1.3 线段的垂直平分线（2）课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

第一章：三角形的证明 1.3线段的垂直平分线（2） 学习目标 ①能够证明三角三边垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。 ②能够利用尺规做已知底边及边上的高的等腰三角形。 三角形角平分线的交点是？ 旧知温习 一、线段垂直平分线的性质定理． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 如图， ∵AC=BC，MN⊥AN，P是MN上任意一点（已知 ） ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） N A P B C M 该定理是常用来证明两条线段相等的依据之一。 旧知温习 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 如图， ∵AP=BP（已知 ） ∴点P在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） P B A C 一、线段垂直平分线的性质定理——逆定理． 该线段垂直平分线判定定理是常用来证明 点在直线上（或直线经某点）的依据之一。 旧知温习 用尺规做线段的垂直平分线。 已知:线段ab，如图。 求作：线段ab的垂直平分线。 作法： 点a 点b ①分别以点a和b为圆心，以大于ab/2的长为半径做弧，两弧交于点c和点d。 ②作直线cd(也就是线段ab的垂直平分线。) 点c 点d 新知探究 剪一个三角形，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流． Q P N M F E C B A O 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点。 你能证明它不？ 交点在三角形内 交点在三角形斜边上 交点在三角形外 试了锐角三角形，那再请尝试一下直角三角形和钝角三角形。 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内; 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上; 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。 其实两条直线就可以确定一个交点啦。不用三个都画。 新知探究 课下请尝试用尺规作出三角形三条边的垂直平分线 证明：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O. 求证：O点在AC的垂直平分线上． 证明：连接AO，BO，CO． 新课讲解 C B A O ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理OB=OC、 ∴OA=OC(等式性质)． ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O，并且该点到三个顶点的距离相等。 基本想法：我们知道两条直线相交只有一个交，要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可。 这时可以考虑前面刚学到的逆定理。 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 三角形三边的垂直平分线的性质定理 新课讲解 请仿照之前所讲到的 三种几何语言表示方法， 将该定理用几何语言表示出来。 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 1.文字语言 新课讲解 3.符号语言 2.图形语言 b a c C B A O 如图，在△ABC中， ∵a,b,c分别是AB,BC,AC的垂直平分线。(已知) ∴a,b,c相交于点O,且OA=OB=OC(三角形三条边的垂直线相交于一点，并且这1点~三个顶点的距离相等。) 这是证明三条直线交于一点的依据。 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 新课讲解——议一议 已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h 已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h 这样的三角形有无数多个． 观察还可以发现这些三角形不都全等． 1 A D C B A a h ( ) D C B A a h 1 A (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 新课讲解——议一议 D C B A a h 1 A (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等． 新课讲解——议一议 (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 新课讲解——议一议 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗? 水平垂直分向看,来来回回有四个。 如果底是绿实线的话，高是虚绿线的话。那么就是两个等腰三角形。 如果没有说确切说虚实哪个为底高的话，那分类讨论应该有四个。 ④连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形 N M D C B a h A 新课讲解——作 已知：底边及底边上的高，求作等腰三角形． 已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法： ①作BC=a； ②作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； ③以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 练 1.已知直线 l 和 l 外一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 已知：直线 l 和 l 外一点 P。 求作：PC⊥l。（用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P） 直线 l P 作法： ①以点P为圆心，以任意长（>点P到l的距离）为半径作弧,直线l相交于点A和B。。 ②作线段AB的垂直平分线PC,直线PC就是所求的垂线。； A B C 练 2.已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。，AB的垂直平分线交AD于O。 求证：OA=OB=OC。 证明： ∵AB=AC，AD是BC的中线。(已知)． ∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)． 又∵AB的垂直平分线与AD交于点O.(已知) ∴得证：OA=OB=OC(三角形三条边的垂直平分线交于，并且这1点~三个顶点的距离相等。) A D C B O 求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段． 已知：线段a． 求作：等腰直角三角形ABC使BC=a． 作法： 　　　　　　　 　　　 练 1．作线段BC=a 2．作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D． 3．在L上作线段DA，使DA=DB． ∴△ABC为所求的等腰直角三角形． 　4．连接AB，AC． B C L D A 1．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这1点d到三个顶点的距离相等。 小结 C B A O 如图，在△ABC中， ∵a,b,c分别是AB,BC,AC的垂直平分线。(已知) ∴a,b,c相交于点O,且OA=OB=OC(三角形三条边的垂直线相交于一点，并且这1点~三个顶点的距离相等。) 2．尺规作图解题六步骤。 ①已知；②作法；③求作；④证明；⑤分析；⑥讨论。 作业 学到就是到， 继续“奥利给”。 See you $$