3.2用频率估计概率课件　2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第三章　概率的进一步认识 2　用频率估计概率 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前导入 典例讲练 目录 CONTENTS 课前预习 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 在实际生活中，当试验的结果有无限多个，或各种可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过 ⁠来估计概率，即在相同的条件下，用 ⁠试验所得到的随机事件发生的 来估计这个事件发生的概率. 2. 一般地，大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率稳定于某 个常数 P ，那么事件 A 发生的概率为 ⁠. 频率　 大量重复　 频率的稳定值　 P （ A ）＝ P 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 频率 概率 区别 实验值或使用时的统计值 理论值 随着试验次数的变化而变化 确定的值 联系 试验次数越多，频率越稳定于概率 3. 频率与概率的区别和联系. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 课前导入 情境引入 问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 问题2 它们的概率是多少呢？ 出现“正面朝上”或“反面朝上”两种可能结果. 都是 问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？ 导入新课 用频率估计概率 掷硬币试验 试验探究 (1)抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表： 累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面朝上” 的频数 “正面朝上” 的频率 23 46 78 102 123 150 175 200 0.46 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50 新课讲授 (2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率. 频率 试验次数 9 (3)在上图中，用红笔画出表示频率为 0.5 的直线，你发现了什么？ 试验次数越多频率越接近 0.5，即频率稳定等于概率. 频率 试验次数 (4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 n “正面向上”次数 m “正面向上” 频率( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 支持 归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该 事件发生的概率. 思考 抛掷硬币试验的特点： 1.可能出现的结果数__________； 2.每种可能结果的可能性__________. 相等 有限 问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生 的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来 估计概率吗？ 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中钉帽着地的可能性更大吗？ 　做做试验来解决这个问题. 图钉落地的试验 试验探究 (1)选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20 次，并根据试验结果填写下表. 试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率(%) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 (3)这个试验说明了什么问题. 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在 常数 56.5% 附近. 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即 P(A) = p. 归纳总结 17 判断正误 （1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1. （2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近. （3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品. 错误 错误 正确 练一练 数学 九年级上册 BS版 0 3 典例讲练 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）.规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）.下表是活动进行中的一组统计数据： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”的次 数 m 68 111 136 345 544 701 落在“铅笔”的频 率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为 （结果保留小数点后一位）； 0.3　 （1）【解析】根据表格可知，转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7， ∴转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为1－0.7＝0.3. 故答案为0.3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）经统计该商场每天约有5 000名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为4元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是8 000元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在6 000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度. 36　 （2）解：设每支铅笔 x 元，则每瓶饮料 元. 由题意，得5 000×0.7 x ＋5 000×0.3（4－ x ）＝8 000. 解得 x ＝1，则4－ x ＝4－1＝3. ∴该商场每支铅笔1元，每瓶饮料3元. （3）【解析】设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 n 度.根据题意， 得5 000×3× ＋5 000×1×（1－ ）＝6 000. 解得 n ＝36. 即转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度. 故答案为36. 【点拨】利用频率估计概率时，切忌使用少量的某次试验的频率来估计，一定是用大量重复试验后的频率的稳定值来估计. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8个黑球、4个白球和若干个红球.每次搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4.由此可估计袋中有红球 个. 8　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性.现今，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发.如图是一张边长为5 cm的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 cm2. 17.5　 【解析】∵通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，∴估计点落在黑色部分的概率为0.7.∴估计该二维码黑色部分的总面积为5×5×0.7＝17.5（cm2）.故答案为17.5. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的黑、白两种球共40个.小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，然后把它放回盒子中.不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1 000 摸到白球 的次数 m 65 124 178 302 481 599 摸到白球 的频率 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599 （1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定于 （精确到0.1）；假如你从中随机摸出一个球，你摸到白球的概率约为 （精确到0.1）. 0.6　 0.6　 （2）试估算盒子里黑、白两种球的个数. （3）在（2）的条件下，若要使摸到白球的频率为0.8，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）【解析】由统计表可知，摸到白球的频率在0.6上下波动，所以当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定于0.6.根据“用频率估计概率”可知，随机摸一个球，摸到白球的概率约为0.6.故答案为0.6， 0.6 （2）解：盒子里白球约有40×0.6＝24（个），黑球约有40－24＝16（个）. （3）解：设需要往盒子里再放入 x 个白球. 根据题意，得24＋ x ＝0.8（40＋ x ）. 解得 x ＝40. 故需要往盒子里再放入40个白球. 【点拨】解这类利用试验后的频率值估计球的个数的基本方法：通常先设出所求物体的数量，然后再根据频率与概率的关系建立方程求解.解答时容易由于没有正确理解概率与频率之间的关系，不能正确地列出方程求解. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 为奖励同学们在数学测试中取得优异成绩，九（1）班举行抽奖活动.班主任在箱子中放了3个红球和若干个白球，每个球除颜色不同外，其质地大小无区别.让同学们在暗箱中摸两次球，摸到2次白球则可获得一份奖品.同学们随机摸出一个小球，记下颜色后重新放回箱中，发现摸到红球的频率稳定在 左右. （1）估计箱中白球的个数； 解：（1）设箱子中白球有 x 个.由题意，得 ＝ . 解得 x ＝1. 经检验 x ＝1是原分式方程的解，且符合题意. 故估计箱中白球有1个. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）小高同学从箱中摸出一个球，记下颜色后放回箱中，摇匀 后再次伸手摸出一个球，求他获得奖品的概率. （2）（方法一）列表如下： 第二次 第一次 红1 红2 红3 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，红3） （白，白） 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是白球的结果有1种， ∴ P （获得奖品）＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （方法二）画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两次摸出的球恰好都是白球的结果有1种. ∴ P ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，有一个质地均匀、每个面都是等边三角形的正四面体骰子，四个面上依次标有数字1，2，3，4.小华想通过试验的方法了解抛一次该骰子朝下一面的数字是3的概率有多大.于是他开始做试验，连续抛骰子，并记录得到下表中的数据： （1）请根据表中提供的数据，将表格补充完整（结果精确到0.001）； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 抛骰子次数 朝下一面的数字是3的 频数 朝下一面的数字是3的 频率 40 8 0.200 80 22 0.275 120 29 0.242 160 41 0.256 200 52 0.260 0.200 0.275 0.242 0.256 0.260 数学 九年级上册 BS版 返回目录 抛骰子次数 朝下一面的数字是3的 频数 朝下一面的数字是3的 频率 240 60 0.250 280 69 0.246 320 80 0.250 0.250 0.246 0.250 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）根据统计表在图中画出折线统计图； （3）从统计图中你发现了什么？ （4）小华认为正四面体骰子难找，想用别的替代物进行模拟试 验，请你说出一种方法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）从折线统计图中可以看出，随着试验次数增加， 频率在0.25上下波动，所以可以把0.25作为朝下一面的数字 是3的概率的大小. 解：（2）画出的折线统计图如图所示： （4）用标有1，2，3，4点的四张扑克牌作为替代物进行模拟 试验.（答案不唯一） 【点拨】（1）试验的次数越多，所得的频率就越能反映事件概率的大小.（2）频数分布表、折线统计图、条形统计图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，可以利用它们提供的信息估计某一事件的概率.（3）利用替代物进行模拟试验时，首先要求替代物与被替代物所产生的所有可能的结果数相同，且所有结果中的每一对对应事件的概率相等；其次所选择的替代物不能比被替代物进行试验更困难，替代物通常选用扑克牌、转盘、小球、骰子等. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 在不透明的口袋中装有1个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同.已知从中任意摸出一个球，摸得红球的概率为 . （1）口袋中白球有 个； （1）【解析】设布袋中白球有 a 个.由题意，得 ＝ ，解得 a ＝2，经检验 a ＝2是分式方程的解，且符合题意，∴口袋中白球有2个.故答案为2. 2　 （2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，试用树状图或表格表示出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率； （2）解：（方法一）画树状图（略图）如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球恰好是两个白球的结果有2种， ∴ P （摸出的球恰好是两个白球）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 第二次 第一次 红 白1 白2 红 （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） 由表可知，共有6种等可能的结果， 其中摸出的球恰好是两个白球的结果有2种， ∴ P （摸出的球恰好是两个白球）＝ ＝ . （方法二）列表如下： （3）若在口袋中再添加 x 个红球，充分搅匀，从中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验2 000次，其中有1 200次摸到红球，则 x 的值为 ⁠. （3）【解析】由题意，得 ＝ ，解得 x ＝2，经检验 x ＝2是分式方程的解，且符合题意，即 x 的值为2.故答案为2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$