预习08 圆的方程（七大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习08 圆的方程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点01 求圆的标准方程 【方法点拨】确定圆的标准方程的方法：（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程； （2）待定系数法：①设——设所求圆的标准方程为；②列——由已知条件，建立关于的方程组；③解——解方程组，求出；④代——将代入所设方程，得所求圆的标准方程. 【例1】写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【例2】圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 点与圆的位置关系 【方法点拨】判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断． 【例3】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知点，圆C的标准方程：，若点M在圆C上，则a的值为 ；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为 ． 【变式2-1】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【变式2-2】点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【变式2-3】点与圆的位置关系如何？ 考点03 二元二次方程是否表示圆 【方法点拨】判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． 【例5】如果方程表示一个圆，那么实数k的取值范围是什么？与圆是怎样的位置关系呢？ 【例6】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【变式3-2】（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-3】若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 考点04 求圆的一般方程 【方法点拨】用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程． 【例7】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【例8】过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【变式4-1】过三点的圆的方程为 ． 【变式4-2】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【变式4-3】圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 考点05 圆的轨迹问题（直接法） 【方法点拨】根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． 【例9】若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ． 【例10】已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 . 【变式5-1】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【变式5-2】已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程． 【变式5-3】已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 考点06 圆的轨迹问题（代入法） 【方法点拨】如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 【例11】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例12】已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【变式6-2】已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹． 考点07 圆的最值问题 【方法点拨】已知点在圆上，求的最值问题的处理方法如下： （1）求圆心与定点间的距离 （2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，； ②当点M在圆内时，. 【例13】若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．20 【变式7-1】已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值． 【变式7-2】.已知是圆上的一点，则的最小值是 【变式7-3】已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 一、单选题 1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 二、多选题 6．设直线：，：，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外 7．已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 9．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 四、解答题 10．已知点，，，直线与轴交于点. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 11．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 12．赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 13．已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习08 圆的方程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点01 求圆的标准方程 【方法点拨】确定圆的标准方程的方法：（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程； （2）待定系数法：①设——设所求圆的标准方程为；②列——由已知条件，建立关于的方程组；③解——解方程组，求出；④代——将代入所设方程，得所求圆的标准方程. 【例1】写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 【例2】圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 【变式1-1】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 【变式1-2】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 【变式1-3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 考点02 点与圆的位置关系 【方法点拨】判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断． 【例3】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 【例4】已知点，圆C的标准方程：，若点M在圆C上，则a的值为 ；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知，点M在圆上，则，解得． 点M在圆内，则，即，解得． 故答案为：；. 【变式2-1】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内． 故选：AC． 【变式2-2】点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-3】点与圆的位置关系如何？ 【答案】答案见解析 【详解】圆心为． 因为，所以点在圆上； 因为，所以点在圆外； 因为，所以点在圆内． 考点03 二元二次方程是否表示圆 【方法点拨】判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． 【例5】如果方程表示一个圆，那么实数k的取值范围是什么？与圆是怎样的位置关系呢？ 【答案】答案见解析 【详解】因为方程表示圆的条件是，所以方程表示圆的条件为，即，则k的取值范围是．将的坐标代入方程的左边，得，可知点在圆外． 【例6】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-1】（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 【变式3-2】（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】AC 【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同， 则，∴或3， 当时，方程为表示一个圆； 当时，方程为表示一个圆. 故选：AC. 【变式3-3】若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在圆的外部， 得，解得，或， 故答案为： 考点04 求圆的一般方程 【方法点拨】用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程． 【例7】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 【例8】过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【详解】设圆的方程为，代入点，，， 则，解得， 可得，整理得符合题意， 所以圆的方程为， 令，可得，解得，所以． 故选：D. 【变式4-1】过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 【变式4-2】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 【变式4-3】圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 考点05 圆的轨迹问题（直接法） 【方法点拨】根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． 【例9】若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ． 【答案】3 【详解】以所在直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 因为，即， 所以，整理为：， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到距离的最大值是， 所以面积的最大值是. 故答案为：3 【例10】已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，所以， 因此由， 所以点P的轨迹方程为， 故答案为： 【变式5-1】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【详解】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式5-2】已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程． 【答案】坐标系见解析， 【详解】    如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两定点为、． 设动点的坐标是，则，． 因为，所以，化简得． 这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程． 反过来，设平面上一点的坐标也满足方程，即有， 则． 从而以方程的解为坐标的点都在轨迹上． 综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程． 【变式5-3】已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 考点06 圆的轨迹问题（代入法） 【方法点拨】如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 【例11】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 【例12】已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设线段中点的坐标为，且点， 又由，可得，解得， 又由，可得，即， 故选：A 【变式6-1】已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 【变式6-2】已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 由得是线段中点，∴， 又在圆上，，即， ∴点轨迹是半径为1的圆，面积为， 故选：A． 【变式6-3】从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹． 【答案】轨迹方程为（在已知圆内的部分），即轨迹为以为圆心，5为半径的圆（在已知圆内的部分）. 【详解】由题意知，取中点，则， ， 由圆的定义知其轨迹方程为， 则的轨迹是以为圆心，5为半径的圆（在已知圆内的部分），    考点07 圆的最值问题 【方法点拨】已知点在圆上，求的最值问题的处理方法如下： （1）求圆心与定点间的距离 （2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，； ②当点M在圆内时，. 【例13】若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为. 故选：D 【例14】已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【详解】依题意，，则， 因此线段是圆的直径，且，而点是该圆上的点， 所以的最大值为. 故选：B 【变式7-1】已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【详解】由圆可化为， 可得圆心为，半径， 如图所示，点P与点E距离的最大值为，点P与点E距离的最小值为， 又因为， 所以圆上的点P到点E的距离的最大值为，最小值为． 【变式7-2】.已知是圆上的一点，则的最小值是 【答案】 【详解】表示圆上的动点到点的距离， 由可化为，则圆心为，半径为， 点到圆心的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 即的最小值是. 故答案为：. 【变式7-3】已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又知直线，可得直线恒过定点， 直线，可得直线恒过定点， 所以点在以AB为直径的圆上，且， 所以半径为，圆心C为AB的中点，即， 即所在的圆的方程为：， 可得， 所以O到圆上点P的最小距离． 故答案为：． 一、单选题 1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 2．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆化成标准方程为， 点在圆O外，则有， 即，解得或. 故选：D． 3．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 4．已知圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为， 因为线段的中点在直线上，则，即， 又因为，且直线的斜率为，则，解得. 故所求圆的方程为. 故选：C. 5．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 二、多选题 6．设直线：，：，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外 【答案】BC 【详解】由题意，直线， 两直线斜率分别为，， 故两直线相交，选项A错误，B正确； 联立，解得，故两直线交点为， 由，得交点在圆上.故C正确，D错误. 故选：BC. 7．已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，显然的轨迹是线段，故A错误； 以中点为原点，建立平面直角坐标系，设,，设， 则，， 对于B，已知，则，所以，点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，由两点间距离公式得，， 代入中化简得，即， 故的轨迹是圆，故C正确； 对于D，代入中化简得，显然的轨迹是一个点，故D错误. 故选：BC 三、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ． 【答案】. 【详解】设，则由可得，化简得. 故答案为：. 9．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 四、解答题 10．已知点，，，直线与轴交于点. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意，，故直线的斜率， 所以直线的方程为. 因为点在轴上，令，得， 所以点的坐标为. （2）因为的顶点坐标分别为，，， 所以，所以的外接圆是以为直径的圆. 又中点为， 所以外接圆的圆心为，半径为， 所以的外接圆的方程为. 11．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 12．赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1) (2)可以从桥下通过，理由见解析 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船可以从桥下通过． 13．已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 方法一：因为，，， 则，， 由，得， 则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点， 半径， 所以过A，B，C三点的圆的方程为； 方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为， 则，解得， 故过A，B，C三点的圆的方程为，即. （2） 设， 由题意可得：，， 因为线段上靠近点A的三等分点为E，则， 则，解得，即． 方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点， 所以直线l的方程为，整理得； 方法二：设l与相交于点，则， 由直线l平分四边形的面积，可得， 则，解得，即， 所以直线l的方程为，整理得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$