第16讲：对数（6大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第16讲：对数 【考点归纳】 · 考点一、指数式与对数式的互化 · 考点二、对数的运算 · 考点三、对数运算性质的应用 · 考点四、对数换底公式的应用 · 考点五：运用换底公式证明恒等式 · 考点六、对数的综合应用 【知识梳理】 知识点一　对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三　对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【例题详解】 题型一、指数式与对数式的互化 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、对数的运算 4．（23-24高一上·重庆·期末）计算 . 5．（23-24高一上·广东江门·期末）计算： . 6．（23-24高一上·天津河东·期末）（1）若，求x的值； （2）计算. 题型三、对数运算性质的应用 7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·浙江·期中）化简 . 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算： ． 题型四、对数换底公式的应用 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 12．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末） ． 题型五：运用换底公式证明恒等式 13．（23-24高一上·河北石家庄）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)；(2)；(3)计算：若，求的值． 14．（22-23高一·全国·随堂练习）设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 15．（23-24高一上·广东·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 题型六、对数的综合应用 16．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 17．（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 18．（23-24高一上·天津南开·期中）（1）已知、、均为正数，且，求的值； （2）若，，求的值． 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 20．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 21．（23-24高一上·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知实数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 24．（23-24高一上·云南·期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 25．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（23-24高一上·河南·期末）已知，且，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 27．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 28．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 29．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 30．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，，，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 31．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 . 32．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 33．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）计算 . 34．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，，则的最大值为 . 四、解答题 35．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）计算 (1) (2)． 36．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 37．（23-24高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，试用表示. 38．（2023高一上·全国·专题练习）（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 39．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲：对数 【考点归纳】 · 考点一、指数式与对数式的互化 · 考点二、对数的运算 · 考点三、对数运算性质的应用 · 考点四、对数换底公式的应用 · 考点五：运用换底公式证明恒等式 · 考点六、对数的综合应用 【知识梳理】 知识点一　对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三　对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【例题详解】 题型一、指数式与对数式的互化 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 3．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 题型二、对数的运算 4．（23-24高一上·重庆·期末）计算 . 【答案】 【分析】由指数和对数运算法则即可计算. 【详解】原式. 故答案为：5 5．（23-24高一上·广东江门·期末）计算： . 【答案】1 【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解. 【详解】原式. 故答案为：1 6．（23-24高一上·天津河东·期末）（1）若，求x的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，利用换底公式及指数式与对数式互化求解即得. （2）利用指数、对数运算法则计算即得. 【详解】（1）由，得，整理得， 所以. （2） . 题型三、对数运算性质的应用 7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 8．（23-24高一下·浙江·期中）化简 . 【答案】 【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果. 【详解】原式 . 故答案为：. 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算： ． 【答案】5 【分析】根据对数的定义和运算分析求解. 【详解】由题意可得：原式 . 故答案为：5. 题型四、对数换底公式的应用 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， . 故选：C. 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 12．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末） ． 【答案】2 【分析】利用对数的运算性质及换底公式化简求解. 【详解】 . 故答案为：2. 题型五：运用换底公式证明恒等式 13．（23-24高一上·河北石家庄）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 14．（22-23高一·全国·随堂练习）设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 15．（23-24高一上·广东·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2）2 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，进而利用对数运算法则和换底公式求出答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 故. 题型六、对数的综合应用 16．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用对数的换底公式以及运算性质计算. 【详解】（1） ； （2） . 17．（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 18．（23-24高一上·天津南开·期中）（1）已知、、均为正数，且，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，则，利用指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可求得的值； （2）利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质、对数恒等式可求得所求代数式的值. 【详解】解：（1）因为、、均为正数，设，则， 所以，，，， 所以，； （2）因为，，则，， 所以，， 因此，. 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可. 【详解】， 故选：C． 20．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 【答案】D 【分析】由对数的运算性质计算得出结果. 【详解】由对数的运算性质可知. 故选：D. 21．（23-24高一上·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算法则及函数的单调性得出结果. 【详解】因为， 故， 而为上的增函数，故， 故C正确，D错误. 对于AB，考虑 ， 设，则，， 故符号不定，故大小不定，故大小不定， 故AB错误， 故选：C. 22．（23-24高一上·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差比较的大小，结合与2的大小关系即可判断. 【详解】因为 ， 所以. 因为，所以. 故选：D. 23．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知实数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则，可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ，可得，即 所以. 故选：C. 24．（23-24高一上·云南·期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解. 【详解】 故选：D 25．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解. 26．（23-24高一上·河南·期末）已知，且，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案. 【详解】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误； 对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误； 对于C项，根据换底公式可知，，故C正确； 对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误. 故选：C. 二、多选题 27．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算性质结合选项逐一求解，进而得到正确选项. 【详解】对于A，由于，所以，A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，所以，C正确， 对于D，，故D正确， 故选：BCD 28．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据指数式和对数式互化，结合对数运算法则计算即可，得到结论. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 29．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 30．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，，，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解. 【详解】因为，，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 三、填空题 31．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 . 【答案】1 【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 32．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 【答案】 【分析】 根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 所以，， 两式相减可得：，解得：， . 故答案为： 33．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）计算 . 【答案】1 【分析】利用对数的运算性质分别计算出括号中的值，然后结果可知. 【详解】原式， 故答案为：. 34．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，，， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为为, 故答案为：. 四、解答题 35．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用指数运算与对数运算的法则计算. 【详解】（1）. （2） . 36．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 【答案】 【分析】利用对数的概念和运算法则进行计算可得. 【详解】原式. 故答案为： 37．（23-24高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】借助对数的运算性质计算即可得. 【详解】（1）原式 ； （2） 38．（2023高一上·全国·专题练习）（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 【答案】（1）；（2）0；（3）1；（4） 【分析】（1）（2）（3）由对数的运算、换底公式等即可得到结果. 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）因为， 所以. 39．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用指数运算法则和对数运算法则计算出答案； （2）将指数式化为对数式，结合换底公式求出，结合得到方程，求出答案. 【详解】（1） ， ； （2）因为，所以， 由换底公式得， 则， 由于，故， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$