专题02巧用勾股定理求三种最短路径的长-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题02巧用勾股定理求三种最短路径的长 题型01用平移法求平面中的距离问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【例1-2】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是 ． 【例1-3】（19-20八年级上·贵州贵阳·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 m．    【变式1-3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 题型02用对称法求平面中的最短问题 【典例分析】 【例2-1】（21-22八年级上·云南文山·期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 【例2-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【例2-3】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是 ． 【变式2-2】（22-23七年级上·山东济南·期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【变式2-3】（21-22八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 题型03用展开法求立体图形中的最短问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 【例3-2】（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 【例3-3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 【变式3-2】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【变式3-3】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02巧用勾股定理求三种最短路径的长 题型01用平移法求平面中的距离问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B 【例1-2】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是 ． 【答案】100m 【分析】连接出发点与终止点，求出两点之间距离即为所求，要构造直角三角形，用勾股定理解答． 【详解】解：连接AB，作AC⊥BC于C． ∵AC=40+40=80 (m)， BC=70-10=60 (m)， 则AB==100(m)． 故答案为：100m． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键 【例1-3】（19-20八年级上·贵州贵阳·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 【答案】（1）7米；（2）140元 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长； （2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案． 【详解】（1）， ， ， ∴地毯的长为7m； （2）地毯的面积为， ∴铺这个楼梯所需的花费为（元）． 【点睛】本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米， 故可得地毯长度（米， 故选： 【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 m．    【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平移的性质，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为（米）． 故答案为：14 【变式1-3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为： 题型02用对称法求平面中的最短问题 【典例分析】 【例2-1】（21-22八年级上·云南文山·期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 【答案】A 【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小； ∵PA＝P， ∴AP＋PB＝P＋PB＝B， 过点B作BE⊥AC于点E， ∵AC⊥CD， ∴BECD， 又∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 同理可得：EB＝CD＝3， ∵AC＝C＝3， ∴E＝2＋3＝5， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键 【例2-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为 【例2-3】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元． 【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，     过作，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性质可知：， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴水管的费用最节省为（万元）， 答：水管的费用最节省为万元． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是 ． 【答案】 【分析】将点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵，，， ∴当最小即可得到答案， 点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，如图所示， 根据勾股定理可得， ， ∴与周长和的最小值是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到最小距离位置 【变式2-2】（22-23七年级上·山东济南·期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【答案】(1)见解析； (2)50万元. 【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求； （2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求. （2）解：如图，连接交于H点，过点B作， 由题意可知：，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 由对称性质可知：， 水管长， 完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元） 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力 【变式2-3】（21-22八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用 题型03用展开法求立体图形中的最短问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图1，将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，   ， 由勾股定理得：． （2）如图2，    ， 由勾股定理得，． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， 故选：A． 【例3-2】（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 【答案】/13分米 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示， 则的长即为它爬行的最短路程， 由勾股定理得，， ∴它爬行的最短路程为， 故答案为： 【例3-3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【答案】从处爬到处的最短路程是 【分析】本题考查了平面展开图—路径最短问题，解题的关键是数形结合．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：如图1展开，连接，则的长就是从处爬到处的最短路程， 在中， ，， 由勾股定理得：， 即从处爬到处的最短路程是 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：C． 【变式3-2】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故答案为：． 【变式3-3】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果． 【详解】解：如图，的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 根据题意，得，，， ∴， 即蚂蚁爬的距离是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$