专题训练7　线段与角的和、差、倍、分计算课件2023-2024学年浙教版数学七年级上册

专题训练7　线段与角的和、差、倍、分计算 第6章　图形的初步知识 类型1　 线段的和差倍分计算 ∵D为线段BC的中点， 解 例1　(教材母题：教材P153作业题第4题)如图，已知线段AB＝a，延长线段BA至点C，使AC＝ AB，D为线段BC的中点. (1)求线段CD的长. ∵AD＝3 cm， 解 (2)若AD＝3 cm，求a的值. ∴a＝12 cm. 归纳总结　(1)考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用.(2)在求线段的长度时，经常用到方程的思想.(3)注意分情况讨论思想的应用. 变式训练 1.如图，已知线段AB＝3a，延长线段BA至点C，使AC＝ AB.点D为线段BC的中点. (1)画出线段AC. 解　如图，线段AC， (2)求线段BD的长. 解 ∴AC＝a， ∴BC＝AC＋AB＝4a， ∵点D为线段BC的中点， (3)若AD＝6 cm，求a的值. 解　∵AD＝6，AD＝CD－AC， 由(2)可知AC＝a，CD＝BD＝2a， ∴2a－a＝6， 解得a＝6(cm). 解 2.已知：如图，点C，D是线段AB上的两点，线段AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，点E，F分别是线段AC，DB的中点，且线段EF＝12 cm，求线段AB的长. 解　设AC＝2x cm， 则线段CD＝3x cm，DB＝4x cm， ∵E，F分别是线段AC，DB的中点， 解 ∵EF＝EC＋CD＋DF＝x＋3x＋2x＝12，∴x＝2， ∴AB＝9x＝9×2＝18(cm). 3.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10 cm，设点B运动时间为t s. (1)当t＝2时，①AB＝________ cm. 解　∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4(cm)； 解 ②求线段CD的长度. 解　∵AD＝10 cm，AB＝4 cm， ∴BD＝10－4＝6(cm)， ∵C是线段BD的中点， 解 (2)在运动过程中，若线段AB的中点为E，则线段EC的长是否变化？若不变，求出线段EC的长；若发生变化，请说明理由. 解　不变.∵AB中点为点E，C是线段BD的中点， 解 4.如图，直线l上有A，B两点，AB＝12 cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB. (1)OA＝________cm，OB＝________cm. 解　∵AB＝12 cm，OA＝2OB， ∴OA＋OB＝3OB＝AB＝12(cm)， 解得OB＝4(cm)， OA＝2OB＝8(cm). 解 (2)若点C是线段AB上一点(点C不与点AB重合)，且满足AC＝CO＋CB，求线段CO的长. 解 解　设C点所表示的实数为x，O为数轴的原点，向右为正， 分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0， ∵AC＝CO＋CB， ∴8＋x＝－x＋4－x， 3x＝－4， ②点C在线段OB上时，则x＞0， ∵AC＝CO＋CB， ∴8＋x＝4， x＝－4(不符合题意，舍). (3)若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2 cm/s，点Q的速度为1 cm/s.设运动时间为t s，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动.求当t为何值时，2OP－OQ＝4(cm). 解　令2t－t＝12，解得t＝12， 即12 s时，P，Q重合，停止运动， 当0≤t＜4时，依题意有2(8－2t)－(4＋t)＝4， 解得t＝1.6； 当t≥4时，依题意有2(2t－8)－(4＋t)＝4， 解得t＝8. 故当t为1.6 s或8 s时，2OP－OQ＝4(cm). 解 5.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点.点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12. (1)求点A，B对应的数. 解　∵点C对应的数为6，BC＝4， ∴点B表示的数是6－4＝2， ∵AB＝12， ∴点A表示的数是2－12＝－10. 解 (2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝ CQ，设运动时间为t秒(t＞0). ①求点M，N对应的数(用含t的式子表示). 解 解　∵动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，时间是t， ∴AP＝6t，CQ＝3t， ∵点A表示的数是－10，C表示的数是6， ∴M表示的数是－10＋3t，N表示的数是6＋t. ②t为何值时，OM＝2BN? 解　∵OM＝|－10＋3t|，BN＝ON－OB＝4＋t，OM＝2BN， ∴|－10＋3t|＝2(4＋t)＝8＋2t， 由－10＋3t＝8＋2t，得t＝18， 解 解　∵∠ABC＝60°，∠ABD＝145°， ∴∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝85°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝ ∠ABC＝30°， ∴∠DBE＝∠EBC＋∠CBD＝30°＋85°＝115°. 例2 (教材母题：教材P162作业第4题)如图，∠ABC＝60°，∠ABD＝145°，BE平分∠ABC，求∠DBE的度数. 类型2　 角的和差与倍分计算 解 归纳总结　(1)本题考查了角的计算，角平分线的定义，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的数量关系是解题的关键；(2)在求角的度数时经常用到方程的思想；(3)有时需要用到分类讨论的思想. 变式训练 6.如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2∶5两部分，∠ABC＝140°，求∠DBE的度数. 解 解　∵BD平分∠ABC，∠ABC＝140°， ∵BE分∠ABC为2∶5两部分，∠ABC＝140°， ∴∠DBE＝∠ABD－∠ABE＝70°－40°＝30°. 7.如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内.若∠FBG＝100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差. 解 解　可设∠ABF＝∠CBF＝β，根据∠FBG＝100°， 即可得到∠ABG＝100°－β，∠DBG＝180°－100°－β＝80°－β， 根据∠ABG－∠DBG＝(100°－β)－(80°－β)＝20°， 可得∠ABG和∠DBG的度数的差为20°. 8.如图，O是直线AB上一点，∠COE＝60°，OD是∠AOC的平分线，OF是∠EOB的平分线，求∠DOF的度数. 解 解　由∠COE＝60°可知∠AOC＋∠BOE＝120°， ∵OD，OF分别是∠AOC和∠EOB的平分线， 9.如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC. (1)求∠MON的度数. 解 解　∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝60°. (2)如果(1)中∠AOB＝α，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数. 解 解　由(1)得∠MON＝∠MOB＋∠BON (3)从(1)，(2)的结果中能得出什么结论？ 解 解　有一个公共顶点、一条公共边，另一边分别在这条公共边的两侧的相邻两个角的角平分线组成的角等于这两个角组成的大角的一半. 10.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数. 解 解　如图②，∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°， ∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°， ∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)将图①中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为____________(直接写出结果). 解 解　分两种情况： ①如图②，∵∠BOC＝110°， ∴∠AOC＝70°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°， ∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°， 即逆时针旋转的角度为55°， 由题意得，5t＝55，解得t＝11. ②如图③，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°， ∴∠AOM＝55°， 即逆时针旋转的角度为：180°＋55°＝235°， 由题意得，5t＝235， 解得t＝47， 综上所述，当t＝11 s或47 s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC. 本课结束 解　∵AB＝a，AC＝AB＝a， ∴CB＝a＋a＝a， ∴CD＝CB＝a. 解　AD＝CD－AC＝a－a＝a， ∴a＝3 cm， 解　∵AB＝3a，AC＝AB， ∴BD＝BC＝2a. ∴EC＝AC＝x，DF＝DB＝2x， ∴CD＝BD＝×6＝3(cm). ∴EB＝AB，BC＝BD， ∴EC＝EB＋BC＝(AB＋BD)＝AD ＝×10＝5(cm). x＝－. 故CO的长是cm. ∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ， ∴AM＝AP＝3t，CN＝CQ＝t， 由－10＋3t＝－(8＋2t)，得t＝， 故当t＝18秒或t＝秒时，OM＝2BN. ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°， ∴∠ABE＝∠ABC＝40°， ∴∠DOC＝∠AOC，∠EOF＝∠BOE， ∴∠DOF＝∠DOC＋60°＋∠EOF＝∠AOC＋∠BOE＋60°＝(∠AOC＋∠BOE)＋60°＝60°＋60°＝120°. ∴∠MOB＝∠AOB＝45°，∠BON＝∠BOC＝15°， ＝∠AOB＋∠BOC＝α＋β＝(α＋β). $$