专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23八年级上·陕西·阶段练习）下列式子：中，一定是二次根式的是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知a＝﹣2，则+a＝ ． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知是实数，且，求的整数部分． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】（22-23八年级上·广西贵港·期末）下列命题中假命题是（    ） A．绝对值最小的数是 B．若是实数，则 C．若，则 D．不等式组无解 1.（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海·期末）将根号外的因式移到根号内： 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例8】（2023九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北承德·期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（    ） A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）当时，二次根式的值是 . 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知，则x= ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 10．（22-23八年级·全国·单元测试）已知均为有理数，且满足，则 . 11．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若，求的值． 12．（2023·湖南邵阳·中考真题）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 13．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 14．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】-，，，是二次根式， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型． 1．（22-23八年级上·陕西·阶段练习）下列式子：中，一定是二次根式的是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非负数. 【详解】根据二次根式的定义可得是二次根式， 故选B. 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这一点是解题的关键. 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知a＝﹣2，则+a＝ ． 【答案】0． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】当a＝﹣2时， 原式＝|a|+a ＝﹣a+a ＝0； 故答案为0 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0 【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算； （3）根据二次根式的性质直接计算即可； （4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件是分母不为零成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选A． 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 2．（22-23九年级上·安徽·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到且，进行求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知是实数，且，求的整数部分． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键； 首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分． 【详解】根据题意得： ， ， ， ， ， 把代入中得 ， ， ， 的整数部分为：2． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】（22-23八年级上·广西贵港·期末）下列命题中假命题是（    ） A．绝对值最小的数是 B．若是实数，则 C．若，则 D．不等式组无解 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、不等式的性质可对A、B、C选项进行判断；解不等式即可对D选项进行判断；综上即可得答案. 【详解】A.绝对值最小的数是，正确，是真命题，故该选项不符合题意， B.若是实数，当a<0时，，故该选项是假命题，符合题意， C.若，则，正确，是真命题，故该选项不符合题意， D.解不等式x+1<0得：x<-1，故不等式组无解，正确，是真命题，故该选项不符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查绝对值的性质、二次根式的性质、不等式的性质及解一元一次不等式组，熟练掌握相关性质是解题关键. 1.（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（22-23八年级上·上海·期末）将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，整数满足， ，即，则整数的值为， 故选：C． 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 1．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，化简后比较被开方数的大小即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，正确化简是解题的关键． 【详解】解：，，，． ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据，被开方数，可得，，进而根据化简即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列各式的规律：①；②；③…… (1)按照此规律写出第4个等式：______； (2)猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可； （2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可 【详解】（1）解：， ， ， ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）由（1）可知：，证明如下： ． 【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键； 根据二次根式有意义的条件和分式的分母不为0，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 在数轴上表示出来，如图． 故选：B． 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知，， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题的关键是利用点在数轴上的位置判断出式子的正负． 【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例8】（2023九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 1．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（22-23八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 【答案】 【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）原式， ， ， ∵， ∴， 原式， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 2．（22-23八年级下·河北承德·期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（    ） A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：若有意义，则， 解得， 所以，m能取的最小整数值是1． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】∵，， ∴， ∴原式， ， 故选：． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键； 根据二次根式有意义的条件和分式的分母不为0，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 在数轴上表示出来，如图． 故选：B． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）当时，二次根式的值是 . 【答案】 【分析】把代入后化简即可求解. 【详解】把代入得， . 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键. 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知，则x= ． 【答案】7 【分析】由二次根式的定义，求出，然后由二次根式的性质进行化简，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围． 【详解】解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 10．（22-23八年级·全国·单元测试）已知均为有理数，且满足，则 . 【答案】0． 【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质把化为，然后根据有理数和无理数的计算得到x=1，y=2，代入求值即可. 【详解】∵ ∴， ∵x，y均为有理数， ∴x=1，y=2， ∴. 故答案为0. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，同时也考查了有理数和无理数. 11．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若，求的值． 【答案】的值为2000 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：， ， ， 则， ， ． 12．（2023·湖南邵阳·中考真题）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2），0 【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0， 解得：， （2）原式==， 当，原式=． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 13．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 14．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了二次根式的化简，读懂题意正确化简是解题的关键． （1）按照题意把被开放式变形后化简即可； （2）按照题意把被开放式变形后化简即可； （3）等式两边平方后，即可得到答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：把两边平方可得： ∴，． 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据二次根式成立的条件求解即可； （2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可； （3）利用②中的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$