12.2全等三角形判定讲义2023-2024学年人教版数学八年级上册

全等三角形判定 笔记： 1．三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 例题： ①全等判定“SSS” 1．（2023•兴宁区校级开学）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．已知E是AC上一点，AB＝AD，BE＝DE，应用“SSS”可直接证明全等的三角形是（　　） A．△ABC≌△ADC B．△ABE≌△ADE C．△CBE≌△CDE D．没有全等的三角形． 4．如图，请填空完善证明三角形全等的推理过程： （1）如图①在△ABC和 　 　中， ∴△ABC≌　 　（SSS）． （2）如图②，在△ABD和 　 　中， ∴△ABD≌　 　（SSS）． ②全等判定“SAS” 1．下列表格中，填入“◎”处正确的是（　　） 已知：AB⊥BE，DE⊥BE，且BF＝CE，AB＝DE． 求证：△ABC≌△DEF． 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B＝∠E＝90°， 又∵BF＝CE，AB＝DE， ∴BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF（◎）． A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 2．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D作DE⊥AB于点E．（只保留作图痕迹 （2）在（1）所作的图形中，点F为线段AC上一点，CF＝BE，连接DF．求证：DF＝DB．为证明DF＝DB，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程） 证明：（2）∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC． ∵DE⊥AB， ∴①　 　， ∴∠C＝∠DEB， 又∵②　 　， 且DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， 在△CDF与△EDB中， ． ∴△CDF≌△EDB（④　 　）， ∴DF＝DB． 4．在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF． 5．如图，AF＝DC，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF． 6．（2023•兴宁区校级开学）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D； （1）求证：△ABO≌△CDO； （2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数． ③全等判定“ASA” 1．（2023•青秀区校级开学）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 　 　°． 2．如图，矩形ABCD中，AC为其对角线．过点B作BE⊥AC于点E． （1）用直尺和圆规，作∠CDF，使∠CDF＝∠ABE，DF交AC于点F，交BC于点G； （2）小明思考此时的DF是否会垂直AC，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导DF⊥AC．根据小明的思路，完成以下填空： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，　 　， ∴∠BAE＝∠DCF． 在△ABE和△CDF中 ∠BAE＝∠DCF， AB＝CD， 　 　， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴　 　． ∵BE⊥AC， ∴　 　， ∴∠CFD＝90°， ∴DF⊥AC． 3．如图，在△ABC，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB＝∠ABE，求证：△ABC≌△DEB． 4．（2023•青秀区校级开学）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长． ④全等判定“AAS” 1．（2022•兴宁区校级开学）如图，AC与BD相交于点O，AB＝CD，∠A＝∠D，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．HL D．AAS 2．在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）． 已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC． 求证：AB+CD＝AD． 证明：∵AE平分∠BAD， ∴　 　． ∵EF⊥AD， ∴∠AFE＝90°． ∴∠B＝90°， ∴．∠B＝∠AFE． 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（AAS）． ∴　 　． 同理可得：CD＝DF ∴AB+CD＝AF+DF＝AD． 小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么 　 　． 3．如图所示，点E在AB上，点D在AC上，∠B＝∠C，AD＝AE．求证：△ABD≌△ACE． 4．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AF与DE交于点O，且OE＝OF，∠A＝∠D．求证：△ABF≌△DCE． 5．如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC．点E、C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D． 求证：△ABC≌△DFE． ⑤全等判定“HL” 1．如图，已知AB＝AD，若能用“HL”判定△ABC≌△ADC，需添加条件（　　） A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 2．在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形ABCD中，AB＞AD．若AC平分∠BAD，BC＝CD，求证：∠B+∠ADC＝180°．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出AB、AD的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出AB、AD的垂线，垂足分别是点E、F（只保留作图痕迹）； （2）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEB＝∠CFD＝90°． ∴△CEB和△CFD为Rt△． 又∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴　 　． 在Rt△CEB和Rt△CFD中， ， ∴Rt△CEB≌Rt△CFD（ 　 　）， ∴　 　． ∵　 　+∠ADC＝180°， ∴∠B+　 　＝180°． 3．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE． 4．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 学科网（北京）股份有限公司 $$