组） 20．（2022•陕西模拟）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为．点和点均在直线上．下列结论错误的是　　 A． B．不等式的解集为 C． D．方程有两个不相等的实数根 【答案】 【分析】利用抛物线的对称轴方程得到得，抛物线开口向上得到，则，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用二次函数的增减性可对进行判断；结合函数图象可对进行判断；利用抛物线与直线只有一个交点可对进行判断． 【解答】解：直线经过抛物线的顶点坐标为， ， ，所以正确； 当时，， 不等式的解集为．所以正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上， ， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以正确； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，所以错误； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题． 21．（2021•旌阳区模拟）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解； ②当等于1时，等于，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线的对称性即可求解； ④根据抛物线的平移即可求解； ⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【解答】解：①因为抛物线的对称轴为， 即，所以， 所以①错误； ②当时，， 所以，因为， 所以， 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为， 即对称轴为， 且与轴的一个交点在点和之间， 所以抛物线另一个交点在到之间； 所以③正确； ④因为，即， 根据图象可知： 把抛物线图象向下平移个单位后图象过原点， 即可得抛物线的图象， 所以当时，， 即． 所以④正确； ⑤一元二次方程， △， 因为根据图象可知：，， 所以， 所以△， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 22．（2021秋•禹州市期中）如图，直线与抛物线交于、两点，且点的横坐标是，点的横坐标为6，则以下结论：①抛物线的图象的顶点一定是原点；②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而减小；③的长度可以等于8；④不可能成为等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是 　①④⑤　．（填序号） 【答案】①④⑤． 【分析】①由抛物线性质可得，②因为，一次函数随的增大而增大，③不能平行轴，④，⑤画出和的图象． 【解答】解：抛物线的对称轴是轴，抛物线与轴的交点是， 抛物线的顶点是原点， 故①正确， 抛物线开口向上， ， 当时，，当时，， ， 的随的增大而增大， 故②错误， ， 不能平行于轴， ， 故③错误， ， ， ， 不能是等边三角形， 故④正确， 如图， 与的图象， 当时，， ， ， 故⑤正确， 故①④⑤正确． 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，等边三角形判定，函数与不等式之间的关系等知识，解决问题的关键是将不等式变形，利用数形结合解答． 23．（2016•闵行区校级自主招生）不等式有多重解法，其中有一种方法如下，在同一平面直角坐标系中作出和的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设，为整数，若对任意，都有成立，则　　． 【分析】若对任意，都有成立，则应为增函数，的图象顶点应在轴下方，且函数与轴负半轴交于同一点，结合，为整数，可得答案． 【解答】解：观察图象可知：然，由于的负半轴上与不同号与在轴负半轴上交点相同，推出， ，为整数， ，， ． 故答案为． 【点评】本题考查二次函数与不等式、抛物线与轴的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 七．二次函数的应用 24．（2022•定海区校级模拟）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图，已知遮阳棚与竖杆垂直，遮阳棚的高度米，喷水点与地面的距离米（喷水点喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的处，到竖杆的水平距离米（如图，此时水柱的函数表达式为 　　，现将遮阳棚绕点向上旋转（如图，则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 　　米．（保留根号） 【答案】，． 【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段沿轴向下平移，使平移后的线段恰好与抛物线只有一个交点，先根据与水平线成角，从而得到直线与直线平行，再根据，得出平行于直线，利用待定系数法求出直线的函数解析式，再根据直线和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据△求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点的坐标，求出的长度，再根据，求出即可． 【解答】解：将线段沿轴向下平移，使平移后的线段恰好与抛物线只有一个交点， 过点作于，如图： 抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入，得： ， 解得：， ， ，轴， 与直线平行，且与轴的夹角是， ， 与直线平行，， 设的解析式为， 与抛物线只有一个交点， 方程组只有一组解， 方程有两个相等的实数根， 将方程整理得：， △， 解得：， 的解析式为， 令，得， ， ， （米， 在中，，， ， （米， 此时水住与遮阳棚的最小距离为米． 故答案为：，． 【点评】本题考查二次函数的应用、直线与抛物线的位置关系、直线的平移、平行线间的距离等知识，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 八．二次函数综合题 25．（2024•鞍山二模）如图，二次函数图象与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，轴，垂足为，点为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线” 与二次函数图象的另一个交点为，连接，且顶点在第一象限，； （1）当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； （2）当时，连接，若为直角三角形，且，求与之间的数量关系． 【答案】（1）①； ②证明见解析； （2）或． 【分析】（1）①根据，，的关系，得出和的横坐标，从而表示出的纵坐标，代入直线的表达式，求得的值，即可求解； ②根据直线的表达式和抛物线表达式求出点坐标，根据等腰直角三角形的判定证明即可； （2）用，分别求出和的坐标，然后可以求出的坐标，从而求得的表达式，联立抛物线解析式，求得的坐标，根据勾股定理分情况讨论求出和的关系即可． 【解答】（1）①解：，， ， ，， ， ， ， ； ②证明：，， ， 联立直线和抛物线解析式：， 解得：或（舍去）， ， ，， ，， 为等腰直角三角形． （2）解：， ， ，抛物线解析式为：， 令，解得， ，， ，， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线解析式：， 解得：， ，， ，，， ①当时，， 即：， 整理得：， ； ②当时，， 即：， 整理得：， ； 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及等腰三角形的判定是本题解题的关键． 26．（2024•德阳校级模拟）抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线顶点坐标为，点是第一象限抛物线上动点，连接，． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）如图1，点在直线上方的抛物线上，使得恰好等于的，求的值． （3）如图2，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：； （2）； （3）的最小值为3，点． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，由，得到，则，即可求解； （3）由，即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点， 由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则或4，即点、坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：； （2）如图2， 设，在直线上方的抛物线上存在点，使得恰好等于，理由如下： 作平分，交于，作于，交于，作于，作于， ，， ，， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 则， 即； （3），如图1， 作，交于， ， ， 设， 由， 则， ， ， ， 当时，的最大值为2， 的最小值为3， 则点． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和知，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，较强的计算能力也很重要． 27．（2024•赣州二模）如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． （1）填空： ①　6　； ②当时，直接写出与的函数解析式为 　　． （2）经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得的值相等． ①求出的取值范围； ②当时，求的值． 【答案】（1）①6；②； （2），； （3）①；②． 【分析】（1）①由图2可得时，点在点处，从而可得，即可得解；②由中点得，进而求得当点在上运动时，点在上运动，由，的高为8，利用三角形的面积公式即可得解； （2）根据三角形形的面积公式可得是关于的二次函数； （3）由（1）（2）得，10①对于，当时，，当时，，从而可得；②得，从而根据时刻，，，使得的值相等构造方程求解即可得，进而代入求解即可． 【解答】解：（1）①由图2可得时，点在点处， ， 故答案为：6， ②点是的中点， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动， ， 当点在上运动时，点在上运动， ，的高为8， 当时，， 故答案为：； （2）如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ， 自变量的取值范围为； （3）由（1）（2）得， ①如图，， 对于，当时，， ， 当时， ； ②， ， ， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象及性质，从函数图象获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 28．（2024•深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为，轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为，读数为，抛物线的顶点为． （1） （Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 0 2 3 4 5 6 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； （2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为 　，　； ②将点坐标代入中，解得　　；（用含，的式子表示 方案二：设点坐标为． ①此时点的坐标为 　　； ②将点坐标代入中解得　　；（用含，的式子表示 （3）【应用】已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 【答案】（1）描点连线绘制函数图象见解答；抛物线的表达式为：，； （2）方案一：，，；方案二：，，； （3）． 【分析】（1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：点，；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于二次函数，由得：，解得：，则距线段的距离的，即可求解． 【解答】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 抛物线过点，故设抛物线的表达式为：， 将、代入上式得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：，； （2）方案一： 点，； 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 则； 故答案为：，，； 方案二： 点，， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：； 故答案为：，，； （3）对于二次函数， 由得：， 解得：， 则距线段的距离的， 当时，则； 当时，同理可得：， 综上，． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． 29．（2024•大安市四模）如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在抛物线上，点的横坐标为．点的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； （4）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值与最小值的差为2； （4）或． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）对于，当时，，即可求解； （3）当时，可得，，，，结合图形即可求得答案； （4）当，解得：，，则；当，解得：，可得出答案； 【解答】解：（1）将点代入函数表达式得：， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）对于，当时，， 即抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，则，， ， 把代入得：， ， 以为对角线作矩形，使轴， ，，如图， 抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2， 最大值与最小值的差为． （4）由题意得：，， 当， 解得：，， ； 当， 解得：， ． 综上：或； 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，通过图形的动态变化，考查运算，绘图、推理等能力，解题的关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题． 30．（2023秋•苏州期末）如图，二次函数为常数，且的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，过点且平行于轴的直线与轴交于点，与直线交于点，连接，交直线于点． （1）填空：点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； （2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由； （3）若点为二次函数为常数，且位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标． 【答案】（1），； （2）是定值，这个定值为； （3）当时，的最大值为，此时点的横坐标为． 【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标； （2）令，可得点的坐标，求出顶点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，则，过点作轴交直线于点，则，证明，即可得，即可求解； （3）过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，则，设，则，证明，即可得，根据相似三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解：（1）令，得， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）是定值， 把代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 顶点为， ， ， 是定值，这个定值为； （3）过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， 当时，的最大值为，此时点的横坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 31．（2024•琼山区校级三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： ①设的面积为，求出关于的关系式； ②当为何值时，与相似？ （3）如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线． （2）①； ②当的值为或时，与相似； （3），或，或，． 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，利用待定系数法可得出结论； （2）①根据题意可先得出的取值范围，分，两种情况，分别求解即可； ②当点在上时，不存在；当点在上时，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）平行四边形两定两动问题，①以、为对角线，则的中点即是中点，②以、为对角线，则中点即是中点，③以、为对角线，分别列方程组即可求解． 【解答】解：（1）将，代入抛物线， ，解得， 抛物线． （2）抛物线，令，则， ； ， ， ，， ； ①如图，当点在上，即时，，， ； 如图，当点在上，即时，，， ， 过点作轴，， ，即， ， ； 综上，； ②当点在上时，如图，此时是钝角三角形，不符合题意； 当点在上时： 当时，如图，此时， ， 由①可知，，， ，， ， 解得，； 当时，如图，此时， ， ， 解得，； 综上，当的值为或时，与相似； （3）存在，理由如下： 平分面积， 为中点，即， 由题意可知，抛物线沿射线平移，且过点，则平移至点时，向右平移2个单位，再向下平移个单位， 抛物线解析式为：，即， 抛物线的对称轴为：， ，，，而，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图 ，解得， ，； ②以、为对角线，则中点即是中点，如图 ，解得， ，； ③以、为对角线，如图 ，解得， ，， 综上所述：满足条件的点坐标为：，或，或，． 【点评】此题主要涉及二次函数的平移，左加右减自变量，上加下减常数项，二次函数求线段最值问题，解题的关键是根据平行四边形对角线互相平分，列方程组． 32．（2024•湖南模拟）我们知道：关于的二次函数，当系数，，确定时，该二次函数的图象也随之确定，顶点坐标也唯一确定． （1）①请写出关于的二次函数的顶点坐标：　，　； ②请写出关于的二次函数的顶点坐标：　　；（用含有的式子表示） （2）已知关于的二次函数，请问该抛物线的顶点是否有最高位置或者最低位置？如果有，求出此时的取值； （3）关于的二次函数与，这两个抛物线的顶点分别是，和，当时，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，； ②； （2）顶点有最高位置，； （3）不存在． 【分析】（1）①代入顶点坐标公式求解即可； ②代入顶点坐标公式求解即可； （2）的顶点为，，设，，可得，当时，有最大值16，求出； （3）分别求，，再由题意得到，当时，，此时无解；当时，，此时无解；当时，即，△，此时无解． 【解答】解：（1）①中，，， ，， 顶点为，； 故答案为：，； ②中，，， ，， 顶点为； 故答案为：； （2）顶点有最高位置，理由如下： 的顶点为，， 设，， ， 当时，有最大值16， ， ； （3）不存在实数，使得恒成立，理由如下： 的顶点为，， 的顶点为，， ，， 当时，， ， 当时，即，，解得， 此时无解； 当时，即，，解得， 此时无解； 当时，即，△， 此时无解； 综上所述：不存在实数，使得恒成立． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，顶点坐标公式，分类讨论是解题的关键． 33．（2024•娄星区一模）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为 　3　； ②抛物线的“特征值”为 　　； （2）某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式； （3）二次函数的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值． 【答案】（1）①3； ②7； （2）； （3）二次函数的解析式为或，“特征值”均为． 【分析】（1）①根据题目中的规定易得结论； ②根据定义求出是关于的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （2）由，得到，根据二次函数的“特征值”为．求得，得到，于是得到结论； （3）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为，由二次函数的图象的顶点在直线上，用顶点式可设二次函数为．在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线与的交点上时（如图①；②抛物线右侧部分经过点时（如图②．然后分别把、分别代入，解得的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值． 【解答】解：（1）①，， “坐标差”为3， 故答案为：3； ②， 特征值是7； 故答案为：7； （2）， ， 二次函数的“特征值”为． ， ， ， ， 二次函数的解析式为； （3）“坐标差”为2的一次函数为， 二次函数的图象的顶点在直线上， 设二次函数为， 二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②， ①抛物线顶点在直线与的交点上时（如图①， 令，则，得交点为， 把代入，得， 解得，（舍去）， 二次函数的解新式为， ，特征值是； ②抛物线右侧部分经过点时（如图②， 把代入，得， 解得，（舍去）， 二次函数的解析或为， ，特征值是． 综上，二次函数的解析式为或，“特征值”均为． 【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题． 34．（2024•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．（1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）点为抛物线对称轴上一点，连结，，求周长的最小值； （3）已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边垂直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值； ②连结，设的中点为，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）周长的最小值为； （3）①的值为3或或；②时或时，以、、为顶点的三角形为锐角三角形． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）点关于直线的对称点，连接与对称轴交于点，此时的周长最小； （3）①先确定当或时，抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，再分两种情况讨论：当时，，解得或（舍，当时，，解得或（舍；，解得； ②求出直线的解析式为，可知、、三点共线，过点与垂直的直线解析式，当点在直线上时，，解得，当点在直线上时，，解得，即可得时或时，以、、为顶点的三角形为锐角三角形． 【解答】解：（1）将点、代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点， 连接与对称轴交于点，此时， ，， 周长的最小值为； （3）①点横坐标为， ， 当时，解得，此时、点重合， 当时，解得，此时、点重合， 当时，解得，此时点与点重合， 当或时，抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小， 当时，，解得或（舍， 当时，，解得或（舍， ，解得； 综上所述：的值为3或或； ②，，的中点为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 、、三点共线， ， ， 过点与垂直的直线解析式， 当点在直线上时，， 解得； 当点在直线上时，， 解得， 时或时，以、、为顶点的三角形为锐角三角形． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 35．（2024•利州区二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有　　 A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，， 当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ，故②错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ， ， 点的坐标为， ，故③正确； ， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象，二次函数的性质等，利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 36．（2021•阳新县校级模拟）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点坐标为，连接，．有以下说法： ①； ②当时，的值随的增大而增大； ③当时，；④面积的最小值为， 其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】（1）说法①错误．如答图1，设点关于轴的对称点为，若结论①成立，则可以证明，得到．而是的外角，，由此产生矛盾，故说法①错误； （2）说法②错误．如答图2，可求得为定值，故错误； （3）说法③正确．联立方程组，求得点、坐标，进而求得、、，验证等式成立，故正确； （4）说法④正确．由根与系数关系得到：，当时，取得最小值为，故正确． 【解答】解：设，，其中，． 联立与得：，即， ，． 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得，， ． 令，得， 直线与轴的交点坐标为，． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点坐标为，． ， 直线、与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，、关于轴对称， 点关于轴的对称点落在上． 连接，则，． 假设结论：成立，即， ， 又， ， ， ． 而是的外角， ，矛盾， 说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知：， ． 由对称可知，为的角平分线， ， ． ． 如答图2所示，过点作轴于点，则，． ， ，， ． ． 即：为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当时，联立方程组：，得，，，， ，， ，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： ， 当时，面积有最小值，最小值为． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故选：． 【点评】本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中、的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用． 37．（2020•越秀区校级二模）如图，已知平行四边形中，，，以为直径的圆经过点，为线段上任一点（与点、点不重合），过点作直线于，交直线于，设，的面积为．以下结论正确的是　　 ①点的坐标是，； ②直线的解析式是：； ③与的函数关系式是：； ④当时，直线与已知圆相切． A．②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】①根据的性质得，证明四边形是矩形，可得，可得点的坐标； ②利用待定系数法可得直线的解析式； ③根据三角形的面积公式可得与的关系式，由于为线段上任一点（与点、点不重合），可得； ④根据的值，代入③中的关系式可得两个对应的值，求出的中点到的距离的长，可知一个相切，一个不相切． 【解答】解：①如图1，连接， 是圆的直径， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； 故①不正确； ②点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则，解得， 直线的解析式为：， 故②正确； ③， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 故③正确； ④当时，， ， 解得：，， 如图2，过的中点作于，交于， 当时，， ， ， ， ， 直线与已知圆相切； 当时，， ， ， 此时直线与已知圆不相切， 故④不正确； 本题正确的结论有2个是：②③． 故选：． 【点评】本题是二次函数和圆的综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，直线和圆相切的判定，平行四边形的性质，三角形的面积，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定等知识，掌握圆与平行四边形的性质是关键． 38．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点是横轴正半轴上的一个动点，经过原点，且与相切于点． （1）当轴时，点的坐标为 　，　； （2）若点在第一象限，设点的坐标为，则关于的函数关系式为 　　（不用写出自变量的取值范围）； （3）当射线与直线相交时，点的横坐标的取值范围是 　　． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】（1）由与相切，得出，而轴，进而判断出点在轴上，即可得出答案； （2）由与相切，得出，过点作轴于，过点作轴于，用互余得出，得出比例式即可求出答案； （3）分当点在第一象限时和当点在第四象限时，找出时，判断出为等腰直角三角形，进而得出，进而得出或，建立方程求出的值，即可得出的分界点，进而得出答案． 【解答】解：（1）轴，， ， 与相切， ， 轴， 点在轴上， 点是圆心， 点的横坐标为， ，， 故答案为：，； （2）如图1，连接，过点作轴于，过点作轴于， 则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ，轴于，，且点在第一象限内， ，，， ， 轴，， ，， ， ， 故答案为：， （3）直线过点， 当是射线与直线相交的分界点， 如图2，①当点在第一象限时，过点作轴于， 当时， 由（1）知，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， （舍去）或， 由（2）知，； ②当点在第四象限时，过点作轴于， 同①的方法得，， ， ， ， （舍去）或， 由（2）知，， ， 故答案为：． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 39．（2024•郫都区校级模拟）定义在平面直角坐标系中，点，，，的折线距离．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形（如图所示），若点，动点满足（动点到点，的折线距离之和为．已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点． ①动点的轨迹与轴公共点的坐标为 　，　． ②动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为 　　． 【答案】①或； ②17． 【分析】①设的轨迹与轴的交点坐标为：，可得出，进一步得出结果； ②分类讨论，求出每一段的函数关系式，画出点的运动轨迹，进而求得结果． 【解答】解：①设的轨迹与轴的交点坐标为：， 由题意得， ， 解之得， 或， 点的轨迹与轴的交点坐标为：或， 故答案为：或； ②设点， ，， 当时， （1）当时，， ， （2）当时，， （3）当时，， 当时， （4）当时，， （5）当时，8（舍去）， （6）当时，， 当时， （7）当时，， （8）当时，， （9）当时，， 的图象如图： 设的解析式为：， ， ， ， 当时， ， ， 由得， ， ， ， 故答案为：17． 【点评】本题考查了在新定义的基础上如何分类讨论，去绝对值，得出分段函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 40．（2022•安徽模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、分别在轴和轴上，，．是的中点，是线段上的点且，点是线段上一个动点，经过、、三点的抛物线交轴的正半轴于点，连接交于点． （1）当点与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　　； （2）以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，则点的运动路径的长是 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）求出点、的坐标，再将，，代入，即可求解； （2）当点在点时，是等边三角形，当点在点时，△是等边三角形，可证明，则，求出长即为点的运动轨迹长． 【解答】解：（1），，四边形是矩形， ， 是的中点， ，， 点与原点重合， 设抛物线的解析式为， 将，，代入， ， 解得， ， 故答案为：； （2）， ， ， 如图：当点在点时，是等边三角形，当点在点时，△是等边三角形， ，，， ， ， ， 当点与点重合时，， 令，则或， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ； 当点与点重合时， 设抛物线的解析式为， 将点，，，代入， 得， 解得， ， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ； ， ， 点的运动路径的长是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$