2.4 分式方程（6大题型提分练）数学鲁教版五四制八年级上册

2.4 分式方程 知识点一 分式方程的定义 ◆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 知识点二 分式方程的解法 ◆解分式方程的基本思想与步骤： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 【注】解分式方程一定要验根． 知识点三 分式方程的增根与无解 ◆分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． ◆分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． ◆分式方程无解与增根的区别： 分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解． 知识点四 分式方程的应用 ◆分式方程应用解题步骤： ①读题找到等量关系． ②根据等量关系列方程． ③解方程、验根． ④答 题型一 分式方程的定义 解题技巧提炼 分母中含有未知数的等式． 1. （2022秋•泰山区校级月考）下列方程中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意； 、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. （2022秋•岱岳区校级月考）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程是　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④ 【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【解答】解：方程①是分式方程，符合题意； 方程②分母中含有未知数，符合题意； 方程③整式方程，不符合题意； 方程④是整式方程，不符合题意； 故选：． 3. （2022秋•泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解答】解：、方程分母中含未知数，故是分式方程； 、方程分母中含未知数，故是分式方程； 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； 、方程分母中含未知数，故是分式方程； 故选：． 4. 下列方程中不是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，判断即可． 【解答】解：、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意； 、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意； 、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意； 、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意． 故选：． 5. 已知方程：①；②；③；④． 这四个方程中，分式方程的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用分式方程的定义进行判定即可． 【解答】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程， ①②③是分式方程，④是整式方程． 故选：． 题型二 分式方程的整数解问题 解题技巧提炼 根据分式方程的解求字母的取值范围，注意验跟． 1. （2024春•胶州市校级月考）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是　　 A．且 B． C． D．且 【分析】先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【解答】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：． 2. （2024•东港区校级三模）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为　　 A． B． C． D． 【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的的值，最后相加求和． 【解答】解：两边同时乘以，得 ， 解得， 是整数，且， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， ， 即满足条件的所有整数的和为， 故选：． 3. （2024•临邑县模拟）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【分析】先求出分式方程化为整式方程的解，再根据分式方程解的情况列不等式组求解． 【解答】解：方程两边同乘以得：， 解得：， 由题意得：，且， 解得：且， 故选：． 4. （2024•新泰市一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求的取值范围． 【解答】解：， ， ， 方程的解为非负数， ， ， ， ， ， 的取值范围是且， 故选：． 5. （2023秋•蓬莱区期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【分析】先用的代数式表示该方程的解，再根据解为非负数列出不等式，还要排除解为增根的情况，即可求解． 【解答】解：去分母，得：， 移项、合并，得：， 分式方程的解为非负数， 且， 解得：且， 故选：． 6. （2023秋•陵城区期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D．且 【分析】先根据解分式方程的一般步骤解分式方程，然后根据分式方程的解为非负数和分式方程中的分母不为0，列出关于的不等式，进行解答即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ， ， ， 分式的分母， ，即， 解得：， 且， 故选：． 题型三 分式方程的无解问题 解题技巧提炼 与分式方程同解的整式方程无解，方程出现增根． 1. （2024•滕州市二模）若分式方程无解，则的值是　　 A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【分析】先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出再代入整式方程，求出；②整式方程无解，列出关于的方程，求出即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 分式方程无解， ， ， ， 解得：， 分式方程无解， ， 解得：， 综上可知：或1， 故选：． 2. （2023秋•沂源县期末）若关于的分式方程无解，则的值为　　 A．或 B．或 C．或或 D．或 【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出的值． 【解答】解：当时，或， 原分式方程可化为：， 去分母，得， 整理得， 分式方程无解， ， ， 把或，分别代入， 得或， 综上所述：的值为或或， 故选：． 3. （2023秋•滨州期末）若关于的分式方程无解，则的值为　　 A．0 B．1 C．1或5 D．5 【分析】解方程得，由方程无解，则，即可求的值． 【解答】解：， 方程两边同时乘以得， ， 去括号得，， 解得， 原分式方程无解， ， ， 故选：． 4. （2024•邹城市二模）若关于的分式方程无解，则　　 A． B．0 C．1 D． 【分析】解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，，求解即可获得答案． 【解答】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故选：． 5. （2024春•临淄区校级月考）若关于的分式方程无解，求的值． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值，由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【解答】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到 即， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当，整式方程无解， 解得， 故的值为或或． 题型四 分式方程的增根问题 解题技巧提炼 分式方程求的解使分母为零． 1. （2024•冠县二模）关于的方程有增根，则的值是　　 A．0 B．2或3 C．2 D．3 【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 解得：， 方程有增根， ， ， 把代入中可得： ， ， 故选：． 2. （2024春•历城区校级月考）若关于的分式方程有增根，则的值为　　 A． B．5 C． D．1 【分析】解分式方程得：，根据方程由增根，得到，即可求解， 【解答】解：， 去分母，得：，即：， 有增根， ，即：，解得：， 故选：． 3. （2024•任城区二模）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【解答】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：． 4. （2024•东昌府区模拟）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出的值． 【解答】解：分式方程有增根， ， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：． 5. （2024春•市中区校级期末）关于的分式方程有增根，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】先解分式方程为，再由方程的增根为，可得，求出的值即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 方程有增根， ， ， ， 故选：． 6. （2024春•槐荫区月考）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值． 【解答】解：方程两边都乘， 得 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，， 故答案为：． 题型五 解分式方程 解题技巧提炼 注意验根． 1. （2024•济南一模）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 2. （2023秋•泗水县期末）嘉淇解分式方程的过程如下： 解：去分母，得① 去括号，得② 移项、合并同类项，得③ 因为时，各分母均不为0， 所以，原分式方程的解是．④ 以上步骤中，最开始出错的一步是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】去括号时，如果括号前面是减号，要把括号里的每一项都变号，则可判定最开始出错的一步是②． 【解答】解：解分式方程的过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为时，各分母均不为0， 所以，原分式方程的解是． 所以最开始出错的一步是②． 故选：． 3. （2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，，按照这个规定，方程，的解为　　 A．或2 B．2 C． D．无解 【分析】分两种情况，即和，根据新定义列方程求解，检验即可． 【解答】解：①当时，有， ，， 即， 解得（不合题意舍去）； ②当时，有， ，， 即， 解得（不合题意舍去）； 综上所述，方程，无解， 故选：． 4. （2023秋•周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论． 【解答】解：设，则， 分式方程可变为：， 去分母得：， 整理得：， 故选：． 5. （2024•兰山区二模）分式方程的解为 　　． 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边都乘，得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 6. （2024春•槐荫区期中）解方程：． 【分析】本题的最简公分母是．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验． 【解答】解：方程两边都乘，得 ， 解得． 经检验为增根，原方程无解． 7. （2024春•天桥区期中）解方程． 【分析】根据解分式方程的步骤先去掉分母，再根据解整数方程的步骤求出的值，然后检验即可得出答案． 【解答】解： 方程两边乘，得 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 8. （2023秋•兖州区期末）解方程：． 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 9. （2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）利用上述方法解方程：． （3）模仿上述换元法解方程组：． 【分析】（1）根据题意作答即可； （2）根据换元法设，则原方程化为：，然后解方程，并求出的值即可； （3）根据换元法设，，则原方程组可化为，然后解方程组，并求出，的值即可． 【解答】解：（1）由题意知，原方程可化为， 故答案为：； （2）设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． （3）设，，则原方程组可化为， 解得， ． 10. （2023春•临淄区期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 【方法引领】 用换元法解方程组：． 分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，． 原方程组可化为． 解得，即． 进而可求得原方程组的解． 【问题解决】用换元法解决下列问题： （1）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 　　；（直接写答案） （2）已知方程组，求，的值． 【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题． （2）根据题意，利用换元法解决此题． 【解答】解：（1）由题意知，，． ． 故答案为：． （2）设，，则原方程组可化简为 解得 ，． ，． 题型六 列分式方程 解题技巧提炼 一定要读题找等量关系． 1. （2024•泗水县三模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人． 依题意得：， 故选：． 2. （2024•曲阜市一模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【解答】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：． 3. （2024•河口区校级模拟）某工程甲单独做需天完成，如果乙单独做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，那么根据题意可列出方程　　 A． B． C． D． 【分析】根据甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，解方程即可得到结论． 【解答】解：某工程甲单独做需天完成，如果乙单独做要比甲多3天 为甲每天能完成的工作，为乙每天能完成的工作，即甲乙合作5天，为甲独做3天，化简为：． 故选：． 4. （2024•泗水县一模）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可知：步行的时间牛车用的时间，然后即可列出相应的方程． 【解答】解：学生步行的速度为每小时里，牛车的速度是步行的1.5倍， 牛车的速度是里， 由题意可得：， 故选：． 5. （2024•东昌府区一模）2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是 ，则下列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据高铁及小轿车平均速度间的关系，可得出高铁的平均速度是 ，利用实际路程速度，结合乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），即可列出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度是 ， 高铁的平均速度是 ． 根据题意得：． 故选：． 题型七 分式方程的应用 解题技巧提炼 分清是工程问题还是销售问题还是其他类型的问题． 1. （2024•兰山区校级模拟）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率工作时间工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需　　小时． A．20 B．21 C． D． 【分析】设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时；根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【解答】解：设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， 一轮的工作量为：， 轮后剩余的工作量为：， 还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：， 丙还需要工作（小时），（小时）． 故共需小时． 故选：． 2. （2024•东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　　 A．0.5米秒 B．1米秒 C．1.5米秒 D．2米秒 【分析】设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒，利用时间路程速度，结合小敏共用22秒通过路段，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小敏通过路段时的速度是1米秒． 故选：． 3. （2023秋•兰山区期末）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了如表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速　 　． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 48 88 【分析】根据路程速度时间，结合两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即区间设计最高时速， 故答案为：320． 4. （2024•宁阳县二模）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【分析】（1）设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为元，求出与的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少． 5. （2024春•邹城市校级月考）在“情系灾区”的捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息： 信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；信息二：乙班平均每人捐款数是甲班平均每人捐款数的；信息三：甲班的人数比乙班的人数多2人．根据以上信息，请你求出甲、乙两班的人数． 【分析】设甲班有人，则乙班有人，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【解答】解：设甲班有人，则乙班有人， 根据题意，可得， 解得人， 经检验，是该分式方程的解， 所以人． 答：甲班有60人，则乙班有58人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 分式方程 知识点一 分式方程的定义 ◆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 知识点二 分式方程的解法 ◆解分式方程的基本思想与步骤： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 【注】解分式方程一定要验根． 知识点三 分式方程的增根与无解 ◆分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． ◆分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． ◆分式方程无解与增根的区别： 分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解． 知识点四 分式方程的应用 ◆分式方程应用解题步骤： ①读题找到等量关系． ②根据等量关系列方程． ③解方程、验根． ④答 题型一 分式方程的定义 解题技巧提炼 分母中含有未知数的等式． 1. （2022秋•泰山区校级月考）下列方程中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•岱岳区校级月考）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程是　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④ 3. （2022秋•泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是　　 A． B． C． D． 4. 下列方程中不是分式方程的是　　 A． B． C． D． 5. 已知方程：①；②；③；④． 这四个方程中，分式方程的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 分式方程的整数解问题 解题技巧提炼 根据分式方程的解求字母的取值范围，注意验跟． 1. （2024春•胶州市校级月考）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是　　 A．且 B． C． D．且 2. （2024•东港区校级三模）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为　　 A． B． C． D． 3. （2024•临邑县模拟）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 4. （2024•新泰市一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为　　 A．且 B．且 C．且 D．且 5. （2023秋•蓬莱区期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 6. （2023秋•陵城区期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D．且 题型三 分式方程的无解问题 解题技巧提炼 与分式方程同解的整式方程无解，方程出现增根． 1. （2024•滕州市二模）若分式方程无解，则的值是　　 A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 2. （2023秋•沂源县期末）若关于的分式方程无解，则的值为　　 A．或 B．或 C．或或 D．或 3. （2023秋•滨州期末）若关于的分式方程无解，则的值为　　 A．0 B．1 C．1或5 D．5 4. （2024•邹城市二模）若关于的分式方程无解，则　　 A． B．0 C．1 D． 5. （2024春•临淄区校级月考）若关于的分式方程无解，求的值． 题型四 分式方程的增根问题 解题技巧提炼 分式方程求的解使分母为零． 1. （2024•冠县二模）关于的方程有增根，则的值是　　 A．0 B．2或3 C．2 D．3 2. （2024春•历城区校级月考）若关于的分式方程有增根，则的值为　　 A． B．5 C． D．1 3. （2024•任城区二模）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4. （2024•东昌府区模拟）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．1 B． C．2 D． 5. （2024春•市中区校级期末）关于的分式方程有增根，则的值为　　 A． B． C． D． 6. （2024春•槐荫区月考）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 题型五 解分式方程 解题技巧提炼 注意验根． 1. （2024•济南一模）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•泗水县期末）嘉淇解分式方程的过程如下： 解：去分母，得① 去括号，得② 移项、合并同类项，得③ 因为时，各分母均不为0， 所以，原分式方程的解是．④ 以上步骤中，最开始出错的一步是　　 A．① B．② C．③ D．④ 3. （2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，，按照这个规定，方程，的解为　　 A．或2 B．2 C． D．无解 4. （2023秋•周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 5. （2024•兰山区二模）分式方程的解为 　　． 6. （2024春•槐荫区期中）解方程：． 7. （2024春•天桥区期中）解方程． 8. （2023秋•兖州区期末）解方程：． 9. （2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）利用上述方法解方程：． （3）模仿上述换元法解方程组：． 10. （2023春•临淄区期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 【方法引领】 用换元法解方程组：． 分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，． 原方程组可化为． 解得，即． 进而可求得原方程组的解． 【问题解决】用换元法解决下列问题： （1）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 　　；（直接写答案） （2）已知方程组，求，的值． 题型六 列分式方程 解题技巧提炼 一定要读题找等量关系． 1. （2024•泗水县三模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 2. （2024•曲阜市一模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 3. （2024•河口区校级模拟）某工程甲单独做需天完成，如果乙单独做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，那么根据题意可列出方程　　 A． B． C． D． 4. （2024•泗水县一模）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为　　 A． B． C． D． 5. （2024•东昌府区一模）2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是 ，则下列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 题型七 分式方程的应用 解题技巧提炼 分清是工程问题还是销售问题还是其他类型的问题． 1. （2024•兰山区校级模拟）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率工作时间工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需　　小时． A．20 B．21 C． D． 2. （2024•东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　　 A．0.5米秒 B．1米秒 C．1.5米秒 D．2米秒 3. （2023秋•兰山区期末）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了如表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速　 　． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 48 88 4. （2024•宁阳县二模）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 5. （2024春•邹城市校级月考）在“情系灾区”的捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息： 信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；信息二：乙班平均每人捐款数是甲班平均每人捐款数的；信息三：甲班的人数比乙班的人数多2人．根据以上信息，请你求出甲、乙两班的人数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$