1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型一平面法向量的概念 1．（20-21高二·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量 B．若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直 C．是任意一个平面的一个法向量 D．一个平面的法向量是不唯一的 2．（多选）（21-22高二上·湖南益阳·阶段练习）已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（多选）（21-22高二上·湖南·阶段练习）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量 C． D． 4．（21-22高二·全国·课后作业）以下真命题共有 个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 5．（21-22高二·全国·单元测试）若、都是平面的法向量，则和的关系是 ． 题型二 求平面的法向量 1．（22-23高二下·江苏·阶段练习）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    题型三 利用法向量研究线面平行关系 1．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 3．（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：    (1)； (2) 平面. 4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试用向量基底法证明：//平面． 题型四 利用法向量研究面面平行关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 2．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，从所在平面外一点O作向量.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 3．（2022高二·全国·专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.    4．（20-21高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 题型五 利用法向量研究线面垂直关系 1．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 3．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 5．（2023高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面； 题型六 利用法向量研究面面垂直关系 1．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 3．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    5．（20-21高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 题型七 探索性问题 1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 3．（2023高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得 平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 5．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，平面平面 B．当为的中点时，直线与平面所成角为 C．不存在点，使得平面 D．当时，使得平面 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）    A．若G为线段AE的中点，则平面 B．多面体的体积为 C． D．的最小值为44 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）    A． B． C． D．为平面的一个法向量 4．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 5．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 7．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型一平面法向量的概念 1．（20-21高二·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量 B．若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直 C．是任意一个平面的一个法向量 D．一个平面的法向量是不唯一的 【答案】C 【分析】由直线的方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断. 【详解】对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量，是正确的； 对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的； 对于C，由平面的法向量的定义可知，是任意一个平面的一个法向量，是错误的； 对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的. 故选：C. 2．（多选）（21-22高二上·湖南益阳·阶段练习）已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义判断． 【详解】两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，A错； 两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B正确； 两个平面的法向量平行，则这两个不重合的平面平行，C错． 两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，D正确． 故选：BD． 3．（多选）（21-22高二上·湖南·阶段练习）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可. 【详解】如图， 由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面， 平面，所以ABD正确， 因为与所成的角为60°，所以C不正确， 故选：ABD 4．（21-22高二·全国·课后作业）以下真命题共有 个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 【答案】1 【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③. 【详解】①一个平面的单位法向量有两个.判断错误； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确. 综上，正确命题共有1个 故答案为：1 5．（21-22高二·全国·单元测试）若、都是平面的法向量，则和的关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面的法向量的定义，可得答案. 【详解】由于平面的法向量都垂直于该平面， 故、都是平面的法向量，则和的关系是平行关系，即， 故答案为： 题型二 求平面的法向量 1．（22-23高二下·江苏·阶段练习）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【分析】分别写出点的坐标，根据正方体中平面可判断A；利用两个非零向量垂直则数量积为0可判断B；根据点在x轴上的投影点为可判断C；根据点关于平面对称点坐标为可判断D. 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 题型三 利用法向量研究线面平行关系 1．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解； （2）设，求出面的法向量，通过列方程求出即可； （3）设，则，可得是平面的一个法向量，通过求解即可. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以； （2）设，则 设平面的法向量为， 则，令得， 依题意可得， 解得，所以； （3）设，则， 由（2）知，则， 因为， 所以， 所以是平面的一个法向量．因为平面， 所以，解得， 所以的长为. 3．（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：    (1)； (2) 平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量法证明两个向量垂直. （2）利用空间向量法结合线面平行的判定定理得出结果. 【详解】（1）∵直三棱柱ABC­A1B1C1，， 因为，所以.    ∴两两垂直． 如图，以C为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则， ， ，. （2）设与的交点为E，则. ， ， . 平面. 平面， ∴ 平面. 4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9． 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【详解】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试用向量基底法证明：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量的共面定理证明向量与、共面即可． 【详解】证明：∵，, ∴， ∴向量与、共面，且不在面内， ∴//平面． 题型四 利用法向量研究面面平行关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 2．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，从所在平面外一点O作向量.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面； （2）利用共线向量定理，可得： ， ，从而利用面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 因为从所在平面外一点O作向量， 所以 , 所以共面， 因为有公共端点， 所以四点共面； （2）证明：因为， 所以 ，所以 ， 因为平面，平面， 所以 ， 由（1）知，所以 ，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 3．（2022高二·全国·专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.    【答案】证明见解析 【分析】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，，，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行． 【详解】建立如图所示的空间坐标系，    设，则， ∴， ， ∵，∴，设λ， 则λ ， ． ∴ ， ∴ ． ∵BP⊂平面PAB，BA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB． 4．（20-21高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】因为，是棱的中点， 所以，所以为正三角形. 因为为等腰梯形，， 所以. 取的中点，连接， 则，所以. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 所以，， 又不重合，不重合， 所以，， 因为平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面 5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC． 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 题型五 利用法向量研究线面垂直关系 1．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】方法一：由已知可得和是等腰直角三角形，则可证得，再由长方体的性质可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案； 【详解】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 3．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】证明见解析 【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD. 【详解】 如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，分析可知正三棱锥是棱长为的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台的表面积； （2）设点在底面的射影为点，则为正的中心，取的中点，连接，则，以点、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 5．（2023高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：因为三棱柱为直三棱柱， 所以， 又因为，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以，， 因为平面，， 所以平面， 题型六 利用法向量研究面面垂直关系 1．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 【答案】C 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 则，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 3．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 所以，所以， 则平面平面． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    【答案】答案见解析 【分析】先建立合适的空间直角坐标系，按平面的法向量的求法计算并判定是否垂直即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，所在直线分别为横、纵、竖轴建立空间直角坐标系，则，即, 由条件易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，即平面的一个法向量为， ，故平面与平面不可能垂直． 5．（20-21高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明． （2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直. 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 题型七 探索性问题 1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设点的坐标，由线面垂直转化成向量垂直，列方程组，表示出，利用模长公式计算即可. 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【分析】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则 ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 3．（2023高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 【答案】存在， 【分析】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，根据结合空间向量的坐标运算求解. 【详解】因为点在下底面的投影为的中点，故平面， 连接，由题意为正三角形，故， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 可得，，， 设， 可得， 假设在棱（含端点）上存在一点使， 则，解得， 所以存在，此时. 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得 平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，满足，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证； （2）根据向量法判断线面是否平行即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使 平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使 平面. 5．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【详解】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，平面平面 B．当为的中点时，直线与平面所成角为 C．不存在点，使得平面 D．当时，使得平面 【答案】ABC 【分析】根据证明平面，平面即可判断A，证明平面，即可得到为直线与平面所成角，即可判断B，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，表示出，利用向量法推出矛盾，即可判断C、D. 【详解】当为的中点时，因为为线段的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又，同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，故A正确； 因为是圆柱的母线，所以平面，所以平面，平面， 所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，所以，所以， 所以直线与平面所成角为，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取， 又点在直线上，设， 所以， 假设平面，所以， 则，显然方程组无解，故不存在点，使得平面，故C正确，D错误. 故选：ABC    2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）    A．若G为线段AE的中点，则平面 B．多面体的体积为 C． D．的最小值为44 【答案】ACD 【分析】利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B. 【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，， 所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，    . 对于A，G为线段AE的中点，，; ，设是平面的一个法向量， 则，，令，则，即. 因为，所以，又平面，所以平面，A正确. 对于C，，因为，所以，C正确. 对于D，设，， ， ， 所以当时，取到最小值44，D正确. 对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面， 由可得， 所以四棱锥和四棱锥的高均为. 其体积， 所以多面体的体积为，B不正确. 故选：ACD 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）    A． B． C． D．为平面的一个法向量 【答案】BC 【分析】以点为坐标原点，、、 所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、 、、、. 对于A选项，，，则，故A错误； 对于B选项，，，则，故B正确； 对于C选项，，故，故C正确； 对于D选项，，故不是平面的一个法向量，故D错误. 故选：BC. 4．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D. 【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 因为，所以与不垂直．故A错误． ，， 设平面的一个法向量为， 则由得所以 不妨取，则，所以． 设平面的一个法向量为， ，， 则由得所以 不妨取，则，所以． 故不存在实数λ使得． 故平面与平面不平行，故B错误． 在长方体中，⊥平面， 故是三棱锥的高，所以 ．故C正确． 三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的半径． 所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确． 故选：CD． 5．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 6．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 7．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$