21.3 增长率问题与一元二次方程（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第二课时 增长率问题与一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点） 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 情景导入 填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤. (1)此时的利润w=_____; (2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=____ (3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____ 100元 2 90 180元 3 80 240元 平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 (4)若售价涨了3元，每斤利润为____元， 同时少买了30斤，销售量为____斤， 利润w=______ (5)若售价涨了4元，每斤利润为____元， 同时少买了40斤，销售量为____斤， 利润w=_______ (6)若售价涨了x元，每斤利润为____元， 同时少买了____斤，销售量为_______ 斤， 利润w=__________________ 4 5 1+x 70 60 100-10x 10x 280元 300元 (1+x)×(100-10x)元 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？ 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 填一填 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 总利润 （售价-进价） × 销售量 = 总利润 单件利润 × 销售量 = 填一填 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 填一填 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次降低前的量 5000(1-x) 第一次降低后的量 5000 下降率x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1-x)2 5000(1-x) 5000(1-x)2 例 1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 下降率不可为负，且不大于1. 注意 典例剖析 1.前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 练一练 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 概念归纳 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解:设原价为a元，每次升价的百分率为x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为9.5%. 例2.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少？经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件？ 即降价率为10%. 解：设降价率为x.由题意，得 40(1－x)2＝32.4， 解得x1＝1.9(舍去)，x2＝0.1＝10%. 两次调价后每月可销售商品的数量为 （件） 典例剖析 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 增长率不可为负，但可以超过1. 注意 典例剖析 例4：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000. 典例剖析 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时,50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2. 受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额 由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25% B A 练一练 3.某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率． 解：设年平均增长率为 x. 根据题意，列方程，得 100( 1+x )2 = 121， 解方程，得 x1=0.1，x2=-2.1. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 10％. 练一练 4. 某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率. 解：设这种药品每次降价的百分率为x. 由题意125(1-x)2=80. 解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去) 答：这种药品每次降价的百分率为20%. 练一练 5. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？ 解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去) 答：平均每月降价20%. 练一练 6. 某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其 中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的 增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？ 解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册) 答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册. 练一练 20% 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 3．(广西中考)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A．80(1＋x)2＝100　　 B．100(1－x)2＝80 C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝100 A 4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 . 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 200＋200(1＋x)＋200 (1＋x)2＝1000 D B 分层练习-基础 8.(天水中考)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为 (用百分数表示). .经研究发现，若一人患上新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后，共有81人患上新型冠状病毒肺炎，那么这种病毒的传播速度是一人可传播给 人，这个人经过三轮传染后，患上新型冠状病毒肺炎的总人数为 人. 40% 8 729 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 课堂反馈 课堂反馈 平均变化率问题 增长率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 课堂小结 知识点一：平均增长(降低)率问题 1．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 . 2．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加．该市的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个． (1)求该市这两年(从2016年底到2018年底)拥有的养老床位数的平均年增长率； (2)根据(1)所得的平均增长率，预计2019年该市拥有的养老床位数是多少？ 解：(1)设该市这两年(从2016年底到2018年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；　 (2)由题意，得2.88(1＋20%)＝3.456(万)，答：预计2019年拥有3.456万个养老床位． 5.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果设每月增长率为x，则依题意列方程为 . 6.(安徽中考)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足( ) A.16(1＋2x)＝25　　　　 B.25(1－2x)＝16 C.16(1＋x)2＝25 D.25(1－x)2＝16 7.学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是( ) A.x2＝21 B.eq \f(1,2)x(x－1)＝21 C.eq \f(1,2)x2＝21 D.x(x－1)＝21 9.(广州中考)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座. (1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ (2)按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率. 解：(1)1.5×4＝6(万座)；　 (2)设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据题意，得6(1＋x)2＝17.34，解得x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7(舍去). 答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%. 平均增长(降低)率问题． (襄阳中考)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． (1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； (2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4 亿元？ 【思路分析】(1)设该企业年平均增长率为x，则2015年利润为2(1＋x)亿元，2016年利润为2(1＋x)2亿元，根据“2016年利润为2.88亿元”列一元二次方程求解；(2)由(1)计算出2017年的利润，再判断是否超过3.4亿元即可． 【规范解答】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x，根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x1 ＝0.2，x2 ＝－2.2 (不合题意，舍去)．答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%；　 (2)2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元. $$