1.3线段的垂直平分线（1）课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第一章：三角形的证明 1.3线段的垂直平分线（1） 学习目标 ①能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。 ②经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。 ③能够用尺规做已知线段的垂直平分线。 性质 1.角平分线的交点叫内心， 三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。 2.垂线的交点叫垂心， 三角形垂心指的是三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。 3.中线的交点分别叫重心， 三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。 4垂.直平分线的交点叫外心. 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。 5.三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。 三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。 注意：在等边三角形中，重心、垂心、内心、外心和旁心五心合一，即五个“心”都位于等边三角形的同一个点。 用心想一想，马到功成 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? A B 新知探究 A与B的最短距离（对称） 到A与B的距离相等。（本节课的中垂线） 我们曾经利用折纸的办法得到:线段垂直平分线上的点到这两条线段两个端点距离相等。你能证明该结论吗？ 新课讲解 垂直平分线，又称“中垂线”， 是指经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合。 垂直平分线是线段的一条对称轴。 分析：证明PA=PB，可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等。也就是想办法证明，△PCA≌△PCB。 而△PCA≌△PCB的条件由已知的AC=BC，且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公SAS，故结论可证。 垂直平分线，又称“中垂线”，是指经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。 我们曾经利用折纸的办法得到:线段垂直平分线上的点到这两条线段两个端点距离相等。你能证明该结论吗？ 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 证明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． N A P B C M 如果点P与点C重合，此结论依然成立。 （因为题干没有说是构成了一个三角形PAB） 新课讲解 分析：证明PA=PB，可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等。也就是想办法证明，△PCA≌△PCB。 而△PCA≌△PCB的条件由已知的AC=BC，且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公SAS，故结论可证。 垂直平分线，又称“中垂线”，是指经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。 新课讲解——线段垂直平分线性质定理 N A P B C M 1.性质定理——符号语言 2.性质定理——文字语言 3.性质定理——图形语言 如图， ∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点（已知 ） ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） 该定理是常用来证明两条线段相等的依据之一。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 你能写出上面这个定理的逆命题吗? 它是真命题吗? 猜想：真命题 How 证？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．（即：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．） P B A C 新课讲解 已知：如图，PA=PB， 求证：点P在AB的垂直平分线上． 过点P作PC⊥AB，垂足为C． 法① ∵PC⊥AB， ∴△APC和△BPC都是直角三角形 ∵PC=PC（公共边）,PA=PB（已知） ∴Rt△APC ≌ Rt△BPC（HL） ∴AC=BC(全等三角形的对应边相等。) ∴P在A的垂直平分线上。 分析：若想证明点p在线段ab的垂直平分线先做出p的ab的垂（或是ab的中点。），然后证明一个结论正确。 到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． P B A C 新课讲解 已知：如图，PA=PB， 求证：点P在AB的垂直平分线上． 把线段AB的中点记为C，连接PC 法② ∵C是AB中点， ∴AC=BC ∵PC=PC（公共边）,PA=PB（已知） ∴△APC ≌ △BPC（SSS） ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等。) ∴PC⊥AB，即：P在A的垂直平分线上。 P B A C 新课讲解 已知：如图，PA=PB， 求证：点P在AB的垂直平分线上． 过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． 法③ ∵AP=BP（已知），∠APC=∠BPC（依角平分线得），PC=PC（公共边）， ∴△APC≌△BPC(SAS) ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边、角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°(平角) ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴PC⊥AB，即：P在A的垂直平分线上。 新课讲解——线段垂直平分线性质定理的逆定理 逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3.符号语言 如图， ∵AP=BP（已知 ） ∴点P在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） 1.文字语言 2.图形语言 P B A C 该线段垂直平分线判定定理是常用来证明 点在直线上（或直线经某点）的依据之一。 新课讲解——尺规作图（垂直平分线） 用尺规做线段的垂直平分线。 已知:线段ab，如图。 求作：线段ab的垂直平分线。 作法： 点a 点b ①分别以点a和b为圆心，以大于ab/2的长为半径做弧，两弧交于点c和点d。 ②作直线cd(也就是线段ab的垂直平分线。) 点c 点d 因为我们以a、b分别为圆心，以大于1/2 ab的半径做弧，这就意味着点c与点d是分别两段弧的交点。也就意味着点d到点a的距离与点d到点b的距离是相等的。C点处同理。所以点c和点大在线段ab的垂直平分线上。又因为2点确定一条直线，所以线段ab的垂直平分线为直线CD。 只有大于了二分之一，两弧才有2交点；若等于二分之一则只有一个交点，做不了直线；更不用说小于二分之一了，连交点都没有。 用心想一想，马到功成 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? A B 探究回顾 A与B的最短距离（对称） 到A与B的距离相等。（本节课的中垂线） 分析：根据垂直平分线的性质，连接AB作出AB的垂直平分线与河岸边交点即是码头应建位置． 解答：解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处． 如图：点P就是码头应建的位置． 点评：此题主要考查了垂直平分线的性质以及应用与设计作图，同学们应灵活的应用垂直平分线的性质此知识是中考中考查重点． 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 练 证明 ∵AB=AC（已知）， ∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线两个端点相等的点在这条线段的垂直平分线上。) 同理，点O在线段BC的垂直平分线上 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线。) 得证：直线 AO 垂直平分线段BC。 练 已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在AC的垂直平分线上． ∵AB、BC的垂直平分线相交于点P(已知)， ∴PA=PB，PB=PC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等) ∴PA=PC(等式性质) 得证：点P在AC的垂直平分线上． 2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD。 A B C D 练 分析 分别作AB和CD的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则根据线段垂直平分线的性质可得PA=PB，PC=PD． 解答 解：如图，点P为所作． 点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 练 3．如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50,求BC的长。 解： ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴C△BCE=BE+CE+BC =AE+CE+BC =AC+BC=50， ∴BC=C△BCE - AC =50-27 =23 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解． 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键． 练 4．已知：AB=AC,BD=CD，P是AD上的一点。 求证：PB=PC 证明：连接BC， ∵AB=AC（已知）， ∴点A在BC的中垂线上． ∵DB=DC（已知）， ∴点D也在BC的中垂线上． ∴直线AD是线段BC的中垂线（两点确定一条直线。）． ∴PB=PC． 又∵AB=AC（已知），AP=AP（公共边）， ∴△ABP≌△ACP（SSS）， ∴∠ABP=∠ACP 垂直平分线，又称“中垂线”，是指经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。 一、线段垂直平分线的性质定理． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 二、线段垂直平分线的判定定理． 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 三、用尺规作线段的垂直平分线． 小结 作业 谢谢 在知识海洋遨游完的“我们”! $$