第1章 集合与常用逻辑用语 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A．{x|0≤x<2}　　　 B． C．{x|3≤x<16} D． 解析　集合M＝{x|0≤x<16}，集合N＝，故M∩N＝，故选D. 答案　D 2．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2,3,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5} 解析　因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以∁UM＝{2,3,5}， 又N＝{2,5}，所以N∪∁UM＝{2,3,5}， 故选A. 答案　A 3．设x∈R，则“x＞1”是“|x|＞1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由|x|＞1，解得x＞1或x＜－1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，故选A. 答案　A 4．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有(　　) A．4个　　 B．5个　　　 C．6个　　 D．7个 解析　集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}， {1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 答案　D 5．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是(　　) A．∀x∈R,3x2－2x＋1>0 B．∃x∈R,3x2－2x＋1≤0 C．∃x∈R,3x2－2x＋1<0 D．∀x∈R,3x2－2x＋1<0 解析　根据全称命题与存在性命题的关系， 可得命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定为“∃x∈R,3x2－2x＋1≤0”，故选B. 答案　B 6．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3} C．{x|x≤2，或x>3} D．{x|－2≤x≤2} 解析　阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}，故选A. 答案　A 7．设集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜a－1}，满足AB，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 解析　如图： 有a－1≥1，所以a≥2. 答案　A 8．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0， 即(x＋y)2＝0， 所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各命题中为假命题的是(　　) A．∀x∈R，x≥0 B．如果x＜5，则x＜2 C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，x2＋1≠0 解析　A，C显然错误；对于B，若x＜5，则x＜2，不一定成立，如x＝4，满足x＜5，但不满足x＞2；D显然成立． 答案　ABC 10．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的a的值可能为(　　) A．2　　　 B．4　　　　 C．7　　　 D．9 解析　当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B； 当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅， 要使A⊆B，须有解得2≤a≤7. 综上可知，a≤7. 答案　ABC 11．已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅ 解析　已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，若x属于B，则x＝2a－3b＝3(2a－b)＋2(－2a)；2a－b，－2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集； 若x属于A，则x＝3a＋2b＝2(3a＋b)－3a；3a＋b，a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以A＝B，故选ABC. 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________. 解析　∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}， 则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}． 答案　{x|x≤1} 13．命题“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”是________(填“真”或“假”)命题，它的否定是____________．(本题第一空2分，第二空3分) 解析　∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0， ∴该命题是真命题， 它的否定是∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0. 答案　真　∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0 14．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 解析　由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得AB，即即m＞1. 答案　{m|m＞1} 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定． (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立； (2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0. 解析　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”， 因而是全称量词命题； ¬p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x， 即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题； ¬p：对任意一个x，都有x2＋2x＋5≤0， 即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 16．(15分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求： (1)A∩B；(2)(∁UA)∩(∁UB)；(3)∁U(A∪B)． 解析　(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}． (2)∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}． 在数轴上画出集合∁UA和∁UB， 可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}． (3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}． 所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}． 17．(15分)已知集合A＝，B＝{x|－3<x<1}． (1)若a＝－2，求A∪(∁RB)； (2)若A∩B＝A，求a的取值范围． 解析　(1)由题意，当a＝－2时，得A＝，因为B＝，∁RB＝{x|x≤－3，或x≥1}，所以A∪(∁RB)＝{x|x≤－2，或x≥1}． (2)因为A∩B＝A，所以A⊆B. ①当A＝∅时，2a－2>a，解得a>2，符合题意； ②当A≠∅时，解得－<a<1. 故a的取值范围为∪. 18．(17分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0. 证明　证法一　充分性：由xy＞0及x＞y， 得＞，即＜. 必要性：由＜，得－＜0，即＜0. 因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0. 所以＜的充要条件是xy＞0. 证法二　＜⇔－＜0⇔＜0. 由条件x＞y⇔y－x＜0，故由<0⇔xy＞0. 所以＜⇔xy＞0， 即＜的充要条件是xy＞0. 19．(17分)称I⊆Z是Z的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：(1)任意a，b∈I，a＋b∈I；(2)任意a∈I和c∈Z，有ca∈I.任取a1，a2，…，an∈Z，称包含a1，a2，…，an的最小向往集合称为a1，a2，…，an的生成向往集合，记为(a1，a2，…，an)． (1)求满足(6,8)＝(x)的正整数x的值； (2)对两个向往集合I1，I2，定义集合S(I1，I2)＝{a＋b|a∈I1，b∈I2}，P(I1，I2)＝{a1b1＋a2b2＋…＋anbn|a1，a2，…，an∈I1，b1，b2，…，bn∈I2，n＝1,2，…}． ①证明：P((4,6)，(3))仍然是向往集合，并求正整数x，满足P((4,6)，(3))＝(x)； ②证明：如果S(I1，I2)＝Z，则I1∩I2＝P(I1，I2)． (1)解析　设I＝(6,8)．注意到－1∈Z，所以－6∈I，又8∈I，所以2∈I. 注意到集合{6x＋8y|x，y∈Z}⊆I，并且{6x＋8y|x，y∈Z}是向往集合， 根据生成向往集合的最小性，有I＝{6x＋8y|x，y∈Z}．因为2∈I，所以(2)⊆I， 另一方面，容易证明(2)＝{2k|k∈Z}，因为I中全都是2的倍数，所以I⊆(2)，综上所述I＝(2)，即x＝2. (2)证明　①用和(1)类似的方法可以得到(4,6)＝(2)，且(3)＝{3k|k∈Z}． 所以P((4,6)，(3))＝P((2)，(3))＝{6k1k1′＋6k2k2′＋…＋6knkn′|k1，k2，…，kn，k1′，k2′，…，kn′∈Z，n＝1,2，…}， 所以P((2)，(3))⊆(6)，又因为生成向往集合的最小性，有P((2)，(3))＝(6)，故x＝6. 下面证明P((2)，(3))是向往集合．任取a，b∈P((2)，(3))，写出a，b表示成有限和的形式， 则a＋b也可以写成有限和的形式，容易证明a＋b∈P((2)，(3))， 其次，任意取c∈Z，只需要把P((2)，(3))中的k，k′替换为ck，ck′即可，综上所述P((2)，(3))是向往集合． ②因为S(I1，I2)＝Z，因为1∈Z，所以存在a∈I1，b∈I2，有a＋b＝1. 任取x∈I1，y∈I2，有xy∈I1和xy∈I2，所以xy∈I1∩I2， 进而根据向往集合的性质(1)，有P(I1，I2)⊆I1∩I2. 任意取z∈I1∩I2，有z＝z(a＋b)＝za＋zb， 因为z∈I2，a∈I1，z∈I1，b∈I2，有z∈I1I2，所以I1∩I2＝P(I1，I2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$