1.1.1 集合及其表示方法（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

1.1.1集合及其表示方法 题型一 判断元素能否构成集合 1．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 2．（23-24高一上·江苏无锡·月考）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3．（22-23高一上·广东深圳·月考）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．（23-24高一上·湖北孝感·月考）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 题型二 判断元素与集合的关系 1．（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 题型三 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 2．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建南平·月考）（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 利用元素的互异性求参数 1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 2．（23-24高一上·河南·月考）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 3．（23-24高一上·广东江门·月考）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 4．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 题型五 用列举法与描述法表示集合 1．（23-24高一上·山东济南·期末）方程组解的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·月考）用描述法表示所有正奇数集 ． 4．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 题型六 区间与集合的相互表示 1．（23-24高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 3．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 题型七 集合与方程的综合问题 1．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 2．（23-24高一上·福建·期中）（多选）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 4．（23-24高一·江苏·假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 题型八 集合的新定义问题 1．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 3．（23-24高一上·山东淄博·月考）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 1．（23-24高一上·江西·月考）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高一上·贵州遵义·月考）（多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 4．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 5．（2023高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 6．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 7．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1集合及其表示方法 题型一 判断元素能否构成集合 1．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合.故选：C 2．（23-24高一上·江苏无锡·月考）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【解析】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．（22-23高一上·广东深圳·月考）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合.故选：A 4．（23-24高一上·湖北孝感·月考）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【解析】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题， 不能构成集合； 对于D，无理数明确可知，可以构成集合.故选：C 题型二 判断元素与集合的关系 1．（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个.故选：C. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C. 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.故选:A 4．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【解析】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误；故选：A. 题型三 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【解析】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 2．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 集合中的方程为，解得或， ，故选：C． 4．（23-24高一上·福建南平·月考）（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【解析】由，且，得， 由集合有且只有2个元素构成，且满足“且，得，即， 当时，，符合题意；当时，，符合题意， 所以或.故选：AC 题型四 利用元素的互异性求参数 1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【解析】由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 2．（23-24高一上·河南·月考）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】B 【解析】由集合，因，则或， 当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，当时，满足．故． 故选：B． 3．（23-24高一上·广东江门·月考）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【解析】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去， 而时，符合题意.故选：D. 4．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故.故选：B. 题型五 用列举法与描述法表示集合 1．（23-24高一上·山东济南·期末）方程组解的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得 方程组解的集合只有一个元素 所求解的集合为故选：D 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【解析】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海徐汇·月考）用描述法表示所有正奇数集 ． 【答案】 【解析】正奇数可表示为，故对应集合为. 故答案为： 4．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）由得，，解得，，所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 题型六 区间与集合的相互表示 1．（23-24高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，解得， 所以不等式的解集为.故选：D. 2．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，，解得. 故答案为： 3．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 【答案】 【解析】根据区间与集合的关系可得结果. 故答案为：；. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1） （2） （3） （4）或 题型七 集合与方程的综合问题 1．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·福建·期中）（多选）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足，故选：ABD. 3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】 【解析】集合至多有一个元素， 当时，方程解得，符合题意； 当时，一元二次方程至多有一个实数根， ，解得或， 所以的取值范围为. 4．（23-24高一·江苏·假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 【答案】且． 【解析】由题意得且，解得且. 故实数k的取值范围为且． 题型八 集合的新定义问题 1．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【解析】．故答案为：26 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【解析】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 3．（23-24高一上·山东淄博·月考）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【解析】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16， 6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17 1．（23-24高一上·江西·月考）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 令，解得， 又，则，化简得.故选：B. 2．（22-23高二下·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素；故选：C. 3．（23-24高一上·贵州遵义·月考）（多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 【答案】ABD 【解析】若，则，，A正确． 若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确． 若，则，所以， 所以，． 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 所以若，则，，，且x，，，互不相等． 所以A所含的元素的个数一定是， 非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确．故选：ABD． 4．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 5．（2023高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 6．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为；(3) 【解析】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 7．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析；(2)A中所含元素个数一定是，证明见解析． 【解析】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有， 又A中只有一个元素，，即， 但此方程，即方程无实数根， ∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合． （2）中所含元素个数一定是个． 证明：，则，，而， 且，当时，， ，方程无解，； 当时，，，方程无解，； 当时，，，方程无解，， 中所含元素个数一定是个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$