6.6.2柱、锥、台的体积（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第六章《立体几何初步》 6.6.2柱、锥、台的体积（教学设计） 【教学目标】 1.掌握柱、锥、台的体积公式，并能用体积公式解决简单的实际问题；（数学运算） 2.理解柱、锥、台的体积公式之间的关系（直观想象） 【教学重点】 柱、锥、台的体积公式 【教学难点】 简单组合体的体积计算 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 问题1:上节课我们学习了柱、锥、台的展开与面积计算，把简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 表面积变大了，体积不变． 问题2：长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． V长方体＝abc，V正方体＝a3，V圆柱＝πr2h， 根据这些体积公式可知：设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积公式为V柱体＝Sh． 问题3：圆锥的体积公式如何表示？根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式． V圆锥＝πr2h，V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）． 问题4:柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？ 其中S上、S下分别为台体的上、下底面面积，h为高，S为柱或锥体底面面积． 二、抽象概括，得出概念 1.柱、锥、台体的体积公式 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝Sh 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝Sh 台体 圆台、棱台 V台体＝(S上＋S下＋)h 其中S为底面积，h为高 2.柱、锥、台体体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S上＋＋S下)hV＝Sh. 【概念辨析】 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. （1）底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等．( √ ) （2）若两个柱体的体积相等，则它们的表面积相等．( × ) （3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) 【参考答案】（1）正确【详解】根据题意可知底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等.故答案为：正确. （2）错误【详解】解：记一个圆柱的底面半径为2，高为9，体积为，表面积为，另一个圆柱的底面半径为3，高为4，体积为，表面积为.则，，所以. ,，则.故答案为:错误. （3）正确【详解】由台体的定义可知台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．故答案为：正确. 三、典例剖析，理解概念 课本P252例4 例4　埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．塔高约146.6m，底面边长约230.4m．求这座金字塔的侧面积和体积．（精确到0.1） 解析：如图，高AC的长为146.6m，底面的边长为230.4m，BC的长为115.2m． 因此金字塔的侧面积约为85914.9m2，体积约为2594046.0m3． 【方法点拨】求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算；常用方法为割补法和等积变换法． ①割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体（或补成一个 柱体或锥体），求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积． ②等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面,求体积时,可选择容易计算的方法来计算． 课本P254例5 例5 已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm．求其体积． 因此，正四棱台的体积为112cm3． 【方法点拨】求台体的体积，其关键在于求高；一般地，把高放在直角梯形中求解． 【当堂训练】 1.如下图，圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________. 解：设圆台上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.如下图，作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°.又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴AD＝＝.∴R－r＝AD＝，BD＝A1D·tan 60°＝3. ∴R＋r＝3.∴ R＝2，r＝.又h＝3，∴V圆台＝(S上＋＋S下)·h＝(πr2＋＋πR2)·h＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π. 四、迁移应用，掌握概念 1.一块正方形薄铁片的边长是a，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积． 解：扇形的弧长：圆锥筒的底面周长：解得圆锥筒的底面半径：所以圆锥筒的高：圆锥筒的体积： 2.如下图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，那么这个六角螺帽毛坯的体积是____________cm3. 解：螺帽的底面正六边形的面积S＝6××22＝6(cm2)， 正六棱柱的体积V1＝6×2＝12(cm3)，圆柱的体积V2＝π×0.52×2＝(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的体积V＝V1－V2＝(12－)cm3. 五、当堂检测，巩固达标 1．已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（    ） A． B． C． D． 【参考答案】 1．C【详解】该圆台的体积.故选：C. 2．A【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，则，解得（负值已舍去），所以，所以圆锥的体积.故选：A 3．B【详解】根据题意，.故选：B 六、课堂小结，升华素养 七、布置作业，即时检测 课本P257A组第8，B组第3、5题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$