1.3 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2024年秋九年级数学上册导学案(1-9) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课 题：1.3 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标： 1、了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用。 2、能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识。 学习重点：了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用。 学习难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识。 自学要求：认真阅读教材P21-22，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、问题导入：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，x= 。 2、探索新知： 知识点一：探索一元二次方程根与系数的关系 活动一：设x1，x2分别为表格内各个方程的两个实数根，观察下面的表格， 你能发现一元二次方程根与系数有什么关系？ 表1 表2 从表1中发现：当二次项系数a=1时，两根的积与常数项相等，两根的和与一次项系数互为相反数． 从表2中发现：当二次项系数a≠1时， 两根的积与常数项与二次项系数的商相等，两根的和与一次项系数与二次项系数的商互为相反数． 活动二：一元二次方程根与系数的关系的推导过程： 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，当b2－4ac≥0时，有两个实数根x1和x2， 则，，于是可得x1＋x2＝+=； x1·x2==。 一元二次方程根与系数的关系： 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2，x1＋x2=，x1·x2=。 我们把这两个结论称为简称 。 注意：根与系数关系的前提条件是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零。 知识点二：已知方程两根构造一元二次方程： ∵方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2，∴，即x2-（x1＋x2）x +x1·x2=0 小结：以x1和x2为根构造一个一元二次方程。（假设二次项系数为1）：x2-（x1＋x2）x +x1·x2=0； 二、例题讲解 例1、求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2-4x＝－1； （2）2x2-3x＝2； 解：（1）原方程可化为：x2-4x+1＝0，设此方程的两根为x1，x2。 ∵a=1，b=-4，c=1，∴x1＋x2＝=4，x1·x2==1. （仿造此格式，完成后面一题） 例2、已知方程2x2＋4x－3＝0，不解方程，求：（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和。 例3、已知关于x的一元二次x2＋m（2x2＋x）＝4x＋m有实数根，求： （1）当m为何值时，方程两根互为相反数； （2）当m为何值时，方程两根互为倒数； （3）当m为何值时，方程至少有一个根为零。 三、基础强化： 1、在解一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q得到了两个根是-3 1，小明看错了 一次项系数P得到方程两个根是5和-4,原来的方程是 （ ） A、x2+2x-3=0 B、x2+2x-20=0 C、x2-2x-20=0 D、x2-2x-3=0 2、已知m,n是一个一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则代数式m2+mn+2m的值为 ( ) A、0 B-10 C、3 D、10 3、 在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，有一根为0，则 ； 有一根为1，则a＋b＋c＝ ；有一根为－1，则a－b＋c＝ ； 若两根互为倒数,则c＝ ；若两根互为相反数，则b＝ 。 4、已知2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值。 4、 拓展提高： 5、已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x＋m2+5＝0有两个实数跟x1 ,x2 （1）求m的取值范围； (1) 当m=3时，若x1 ,x2恰好是一个直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的斜边长。 (2) 若x1 ,x2满足x1＋x2＝=，求m的值。 五、总结反思： 1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1和x2，那么x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。 我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。 2、根与系数关系的前提条件是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零。 六、随堂检测： 1、已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实数根是x1，x2， 且＝24，则k的值是 （　　 ） A、8　　　B、－7　　　　C、6　　　　D、5 2、设a、b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 （　　 ） A、2006　　　　　B、2007　　　　C、2008　　　D、2009 3、已知x1，x2是关于x的方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，且（x1＋2)(x2＋2）＝11，求a的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$