精品解析：浙江省金华市义乌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上学期八年级期末教学质量评价卷 数 学 考生须知： 1．全卷共4页，有3大题，23小题，满分为100分，考试时间为90分钟． 2．本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效． 3．请考生将姓名、准考证号填写在答题纸的对应位置上，并认真核准条形码的姓名、准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑． 5．本次考试不能使用计算器． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，每小题3分，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 邻角互补 D. 邻边相等 6. 用反证法证明“若周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，13小题，共70分．答题请用0.5毫米及以上的黑色签字笔书写在“答题纸”的对应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 12. 某小组名同学的英语口试成绩（满分分）依次为：，则这组数据的众数为______． 13. 已知一个多边形是七边形，则它的内角和为______度． 14. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为______． 16. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒． （1）当时，的面积为______． （2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为______． 三、解答题（本题有7小题，共52分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，对角线，相交于点O，点E在上，点F在上，连结使恰好经过点O． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 某校为了解学生做家务情况，对本校八年级学生在家平均每天做家务时长进行了调查，并随机抽取了部分八年级学生进行数据整理分析，将做家务时长分为四个等级：等（），等（），等（），等（）（表示做家务时长，单位：分钟）．下面给出了部分信息： （1）本次调查共抽取学生______人，______，并补全条形统计图． （2）这组数据的中位数所在的等级是______等．（填“”或“”或“”或“”） （3）若该校八年级学生共有人，请估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和． （1）求直线和反比例函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 22. 根据以下素材，探索完成任务． “脸谱扇”的制作、展示与包装 项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装． 素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/ 17.2 18.4 17.3 18.1 19.0 脸宽/ 12.8 13.1 13.3 12.7 13.1 素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为． 素材3 如图3，将做好脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直． 任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽． 任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值． 任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值． 23. 如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点． （1）请问：线段与满足怎样数量关系和位置关系？请说明理由． （2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长． （3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期八年级期末教学质量评价卷 数 学 考生须知： 1．全卷共4页，有3大题，23小题，满分为100分，考试时间为90分钟． 2．本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效． 3．请考生将姓名、准考证号填写在答题纸的对应位置上，并认真核准条形码的姓名、准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑． 5．本次考试不能使用计算器． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，每小题3分，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”进行判断即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可判断求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，利用点的坐标求出的值，再逐项判断各点的坐标乘积是否等于即可求解，熟知反比例函数图象上各点的坐标的乘积等于比例系数是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 、∵， ∴点不在该函数图象上； 、∵， ∴点在该函数图象上； 、∵， ∴点不在该函数图象上； 、∵， ∴点不该函数图象上； 故选：． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 邻角互补 D. 邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的邻边相等，矩形的对角线相等， 即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 6. 用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明：“若的周长为16，则较长边的长不小于4”， 则应先假设， 故选：C． 7. 已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的方差，根据方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，反之波动越小，据此即可获得答案，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，的方差为， 又∵数据，，，与数据，，，的波动大小一样， ∴数据，，，的方差为， 故选：． 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 9. 某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，设每捆衣架售价降低a元，则售价为元，销量为，根据每件的利润乘以售卖的捆数等于激励列出方程即可． 【详解】解：设每捆衣架售价降低a元，则售价为元， 销量为捆， ∴根据题意有：， 整理得： 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，如图，过点作与，可证，得到，过点作，并使，连接，则，，可得四边形是平行四边形，得到，即得，可知当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作与，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，并使，连接，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，13小题，共70分．答题请用0.5毫米及以上的黑色签字笔书写在“答题纸”的对应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 某小组名同学的英语口试成绩（满分分）依次为：，则这组数据的众数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义即可求解，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， 故答案为：． 13. 已知一个多边形是七边形，则它的内角和为______度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算，n边形的内角和为，代入计算即可． 【详解】解：七边形的内角和为， 故答案为：900． 14. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由是一个关于x的完全平方式，可得出，再利用完全平方公式可得出，即可求出a值． 【详解】解：∵是一个关于x的完全平方式， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 即， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，勾股定理，过点作轴于，设，则，，由菱形的性质可得，，在中，由勾股定理可得，解得，即得，利用中点坐标公式可得，代入反比例函数即可求解，掌握菱形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，则， 设，则，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得或， ∵点位于第二象限， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为线段的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒． （1）当时，的面积为______． （2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为______． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，当时，，，利用勾股定理求得，由旋转的性质得，，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点， 当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，由旋转的性质求得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，过点F作于点P，证明，可得，从而可得、，再利用中点坐标公式求得，再代入解析式可得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 由旋转的性质得，，， ∴， 故答案为：10； （2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点， 当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点， 由旋转的性质得，，， ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 过点F作于点P， 由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴、， ∴， 把代入得，， ∴点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、中点坐标公式、用待定系数法求一次函数解析式及勾股定理，熟练掌握相关定理求得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，共52分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘法可以解答本题； （2）根据先去括号，再根据二次根式乘法运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19. 如图，对角线，相交于点O，点E在上，点F在上，连结使恰好经过点O． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质． （1）证明，即可证明． （2）先由（1）和已知可得，根据勾股定理求得的长，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某校为了解学生做家务情况，对本校八年级学生在家平均每天做家务时长进行了调查，并随机抽取了部分八年级学生进行数据整理分析，将做家务时长分为四个等级：等（），等（），等（），等（）（表示做家务时长，单位：分钟）．下面给出了部分信息： （1）本次调查共抽取学生______人，______，并补全条形统计图． （2）这组数据的中位数所在的等级是______等．（填“”或“”或“”或“”） （3）若该校八年级学生共有人，请估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和． 【答案】（1），，补图见解析； （2）； （3）人． 【解析】 【分析】（）用等的人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可得的值，再可求出等学生人数，即可补全条形统计图； （）根据中位数的定义结合条形统计图即可求解； （）用分别乘以的占比，相加即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取学生人数为人， ∴， 故答案为：，； ∴等学生人数为人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：∵共抽取了名学生， ∴数据按照由小到大排列后，中位数为第和个数据的平均数， ∴中位数所在的等级是等， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和为人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和． （1）求直线和反比例函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据图象即可求解； （）分两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，角平分线的性质，两点间距离公式，三角形的面积，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，则，， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴为 的角平分线， ∴点到的距离相等， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得，， ∴； 过点作，交轴于点，则， ∵， ∴ 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得，， ∴点的坐标； 综上，点的坐标为或． 22. 根据以下素材，探索完成任务． “脸谱扇”的制作、展示与包装 项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装． 素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/ 17.2 18.4 17.3 18.1 19.0 脸宽/ 12.8 13.1 13.3 12.7 13.1 素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为． 素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直． 任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽． 任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值． 任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值． 【答案】（1）脸谱的长与宽分别为和；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，一元一次方程以及二次函数的应用． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）分别表示出PS和PQ，根据列方程求解即可； （3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，可得，结合二次函数的图象求解即可． 【详解】解：（1）， 答：脸谱的长与宽分别为和； （2）由题意可得，， ， ∵， ∴ 解得：； （3）解：设被剪去的小正方形边长的最大值为， 则， 整理可得，， ， ∴， ∵， ∴， 的最大值为4， 即被剪去的小正方形边长的最大值为． 23. 如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点． （1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长． （3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 【答案】（1）线段与的数量关系是、位置关系是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质即可得到线段与的数量关系是，再由，，即可得到线段与的位置关系是； （2）过点作，如图所示，利用正方形性质、勾股定理及等面积法分别求出即可得到的周长； （3）连接，过作，如图所示，由中垂线的判定与性质得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，过点作，延长，过作于，如图所示，运用等面积法及勾股定理求出，进而利用梯形面积公式、三角形面积公式求出面积，数形结合，由的面积为代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：线段与的数量关系是、位置关系是， 理由如下： 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，则； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 正方形的边长为4， ，且， 由（1）知， 在中，，， 点为的中点， ，则由勾股定理可得， 在中，由等面积法可知，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，由等面积法可知，则， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， ，， ， 的周长为； 小问3详解】 解：连接，过作，如图所示： 由（1）知， ， 是线段的垂直平分线，则， ，即是等腰三角形， ，则由勾股定理可得， 过点作，延长，过作于，如图所示： 在中，由等面积法可得，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ；， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长、三角形周长公式、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用勾股定理及等面积法求线段长，准确作出辅助线求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$