第9课 概率的简单应用-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第9课 概率的简单应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.体验概率计算在生产、生活和科学研究中的广泛应用. 2.能用初步的概率知识解决如中奖预测、人寿保险等方面的问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 用概率判断游戏的公平性 游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案． 知识点02 概率与统计的综合应用 解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率． ( 能力拓展 )考点01 用概率判断游戏的公平性 【典例1】有一张北京儿艺原创儿童剧《长安在哪里》的门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从牌面为1，2，3，4，4，5，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． （1）求小明抽到4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由．若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 【即学即练1】如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），游戏规定：转动一次转盘，转盘停止后，若指针指到红色，则小明胜；若指针指到绿色，则小白胜，请问游戏是否公平？为什么？ 考点02 概率与统计的综合应用 【典例2】自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三人成绩的方差分别为． 利用以上数据完成下列问题： （1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【即学即练2】学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）C类的人数是 　　；D类的人数是 　　；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 　　； （2）学校准备从调查的A类（1名女生、2名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（　　） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 2．某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 3．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中墨和砚的概率是（　　） A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球、1个绿球，除颜色不同外，其它没有任何差异．小红将小球摇匀，从中随机摸出2个小球，恰好是1个红球和1个绿球的概率是（　　） A． B． C． D． 5．通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞试液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 6．为进一步抓实抓牢校园消防安全工作，我校决定开展消防知识问答活动，并选择一位分数最高的同学作为小小讲解员．分数并列第一的小红、小年准备以游戏方式决定胜负．现用4张形状、大小、质地相同的卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，卡片上的数字分别是﹣1、1、5、7，小红先抽一张卡片后不放回，小年后抽． （1）若小红恰好抽到数字为5的卡片，直接写出小年抽出的卡片上的数字比5大的概率 　　； （2）若小红抽到的卡片上的数字比小年的大，则小红胜：反之，则小红负，你认为这个游戏是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 7．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是 　 　，摸出黑球是 　 　（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是 　 　色． （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则n＝　 　． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 8．小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． （1）小明转出数字2的概率是 　　； （2）利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 9．在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．已知甲顾客购物150元． （1）他得到50元的购物券的概率是多少？ （2）他获得购物券的概率是多少？ （3）请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得顾客获得购物券的概率是，并简要说明游戏规则． 10．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取七八九年级200名学生调查每周用于阅读的时间： 【设计方案】 方案 调查方式 方案① 在指定学校中随机抽取200名学生进行调查分析 方案② 在全区七八九年级中随机抽取200名学生进行调查分析 方案③ 在八年级男生中随机抽取200名学生进行调查分析 【数据分析】将抽取的200名学生每周用于课外阅读的时间x（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：A（30＜x≤60），B（60＜x≤90），C（90＜x≤120），D（120＜x≤150），并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）三个方案中具有代表性的方案是 　　（填“①”或“②”或“③”）； （2）请补全条形统计图； （3）在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名同学中，随机抽取2名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 题组B 能力提升练 11．【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因BB，bB，Bb均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（　　） A． B． C． D． 12．三名同学参加体操比赛，原定出场顺序是：A第一个出场，B第二个出场，C第三个出场．为了公平比赛，现采用抽签方式重新确定三名同学的出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的概率为（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件R1和R2组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 　　； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 　　（选填“方案1”或“方案2”）． 14．近年来，我国“新三样”出口非常亮眼，小明在不知道“新三样”是什么的情况下，在“服装、电动汽车、锂电池、光伏电池”这四样中（含有“新三样”），一次猜三样，恰好是“新三样”的概率为 　　． 15．某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个． 已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是 　　，获得8元奖品的概率是 　　． （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球． 16．某超市为了吸引顾客，在周末举办了有奖酬宾活动：凡购物满200元者，可参与有奖酬宾活动，均可得到一次在不透明的纸箱里抽奖的机会．已知抽奖箱内有十个质地、大小相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． （1）从中任意摸出一个小球，摸出的小球标号大于4的概率是 　　； （2）该商场此次设置了两种奖项，一等奖是一张100元会员卡，二等奖是一副羽毛球拍，一等奖的获奖率低于二等奖．活动规则如下：参与抽奖的顾客从纸箱中任意摸出一个小球，摸出的小球标号是3的倍数和4的倍数可分别对应不同的奖项，请通过计算写出一等奖的获奖规则及获奖率． 17．为增强学生自我防护和安全意识，某校开展了安全知识竞赛活动，在全校随机抽取了20名学生分成A，B两组，每组各10人，进行安全知识现场竞赛．把A，B两组的成绩进行整理（满分100分，竞赛得分用a表示：90≤a≤100为安全意识非常强，80≤a＜90为安全意识强，a＜80为安全意识一般），依据收集整理的数据绘制出两幅统计图（如图所示），并进行了数据分析． 平均数 中位数 众数 A组 85 y 90 B组 x 80 z 根据以上信息回答下列问题： （1）补全A组学生竞赛成绩条形统计图； （2）填空：x＝　　，y＝　　，z＝　　； （3）若该校有1800名学生，请估计该校安全意识非常强的人数一共是多少？ （4）现在准备从A，B两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名同学恰好一人来自A组、另一人来自B组的概率． 题组C 培优拔尖练 18．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，则三辆车全部同向而行的概率是　　． 19．为贯彻教育部《新课程方案》及相关文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．由各班班长随机抽取两张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、西红柿、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，不放回，再抽取一张，则他恰好抽中都是蔬菜类卡片的概率是（　　） A． B． C． D． 20．墨菲定律是一种心理学效应，1949年由美国的一名工程师爱德华•墨菲（Edward A．Muphy）提出的．大意是：凡事只要有可能发生，就一定会发生．用数学的概率知识来解释：假设某事件在一次实验（活动）中发生的概率为p（0＜p＜1），则在n次实验（活动）中至少有一次发生的概率为P＝1﹣（1﹣p）n．由此可见，当实验次数n趋向于无穷时，P会越来越趋于1，即成为必然事件．口袋里有1个红球，2个白球，除颜色外其余都相同．随机摸一次球，摸到红球的概率是 　　；如果摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸到的球至少有一次是红色的概率是 　　． 21．为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险会避险”的交通安全主题宣传教育活动．为检验学习效果，组织学生进行相关知识竞赛，从A，B两校各随机抽取30名学生的成绩（满分100分），对数据（成绩）进行了整理和分析． 数据收集：A校成绩在80≤x＜90这一组的数据是：81，82，83，84，84，85，85，85，85，86，87，89． 数据整理：A、B两校学生成绩的频数分布统计表． 组别 学校 50以下 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 A 1 3 6 4 12 4 B 2 6 7 9 m 2 数据分析：A、B两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如表． 统计量 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 75.9 85 n 185.4 B 67.8 70 68 161.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝　　，n＝　　； （2）若将A校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在80≤x＜90这一组的扇形的圆心角是多少度？本次测试成绩更整齐的是哪个学校？请说明理由． （3）在此次测试中，某学生的成绩是76分，在他所属学校排在前15名，该学生是哪个学校的学生？请说明理由． （4）A，B两校要举行升级赛，从样本中两校成绩均在90≤x≤100范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人来自同一学校的概率． 22．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图表． 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 　　人，请补全条形统计图； （2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9课 概率的简单应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.体验概率计算在生产、生活和科学研究中的广泛应用. 2.能用初步的概率知识解决如中奖预测、人寿保险等方面的问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 用概率判断游戏的公平性 游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案． 知识点02 概率与统计的综合应用 解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率． ( 能力拓展 )考点01 用概率判断游戏的公平性 【典例1】有一张北京儿艺原创儿童剧《长安在哪里》的门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从牌面为1，2，3，4，4，5，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． （1）求小明抽到4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由．若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 【思路点拨】（1）抽到4的结果有2种，利用概率的求法解答即可； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【解析】解：（1）从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种．所以，P（抽到4）＝． 答：小明抽到4的概率为． （2）不公平．理由如下： 从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．所以，P（抽到比4大）＝． 所以小明去看演唱会的概率为，则小亮去看演唱会的概率为： 1﹣＝．因为＜，所以，游戏不公平． 修改游戏规则如下：（答案不唯一）从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；抽到比4小的牌，小亮去，抽到4重新抽，游戏对双方都公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【即学即练1】如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），游戏规定：转动一次转盘，转盘停止后，若指针指到红色，则小明胜；若指针指到绿色，则小白胜，请问游戏是否公平？为什么？ 【思路点拨】因为转动一次转盘，转盘停止后，指针指到的颜色共有8种等可能结果，其中指针指向红色的有2种结果，指针指向绿色的有3种结果，继而依据概率公式求出小明、小白获胜的概率，判断是否相等即可得出答案． 【解析】解：游戏不公平，理由如下： 因为转动一次转盘，转盘停止后，指针指到的颜色共有8种等可能结果，其中指针指向红色的有2种结果，指针指向绿色的有3种结果， 所以小明获胜的概率为＝，小白获胜的概率为， ∵≠， ∴游戏不公平． 【点睛】本题主要考查游戏的公平性与概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 考点02 概率与统计的综合应用 【典例2】自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三人成绩的方差分别为． 利用以上数据完成下列问题： （1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【思路点拨】（1）分别求出甲，乙，丙三名同学成绩的平均数，中位数，利用平均数，中位数和方差的意义即可作出选择； （2）利用树状图或列表法即可求出球回到甲手中的概率． 【解析】解：（1）选乙更合适． 理由：甲成绩的平均数为：（2×5+4×6+3×7+8）÷10＝6.3（分），中位数为：6分， 乙成绩的平均数为：（2×6+6×7+2×8）÷10＝7（分），中位数为：7分， 丙成绩的平均数为：（5+6+5×7+3×8）÷10＝7（分），中位数为：7分， 从平均数和中位数看：乙和丙成绩较优秀， ∵． ∴乙成绩波动较小， ∴选乙更合适． （2）画树状图如下： 一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有2种可能， ∴第二轮结束时球到甲手中的概率为＝． 【点睛】本题考查条形统计图，折线统计图，平均数，中位数，方差，用列表法或树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取数据，掌握用列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 【即学即练2】学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）C类的人数是 　5　；D类的人数是 　2　；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 　36°　； （2）学校准备从调查的A类（1名女生、2名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 【思路点拨】（1）先求出调查的总人数，再根据总人数乘以C类所占的比例即可得出C类的人数；从而即可得出D类的人数，用360°乘以D类所占的比例即可得出D类所占的圆心角的度数； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解析】解：（1）由题意得可得： 调查总人数为：10÷50%＝20（人）， ∴C类的人数是20×25%＝5（人）， D类的人数是20﹣3﹣10﹣5＝2（人）， D类所占的圆心角的度数是； （2）列表得： 女 男 男 男 男女 男男 男男 女 女女 女男 女男 共有6种等可能出现的结果，其中所选的两位同学恰好是一男一女的情况有3种， ∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键要明确：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图与扇形统计图信息关联． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（　　） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 【思路点拨】画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，再由概率公式求出甲胜的概率＝乙胜的概率，即可得出结论． 【解析】解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种， ∴甲胜的概率＝＝，乙胜的概率＝＝， ∴甲胜的概率＝乙胜的概率， ∴这个游戏公平， 故选：A． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 【思路点拨】先分别求出甲、乙获胜的概率，然后根据游戏双方公平，即概率相等列出方程解答即可． 【解析】解：由题意得：甲获胜的概率为；乙获胜的概率为； 则：， 解得：x＝4， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，分别确定甲、乙获胜的概率是解答本题的关键． 3．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中墨和砚的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽中墨和砚的结果数，然后根据概率公式计算． 【解析】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸的结果数为2种， 所以恰好抽中墨和砚的概率＝＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 4．在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球、1个绿球，除颜色不同外，其它没有任何差异．小红将小球摇匀，从中随机摸出2个小球，恰好是1个红球和1个绿球的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是1个红球和1个绿球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中恰好是1个红球和1个绿球的结果有4种， ∴恰好是1个红球和1个绿球的概率为＝． 故选：D． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞试液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，先画出相应的树状图，然后即可求得两瓶溶液恰好都变红色的概率． 【解析】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中两瓶溶液恰好都变红色的有2种可能性， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为＝， 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 6．为进一步抓实抓牢校园消防安全工作，我校决定开展消防知识问答活动，并选择一位分数最高的同学作为小小讲解员．分数并列第一的小红、小年准备以游戏方式决定胜负．现用4张形状、大小、质地相同的卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，卡片上的数字分别是﹣1、1、5、7，小红先抽一张卡片后不放回，小年后抽． （1）若小红恰好抽到数字为5的卡片，直接写出小年抽出的卡片上的数字比5大的概率 　　； （2）若小红抽到的卡片上的数字比小年的大，则小红胜：反之，则小红负，你认为这个游戏是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 【思路点拨】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列出他们所抽卡片的所有等可能结果，再根据概率公式分别计算小红胜负的概率即可作出判断． 【解析】解：（1）小红抽到的卡片数字为5，剩余的卡片为﹣1，1，7这3张，其中卡片上的数字比5大的有1张， 所以年抽出的卡片上的数字比5大的概率为； 故答案为：； （2）公平，理由如下： 小红 小年 ﹣1 1 5 7 ﹣1 （1，﹣1） （5，﹣1） （7，﹣1） 1 （﹣1，1） （5，1） （7，1） 5 （﹣1，5） （1，5） （7，5） 7 （﹣1，7） （1，7） （5，7） 由图表可知共有12种等可能结果，其中小红比小年大的有6种，小红比小年小的有6种， ∴小红获胜的概率为＝，小年获胜的概率为＝， 所以这个游戏是公平的． 【点睛】此题关键是考查了游戏公平性问题，当概率相等时公平，否则不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是 　随机事件　，摸出黑球是 　不可能事件　（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是 　白　色． （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则n＝　4　． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【思路点拨】（1）根据随机事件和不可能事件的定义判断即可； （2）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色； （3）利用概率公式直接计算即可； （4）根据概率判断即可． 【解析】解：（1）小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件； 故答案为：随机事件，不可能事件； （2）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色； 故答案为：白； （3）根据题意，得＝， 解得n＝4， 经检验n＝4是方程的解， 所以n＝4； 故答案为：4； （4）公平， 因为P（小颖获胜）＝＝， P（小英获胜）＝＝， ∵＝， ∴公平． 【点睛】本题考查了概率公式和随机事件，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8．小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． （1）小明转出数字2的概率是 　　； （2）利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 【思路点拨】（1）列出所有情况，然后求出该情况的概率； （2）列举出所有情况，求出相应的概率，然后判断即可． 【解析】解：（1）小明转出数字2的概率是． 故答案为：； （2）画出树状图： 由树状图可知：有9种等可能结果，其中和为偶数的结果有5种，和为奇数的结果有4种， ∴小明胜的概率为；小军胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、游戏的公平性，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 9．在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．已知甲顾客购物150元． （1）他得到50元的购物券的概率是多少？ （2）他获得购物券的概率是多少？ （3）请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得顾客获得购物券的概率是，并简要说明游戏规则． 【思路点拨】（1）直接利用概率公式求出答案； （2）直接利用概率公式求出答案； （3）根据顾客获得购物券的概率是和概率公式设计游戏规则即可． 【解析】解：（1）∵甲顾客购物150元， ∴可以获得一次转动转盘的机会， ∵黄色区域一共有2个， ∴他得到50元的购物券的概率是＝； （2）∵红色、黄色、绿色区域一共有7个， ∴他获得购物券的概率是； （3）如图所示： 游戏规则：把转盘被等分成8个扇形，其中红色、黄色、绿色区域各一个，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券，则顾客获得购物券的概率是． 【点睛】此题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 10．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取七八九年级200名学生调查每周用于阅读的时间： 【设计方案】 方案 调查方式 方案① 在指定学校中随机抽取200名学生进行调查分析 方案② 在全区七八九年级中随机抽取200名学生进行调查分析 方案③ 在八年级男生中随机抽取200名学生进行调查分析 【数据分析】将抽取的200名学生每周用于课外阅读的时间x（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：A（30＜x≤60），B（60＜x≤90），C（90＜x≤120），D（120＜x≤150），并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）三个方案中具有代表性的方案是 　②　（填“①”或“②”或“③”）； （2）请补全条形统计图； （3）在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名同学中，随机抽取2名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【思路点拨】（1）根据题意可直接得出答案． （2）分别求出A，C等级的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）由题意得，三个方案中具有代表性的方案是②． 故答案为：②． （2）A等级的人数为200×10%＝20（人）， C等级的人数为200﹣20﹣50﹣30＝100（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有4种， ∴恰好选中1名男生和1名女生的概率为＝． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 题组B 能力提升练 11．【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因BB，bB，Bb均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】画树状图，共有4种等可能的结果，其中他们的孩子是单眼皮的结果有1种，即bb，再由概率公式求解即可． 【解析】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中他们的孩子是单眼皮的结果有1种，即bb， ∴他们的孩子是单眼皮的概率是， 故选：B． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 12．三名同学参加体操比赛，原定出场顺序是：A第一个出场，B第二个出场，C第三个出场．为了公平比赛，现采用抽签方式重新确定三名同学的出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的只有1种结果， 所以抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件R1和R2组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 　　； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 　方案2　（选填“方案1”或“方案2”）． 【思路点拨】（1）直接列出所有等可能的结果以及电路为通路的结果，再利用概率公式可得答案． （2）求出方案2中电路为通路的概率，作比较即可． 【解析】解：将电子元件R1正常工作记为M，不正常工作记为M'，将电子元件R2正常工作记为N，不正常工作记为N'． （1）方案1中，从A到B的电路的情况列表如下： N N' M MN MN' M' M'N M'N' 共有4种等可能的结果，其中电路为通路的结果有：MN，共1种， ∴方案1中电路为通路的概率为． 故答案为：． （2）方案2中，从A到B的电路的情况列表如下： N N' M MN MN' M' M'N M'N' 共有4种等可能的结果，其中电路为通路的结果有：MN，MN'，M'N，共3种， ∴方案2中电路为通路的概率为． ∵＜， ∴连接方案更稳定可靠的电路是方案2． 故答案为：方案2． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14．近年来，我国“新三样”出口非常亮眼，小明在不知道“新三样”是什么的情况下，在“服装、电动汽车、锂电池、光伏电池”这四样中（含有“新三样”），一次猜三样，恰好是“新三样”的概率为 　　． 【思路点拨】画树状图，共有24种等可能的结果，其中恰好是“新三样”的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解析】解：把服装、电动汽车、锂电池、光伏电池分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有24种等可能的结果，其中恰好是“新三样”的结果有6种， ∴恰好是“新三样”的概率为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个． 已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是 　　，获得8元奖品的概率是 　　． （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球． 【思路点拨】（1）求出标有“8元”“2元”的小球个数，即可求出“获奖”的概率，获得“8元的概率； （2）根据“8元”的概率为，列方程求解． 【解析】解：（1）设标有“8元”的小球有x个，则标有“2元”的小球有（2x﹣1）个， 由题意得， x+2x﹣1+4+5＝50， 解得x＝14， 2x﹣1＝27， 即标有“8元”的小球有14个，则标有“2元”的小球有27个， 所以“获奖”的概率为＝， 共有50个小球，标有“8元”的有14个， 因此获得“8元”的概率为＝， 故答案为：，； （2）设需要y个标有“2元”的小球改为“8元”，由题意得， ＝， 解得y＝6， 因为原来有27个标有“2元”的小球， 所以需要将6个标有“2元”的小球改为标为“8元”的小球． 【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是解决问题的关键． 16．某超市为了吸引顾客，在周末举办了有奖酬宾活动：凡购物满200元者，可参与有奖酬宾活动，均可得到一次在不透明的纸箱里抽奖的机会．已知抽奖箱内有十个质地、大小相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． （1）从中任意摸出一个小球，摸出的小球标号大于4的概率是 　　； （2）该商场此次设置了两种奖项，一等奖是一张100元会员卡，二等奖是一副羽毛球拍，一等奖的获奖率低于二等奖．活动规则如下：参与抽奖的顾客从纸箱中任意摸出一个小球，摸出的小球标号是3的倍数和4的倍数可分别对应不同的奖项，请通过计算写出一等奖的获奖规则及获奖率． 【思路点拨】（1）由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸出的小球标号大于4的结果有6种，利用概率公式可得答案． （2）由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸出的小球标号是3的倍数的结果有3种，摸出的小球标号是4的倍数的结果有2种，结合概率公式可分别求得摸出的小球标号是3的倍数和4的倍数的概率，结合题意可得可得答案． 【解析】解：（1）由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸出的小球标号大于4的结果有6种， ∴从中任意摸出一个小球，摸出的小球标号大于4的概率是＝． 故答案为：． （2）由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸出的小球标号是3的倍数的结果有：3，6，9，共3种， 摸出的小球标号是4的倍数的结果有：4，8，共2种， ∴摸出的小球标号是3的倍数的概率为， 摸出的小球标号是4的倍数的概率为＝． ∵一等奖的获奖率低于二等奖，而， ∴一等奖的获奖率为， 一等奖的获奖规则为：参与抽奖的顾客从纸箱中任意摸出一个小球，若摸出的小球标号是4的倍数，则获得一等奖． 【点睛】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 17．为增强学生自我防护和安全意识，某校开展了安全知识竞赛活动，在全校随机抽取了20名学生分成A，B两组，每组各10人，进行安全知识现场竞赛．把A，B两组的成绩进行整理（满分100分，竞赛得分用a表示：90≤a≤100为安全意识非常强，80≤a＜90为安全意识强，a＜80为安全意识一般），依据收集整理的数据绘制出两幅统计图（如图所示），并进行了数据分析． 平均数 中位数 众数 A组 85 y 90 B组 x 80 z 根据以上信息回答下列问题： （1）补全A组学生竞赛成绩条形统计图； （2）填空：x＝　83　，y＝　90　，z＝　80　； （3）若该校有1800名学生，请估计该校安全意识非常强的人数一共是多少？ （4）现在准备从A，B两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名同学恰好一人来自A组、另一人来自B组的概率． 【思路点拨】（1）求出满分人数即可补全图形； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中安全意识非常强的人数所占比例即可； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：（1）100分人数为10﹣（3+1+4）＝2（人）， 补全图形如下： （2）A组成绩的第5、6个数据分别为90、90， 所以其中位数y＝＝90（分）； B组成绩的平均数为×（70+80×6+90×2+100）＝83（分），众数z＝80分， 故答案为：83、90、80； （3）1800×＝810（人）， 答：估计该校安全意识非常强的人数一共是810人； （4）甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下： 　 　A A B A 　 AA BA A AA 　 BA B AB AB 　 共有6种可能出现的结果，其中所抽取的两名同学恰好一人来自A组、另一人来自B组的有4种结果， 所以所抽取的两名同学恰好一人来自A组、另一人来自B组的概率为＝． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 题组C 培优拔尖练 18．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，则三辆车全部同向而行的概率是　　． 【思路点拨】首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】解：分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转； 根据题意，画出树形图： ∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴三辆车全部同向而行的概率是＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．为贯彻教育部《新课程方案》及相关文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．由各班班长随机抽取两张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、西红柿、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，不放回，再抽取一张，则他恰好抽中都是蔬菜类卡片的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解析】解：根据题意列表如下： 白菜 辣椒 西红柿 茄子 草莓 西瓜 白菜 （辣椒，白菜） （西红柿，白菜） （茄子，白菜） （草莓，白菜） （西瓜，白菜） 辣椒 （白菜，辣椒） （西红柿，辣椒） （茄子，辣椒） （草莓，辣椒） （西瓜，辣椒） 西红柿 （白菜，西红柿） （辣椒，西红柿） （茄子，西红柿） （草莓，西红柿） （西瓜，西红柿） 茄子 （白菜，茄子） （辣椒，茄子） （西红柿，茄子） （草莓，茄子） （西瓜，茄子） 草莓 （白菜，草莓） （辣椒，草莓） （西红柿，草莓） （茄子，草莓） （西瓜，草莓） 西瓜 （白菜，西瓜） （辣椒，西瓜） （西红柿，西瓜） （茄子，西瓜） （草莓，西瓜） 共有30种等可能的情况数，其中恰好抽中都是蔬菜类卡片的有12种， 则他恰好抽中都是蔬菜类卡片的概率是＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．墨菲定律是一种心理学效应，1949年由美国的一名工程师爱德华•墨菲（Edward A．Muphy）提出的．大意是：凡事只要有可能发生，就一定会发生．用数学的概率知识来解释：假设某事件在一次实验（活动）中发生的概率为p（0＜p＜1），则在n次实验（活动）中至少有一次发生的概率为P＝1﹣（1﹣p）n．由此可见，当实验次数n趋向于无穷时，P会越来越趋于1，即成为必然事件．口袋里有1个红球，2个白球，除颜色外其余都相同．随机摸一次球，摸到红球的概率是 　　；如果摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸到的球至少有一次是红色的概率是 　　． 【思路点拨】先根据概率公式直接求出随机摸一次球，摸到红球的概率；用列表法或树状图法列举出摸出一个球后放回，再摸出一个球的所有可能结果，再从中找出两次摸到的球至少有一次是红色的可能结果，用概率公式计算即可． 【解析】解：∵口袋里有1个红球，2个白球，除颜色外其余都相同．随机摸一次球， ∴P（摸到红球）＝， 用画树状图列举出摸出一个球后放回，再摸出一个球的所有等可能结果如下： 一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球至少有一次是红色有5种可能的结果， ∴P（两次摸到的球至少有一次是红色）＝． 故答案为：，． 【点睛】本题考查概率的意义和概率公式，以及列表法，树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 21．为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险会避险”的交通安全主题宣传教育活动．为检验学习效果，组织学生进行相关知识竞赛，从A，B两校各随机抽取30名学生的成绩（满分100分），对数据（成绩）进行了整理和分析． 数据收集：A校成绩在80≤x＜90这一组的数据是：81，82，83，84，84，85，85，85，85，86，87，89． 数据整理：A、B两校学生成绩的频数分布统计表． 组别 学校 50以下 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 A 1 3 6 4 12 4 B 2 6 7 9 m 2 数据分析：A、B两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如表． 统计量 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 75.9 85 n 185.4 B 67.8 70 68 161.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝　4　，n＝　81.5　； （2）若将A校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在80≤x＜90这一组的扇形的圆心角是多少度？本次测试成绩更整齐的是哪个学校？请说明理由． （3）在此次测试中，某学生的成绩是76分，在他所属学校排在前15名，该学生是哪个学校的学生？请说明理由． （4）A，B两校要举行升级赛，从样本中两校成绩均在90≤x≤100范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人来自同一学校的概率． 【思路点拨】（1）用30分别减去频数分布统计表中B校80分以下的人数和90分及以上的人数，可得m的值；根据中位数的定义可得n的值． （2）用360°乘以A校成绩在80≤x＜90的人数所占的百分比，即可得出答案；根据方差的意义可得答案． （3）由题意知，B校成绩的中位数为68，则76分的成绩在B校排在前15名，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及所选2人来自同一学校的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）由题意得，m＝30﹣2﹣6﹣7﹣9﹣2＝4． 将A校随机抽取的30名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第15和16名的成绩为81，82， ∴n＝（81+82）÷2＝81.5． 故答案为：4；81.5． （2）将A校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在80≤x＜90这一组的扇形的圆心角是360°×＝144°． 本次测试成绩更整齐的是B校． 理由：∵A校成绩的方差为185.4，B校成绩的方差为161.1，185.4＞161.1， ∴本次测试成绩更整齐的是B校． （3）该学生是B校的学生． 理由：∵B校成绩的中位数为68，76＞68， ∴该学生是B校的学生． （4）将样本中A校成绩在90≤x≤100范围内的4名学生分别记为a，b，c，d，将样本中B校成绩在90≤x≤100范围内的2名学生分别记为e，f， 列表如下： a b c d e f a （a，b） （a，c） （a，d） （a，e） （a，f） b （b，a） （b，c） （b，d） （b，e） （b，f） c （c，a） （c，b） （c，d） （c，e） （c，f） d （d，a） （d，b） （d，c） （d，e） （d，f） e （e，a） （e，b） （e，c） （e，d） （e，f） f （f，a） （f，b） （f，c） （f，d） （f，e） 共有30种等可能的结果，其中所选2人来自同一学校的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c），（e，f），（f，e），共14种， ∴所选2人来自同一学校的概率为＝． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、中位数、方差，能够读懂统计表，掌握列表法与树状图法、中位数的定义、方差的意义是解答本题的关键． 22．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图表． 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 　400　人，请补全条形统计图； （2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． 【思路点拨】（1）由A等级人数及其所占百分比可得总人数，根据四个等级人数之和等于总人数求出D等级人数，从而补全图形； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出的两个球上的数字和为奇数与偶数的结果数，从而求出小明与小刚获胜的概率，即可得出答案． 【解析】解：（1）本次参与调查的学生人数为20÷5%＝400（人），则D等级人数为400﹣（20+60+180）＝140（人）， 补全图形如下： 故答案为：400； （2）不公平， 列表如下： 1 2 3 4 1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，之和为偶数的情况有4种， 则P（小明获胜）＝＝，P（小刚获胜）＝＝， ∵P（小明获胜）＞P（小刚获胜）， ∴不公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$