21.4 二次函数的应用（6种题型基础练+能力提升练）数学沪科版九年级上册

21.4 二次函数的应用（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，靠墙处墙的长度为，可求出的取值范围，再根据矩形的性质可得，，可求出的取值范围，根据矩形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：已知栅栏的总长度为，若， ∴， ∵靠墙处墙的长度为， ∴，即，解得，， ∵中间再用栅栏把它分成两个矩形， ∴ ∵， ∴，解得，， ∴的取值范围为， ∴矩形的面积关于的函数表达式为， 故选：． 【点睛】本题主要考查用函数解实际问题，理解图示，掌握几何图形面积的计算方法，运用函数解实际问题的方法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设，“日”字型框架的面积为，根据题意即可确定与的函数关系，据此即可求解． 【详解】解：设，“日”字型框架的面积为， 则， ∵， ∴当，时，“日”字型框架面积最大，最大值为 故选：A 4．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长15m，求这个矩形养鸡场最大面积． 【答案】这个矩形养鸡场最大面积是72m 【分析】设养鸡场平行于墙的一长为x米，则垂直于墙的一长为米，由面积公式得函数关系式，根据二次函数图象性质求解； 【详解】设养鸡场平行于墙的一长为x米，则垂直于墙的一长为米， 面积， 因为，抛物线开口向下，所以当时，面积最大，（m）． 答：最大面积是72m． 【点睛】本题考查列函数关系式，二次函数的性质；掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现在可围的材料为长的木板，若设与墙平行的一边长为，仓库的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)58 【分析】（1）设与墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据长方形的面积公式列出函数关系式，即可； （2）把代入（1）中函数关系式，即可． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据题意得： （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 题型二：图形运动问题 1．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 2．（22-23九年级上·安徽铜陵·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　）    A．    B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．      B．     C．    D．   【答案】D 【分析】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点在上时，点在上时，点在上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案． 【详解】解：设点的运动时间为，的面积为， ①当时，点在上时， 过点作，     ， ∵根据题知：，， ∴，， ∴； ②当时，点在上时， 过点作，   ， ∵根据题知：，， ∴， ∴； ③当时，点在上时， 过点作交延长线于，   ， ∵根据题知：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴结合三种情况，图像如下所示：   ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形面积公式，用含的式子表示，一次函数，二次函数的图象，含直角三角形三边关系，根据题意求出函数解析式是关键． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向C点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)y的值能否取14？若能，求对应的x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是二次函数的解析式以及一元二次方程的应用： （1）根据题意可得：，，则，根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，判断是否有解即可 【详解】（1）∵出发时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，则，， ∴， ∴； （2）不能，理由如下， 由题意得：， 即， ∴， ∴该方程无实数根， ∴的值不能取14． 题型三：拱桥问题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离长为（　　） A．米 B．16米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E，F两点，可知E，F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E，F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯”，可知E，F两点纵坐标为8， 把代入得：， 解得， ∴由两点间距离公式得：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升7米时，代入解析式求出x即可． 【详解】∵米， ∴当时，． 当水位上升7米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米． 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．    【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，      抛物线以轴为对称轴，且经过，两点， 可得：，，， 设顶点式，代入点坐标， 得：， 所以抛物线解析式为， 当水面升高1后，令， 则，解得：， 拱桥内水面的宽度为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 【答案】(1)拱桥所在抛物线的解析式为：； (2)此时拱桥内水面的宽度为米． 【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解， （2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案， 本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，． ∵水面离桥洞最大距离为1米， ∴该抛物线顶点坐标为． 设该抛物线解析式为，把代入， 得，解得， 故该拱桥所在抛物线的解析式为：； （2）由题意，得． 把代入， 得，解得：，， （米）， 故此时拱桥内水面的宽度为米． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：    方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于； 方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用， （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将原点代入计算即可求解； （2）方案一：根据，米，可得米，米，代入解析式可求出所需材料；方案二：根据，米，可求出米，米，米，代入解析式可求出所需材料；两种所需材料进行比较即可求解； 掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米， ∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为，将的横纵坐标代入， 得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为，即． （2）解：方案二的内部支架节省材料．理由如下： 方案一：∵，米， ∴米，米， 当时，，即米， 当时，，即米， ∴方案一内部支架材料长度为（米）； 方案二：∵，米， ∴米，米，米， 当时，，即米， 当时，，即米， ∴方案二内部支架材料长度为（米）， ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 题型四：销售问题 1．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数表达式． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）电商平台销售销售一种恤衫，每件进价为元经过市场调查，该恤衫每周的销售量件与销售单价元之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为元时，每周的销售量为件；当销售单价为元时，每周的销售量为件． (1)求与之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)销售单价定为元时，利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设与的关系式为，把与代入即可求解； （2）确定利润于销售单价之间的函数关系式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，设与的关系式为， 把与代入， 得：， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意可得： ． ， 当时，最大，元． 答：销售单价定为元时，服装店每周销售这种恤衫所获得的利润最大，最大利润是元． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）“三只羊”是我市某直播平台，近年，销售额频频突破百亿大关．某坚果公司在“三只羊”直播平台中推出一款“新春”产品礼盒，每盒的成本为元，若按每盒元销售，则同时段每天可售出盒．为了新年回馈网友，公司决定降价销售．经核算，发现销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒．设该礼盒售价为每盒x元（），同时段每天的销售量为y盒，每天的销售利润为w元． (1)写出y与x的函数表达式（含自变量x的取值范围）； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每天的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)（） (2)元 (3)销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为 【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键． （1）根据销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒，即可求解； （2）解方程即可求解； （3）求出每天的销售利润w与定价的函数关系即可求解． 【详解】（1）解：∵销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒， ∴（） （2）解：每盒的成本为100元，由题意得：， 解得： ∵要让利顾客， ∴取 即：要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒元 （3）解：有（2）可得： ∴（） ∴当时，即销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费． (1)试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？ (2)为了保证年利润不低于12万元，则广告费x的取值范围是______ ． 【答案】(1)；广告费为3万元时，公司获得年利润最大，最大年利润是16万元 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式． （1）根据利润等于销售总额减去成本费和广告费列出函数解析式，求出最大值即可； （2）根据二次函数的增减性求出广告费x的取值范围即可． 【详解】（1）解：现在的销售量为：， ， ∴广告费为3万元时，公司获得年利润最大，最大年利润是16万元． （2）解：令， 解得：或， ∵，抛物线的对称轴为直线，最大值为16， ∴在对称轴左侧S随x的增大而增大，在对称轴右侧随x的增大而减小， ∴当时，年利润不低于12万元； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南濮阳·期中）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得： ，解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， ∵，故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时，． 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 题型五：投球问题 1．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 【答案】C 【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】解：在中，令y=0得： ， 解得x=-2（舍去）或x=8， ∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 2．（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ． 【答案】8米 【分析】令求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）在篮球运动中，跳投是进攻队员面对防守队员或摆脱防守队员后投篮的方法，跳投能出其不意地甩开防守人员的防守，也能有效避免被对方封盖，如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心B水平距离4m处跳起投篮，出手点为C，蓝球沿一条抛物线运动，当蓝球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内（穿过篮圈中心B），已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，其中A为抛物线与y轴的交点，求抛物线所对应的函数表达式． (2)这次跳投时，球出手点离地面多高？ 【答案】(1)； (2)球出手处离地面2.25m． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用顶点式设出解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为， 篮圈中心横坐标为， 篮圈中心坐标为， 抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， 可设抛物线的函数关系式为， 篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式， 得 ， ． （2）解：设这次跳投时，球出手处离地面hm， 可知出手处C的坐标为， (1)中求得， 当时， （m） 这次跳投时，球出手处离地面2.25m． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米．    (1)求与之间的函数关系式； (2)巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习的成绩 【答案】(1) (2)巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩 【分析】（1）依题意，，顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，即可求解； （2）将代入（1）中的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴， （2）解：当时，， 解得：（舍去）， ∵， ∴巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 题型六：喷水问题 1．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）      A．16米 B．18米 C．20米 D．24米 【答案】C 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 米． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离 米．    【答案】11 【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答． 【详解】解：对于，令，则， 解得：，（舍）， ∴， ∴米． 故答案为：11． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键． 4．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 【答案】(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 5．（20-21九年级上·浙江温州·期中）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由. (2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案； （2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解． 【详解】（1）由题意可得：当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x−4）2＋6， 把(10,0)代入得0＝a（10−4）2＋6 解得：a＝−， 故抛物线解析式为：y＝−（x−4）2＋6； 令x=0，解得y= 故这个装饰物的高度为m； （2）∵当x＞0时，抛物线的对称轴为x=4 由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度， 当x＝4.5时，y= 答：直线型喷水头最高喷射高度为米． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， ， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即， ； 故选A． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质，一次函数图像及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即：， ∴对称轴为：， ∴当时，小球呈下降趋势， 故A选项正确； ∵当小球水平运动2米时，， ∵斜坡可以用一次函数刻画，当时，， ∴当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为米， 故B选项不正确； ∵，解得：或， ∴小球落地点距点水平距离为7米， 故C选项正确； ∵当小球拋出高度达到8m时，即：，解得：， ∴小球距点水平距离为4m， 故D选项正确． 故选：B． 二、解答题 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 【答案】(1)李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． (2)当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识点，解题的关键是要理解题意、能正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据等量关系“李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元”列方程求解即可； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出函数解析式，最后根据x的取值范围求最值即可． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：，解得， ， (不合题意，舍去)答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米， 根据题意可得： 养鸡场面积=， ∵， ∴当时，养鸡场面积最大值为1250． 答：当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 【答案】(1)； (2)能过网，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）求出函数的对称由为，将其代入函数中即可求解； （2）求出时的函数值，与比较即可． 【详解】（1）解：函数的对称轴为：， ∴把代入得：． （2）解：由题意可知，当时，， ∵， ∴能过网． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ (3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 【答案】(1)，； (2)5月份销售这种蔬菜收益最大 (3)一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，关键是能从图象中获取信息． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每千克蔬菜利润为W元，根据“”列式，利用二次函数的性质即可求解； （3）令补贴后每千克利润为，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象信息可设，将代入， 得：， 解得：， ∴． 设，将，代入， 得：， 解得：，， ∴； （2）解：设每千克蔬菜利润为W元，则 ， ∵， ∴当时，W取得最大值， 即5月份销售这种蔬菜收益最大； （3）解：令补贴后每千克利润， 解得：，， ∵当时，， ∴一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）某购物平台线上销售某种电子元件，如果每件利润为40元（市场监管部门规定，该种电子元件每件利润不能超过66元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元． (1)当x为多少时，该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利润2400元？ (2)设该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？ 【答案】(1)当x为20时，该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利润2400元 (2)当x为26时，w最大，最大值是2442元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，抓住等量关系列出方程与函数关系式是关键． （1）由一件的利润乘数量得总利润，即可列出方程，解方程即可； （2）由一件的利润乘数量得总利润，得函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 而，即不符合题意， ∴， 答：当x为20时，该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利润2400元； （2）解：由题意得：， ∴ ， 由于每件利润不得超过66元，则， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，且最大值为2442． 答：当x为26时，w最大，最大值是2442元． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段抛物线的解析式为．    (1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求： ①的解析式； ②球过球网时球与的距离； (2)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范围． 【答案】(1)①；②球过球网时与距离为． (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． （1）①根据题意，得到球在时到达最高点，由，得到其对称轴为，由此求出，进而得到答案．②当时，代入求出，再求出球过球网时与距离，由此得到答案． （2）根据题意确定出，最高点为，得到，当时，，得到，当时，求出，，由，确定出． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 球在时到达最高点， ， ， 解得：， ． ②当时， ， ， 球过球网时与距离为． （2）由题意得： 点在球网右侧处， ， 最高点为， 当时，， 解得：或（舍）， ， 当时，， 得，， 又， ，， ． 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为5米，若斜坡的坡度（即）．求： (1)该抛物线的函数表达式； (2)点D的坐标； (3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长（保留根号）． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题主要考查二次函数的应用和勾股定理，解直角三角形，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键． （1）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论； （2）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点D的坐标； （3）由的长为点D的横坐标减去的长可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线最高点B的坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，，米， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去） ∴米，米． ∴点D的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ； （3）解：由（2）得，米， ∴米． 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1是一种篮球发球机，该篮球发球机随机以不同力度发射出篮球，篮球飞行的轨迹都呈抛物线状．如图2，已知发球起点P距原点1 m．篮球飞行的最高抛物线为，该抛物线最高点为5 m，最高点距发球起点的水平距离为4 m；篮球飞行的最低抛物线为，该抛物线的顶点为点P，又已知抛物线与抛物线的部分能重合． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线和抛物线与x轴的正半轴的交点分别为点A、点B，求的长； (3)若篮球发球机只随机发出抛物线为和的两种篮球模式，且该抛物线和都在同一平面内，假设正有一无人机从抛物线和中穿过，无人机飞行的上下垂直的安全范围不小于1 m，该无人机与的水平距离为k m，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键． （1）设的解析式为，然后把点P坐标代入即可求解； （2）先求出的解析式，然后求出A、B的坐标，即可解答； （3）无人机的横坐标为k，根据题意列出不等式，，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，的顶点为， 设的解析式为， 则， 解得， ∴ （2）解：∵已知抛物线与抛物线的部分能重合，且的顶点为点P， ∴抛物线解析式为， 对于，当，则， 解得或（舍去）， ∴， 对于，当，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：根据题意，得， 解得， 又， 解得， ∴． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.4 二次函数的应用（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长15m，求这个矩形养鸡场最大面积． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现在可围的材料为长的木板，若设与墙平行的一边长为，仓库的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 题型二：图形运动问题 1．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽铜陵·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　）    A．    B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．      B．     C．    D．   4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向C点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)y的值能否取14？若能，求对应的x的值；若不能，请说明理由． 题型三：拱桥问题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离长为（　　） A．米 B．16米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．    4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：    方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于； 方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 题型四：销售问题 1．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）电商平台销售销售一种恤衫，每件进价为元经过市场调查，该恤衫每周的销售量件与销售单价元之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为元时，每周的销售量为件；当销售单价为元时，每周的销售量为件． (1)求与之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）“三只羊”是我市某直播平台，近年，销售额频频突破百亿大关．某坚果公司在“三只羊”直播平台中推出一款“新春”产品礼盒，每盒的成本为元，若按每盒元销售，则同时段每天可售出盒．为了新年回馈网友，公司决定降价销售．经核算，发现销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒．设该礼盒售价为每盒x元（），同时段每天的销售量为y盒，每天的销售利润为w元． (1)写出y与x的函数表达式（含自变量x的取值范围）； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每天的利润最大？并求出最大利润. 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费． (1)试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？ (2)为了保证年利润不低于12万元，则广告费x的取值范围是______ ． 5．（23-24九年级上·河南濮阳·期中）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 题型五：投球问题 1．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 2．（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）在篮球运动中，跳投是进攻队员面对防守队员或摆脱防守队员后投篮的方法，跳投能出其不意地甩开防守人员的防守，也能有效避免被对方封盖，如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心B水平距离4m处跳起投篮，出手点为C，蓝球沿一条抛物线运动，当蓝球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内（穿过篮圈中心B），已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，其中A为抛物线与y轴的交点，求抛物线所对应的函数表达式． (2)这次跳投时，球出手点离地面多高？ 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米．    (1)求与之间的函数关系式； (2)巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习的成绩 题型六：喷水问题 1．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）      A．16米 B．18米 C．20米 D．24米 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离 米．    4．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 5．（20-21九年级上·浙江温州·期中）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由. (2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）. 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 二、解答题 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ (3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）某购物平台线上销售某种电子元件，如果每件利润为40元（市场监管部门规定，该种电子元件每件利润不能超过66元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元． (1)当x为多少时，该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利润2400元？ (2)设该购物平台线上每天销售这种电子元件可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？ 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段抛物线的解析式为．    (1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求： ①的解析式； ②球过球网时球与的距离； (2)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范围． 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为5米，若斜坡的坡度（即）．求： (1)该抛物线的函数表达式； (2)点D的坐标； (3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长（保留根号）． 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1是一种篮球发球机，该篮球发球机随机以不同力度发射出篮球，篮球飞行的轨迹都呈抛物线状．如图2，已知发球起点P距原点1 m．篮球飞行的最高抛物线为，该抛物线最高点为5 m，最高点距发球起点的水平距离为4 m；篮球飞行的最低抛物线为，该抛物线的顶点为点P，又已知抛物线与抛物线的部分能重合． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线和抛物线与x轴的正半轴的交点分别为点A、点B，求的长； (3)若篮球发球机只随机发出抛物线为和的两种篮球模式，且该抛物线和都在同一平面内，假设正有一无人机从抛物线和中穿过，无人机飞行的上下垂直的安全范围不小于1 m，该无人机与的水平距离为k m，求k的取值范围． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$