1.1 等腰三角形（2）课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形(2) 复习导入：一锤定音！ A B C 等腰三角形——性质 1.两腰相等 2.等边对等角 3.三线合一 4.轴对称图形 AB=AC ∠B=∠C 中线、高线；角平分线 轴对称图形（7上，第五章） 等腰三角形的重要线段的性质 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线，两腰上的高两腰上的中线有什么关系呢？ 猜想： ①底角的两条角平分线相等。 ②两条腰的中线相等。 ③两条腰的高线相等。 猜想证明 ：①等腰三角形两底角角平分线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BD和CE是▲ABC的角平分线。 求证：BD=CE 法①： 2 1 分析：要证BD=CE，就需证明BD和CE所在的两个三角形全等【即：①🔺BDC≌🔺CEB②🔺ABD≌🔺ACE】 猜想证明 ：①等腰三角形两底角角平分线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BD和CE是▲ABC的角平分线。 求证：BD=CE 法①： 2 1 证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB(已知)， ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC(已知)，BC=CB(公共边)，∠1=∠2(已证)． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． 分析：要证BD=CE，就需证明BD和CE所在的两个三角形全等【即：①🔺BDC≌🔺CEB②🔺ABD≌🔺ACE】 猜想证明 ：①等腰三角形两底角角平分线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BD和CE是▲ABC的角平分线。 求证：BD=CE 法②： 2 1 分析：要证BD=CE，就需证明BD和CE所在的两个三角形全等【即：①🔺BDC≌🔺CEB②🔺ABD≌🔺ACE】 猜想证明 ：①等腰三角形两底角角平分线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BD和CE是▲ABC的角平分线。 求证：BD=CE 法②： 4 3 证明： ∵AB=AC（已知）， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB(已知)， ∴∠3=∠4(等式性质)． 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4(已证)，AB=AC(已知)，∠A=∠A(公共角)． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． 猜想证明 ：②等腰三角形两条腰的中线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BM和CN是▲ABC两腰上的中位线。 求证：BM=CN 分析：要证BM=CN，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 猜想证明 ：②等腰三角形两条腰的中线相等。 已知：如图，在▲ABC中，AB=AC,BM和CN是▲ABC两腰上的中位线。 求证：BM=CN 证明： ∵AB=AC（已知）， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵CM=AC，BN=AB(已知)， ∴CM=BN(等式性质)． 在△BMC和△CNB中， ∵CM=BN(已证)，∠MCB=∠NBC(已知)，BC=CB(公共边)． ∴△BMC≌△CNB(SAS)． ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)． 分析：要证BM=CN，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 猜想证明 ：③等腰三角形两条腰的高线相等。 已知： 如图，在▲ABC中，AB=AC,BP和CQ是▲ABC两腰上的高线。 求证：BP=CQ 证明： ∵AB=AC（已知）， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 在△BPC和△CQB中， ∵∠BQC=∠CPB(高-垂直-90°)，∠QBC=∠PCB(已证)，BC=CB(公共边)． ∴△BQC≌△CPB(AAS)． ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)． 分析：要证BP=CQ，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 得证： 等腰三角形的两底角的角平分线，两腰上的高线、两腰上的中线都分别相等。 新知学习 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢? 想一想, 做一做 规律整理 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB,那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE. 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等。 两腰上距顶带你等距的两点与底边顶点的连线段相等线段相等。 简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE. 等边三角形——性质 想一想： 等边三角形（具有等腰三角形的一切性质）是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？ 定理：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. C B A 证明： 在ΔABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角-等腰). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C＝60°. 练 1.下列四个说法中，不正确的有 ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有两个角等于60度的三角形是等边三角形 ③有一个是60度的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 A、1个；B、2个；C、3个；D、4个 2.等边三角形的对称轴有几条？ 3条 练 如图,已知🔺ABC和🔺BDE都是等边三角形, 求证:AE=CD ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形(已知) ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD(SAS) ∴AE=CD 证明： A B C D E 等边三角形：边相等，各角为60° 畅谈本节收获： 1.等腰三角形的两底角的角平分线，两腰上的高线、两腰上的中线都分别相等。 2.（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB,那么BD=CE.【过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等。】 （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.【两腰上距顶带你等距的两点与底边顶点的连线段相等线段相等。】 3.等边三角形性质定理：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. Bye Bye~ $$