第13章 轴对称 习题课件-2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章　轴对称 一、轴对称 【考点1】轴对称及其性质 1．(2023·广州花都区期中)将坐标平面内的点P(a－2，b＋3)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，然后将所得的点作关于y轴的轴对称变换，最终所得的点为(b－1，a＋1)，则点(a，b)是(　　) A．原点 B．(0，1) C．(1，0) D．(－1，－1) A 2．如图，将 △ABC沿DE，HG，EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则 ∠2的度数为(　　) A．49° B．50° C．51° D．52° A 3．如图，在平面直角坐标xOy中，∠A＝90°，OA＝4，OB平分∠AOx，点B(a－1，a－2)关于x轴的对称点是(　　) A．(－4，3) B．(5，－2) C．(4，－3) D．(5，－3)　　 C 4．如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(4，3)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是(　　) A．(－4，3) B．(－4，2) C．(－4，2)或(－4，3) D．(4，2)或(－4，2)或(－4，3) D 5．如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)，B(1，1)，C(3，1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2 024次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标为(　　) A．(－2 019，2) B．(－2 020，－2) C．(－2 021，－2) D．(－2 022，2) D 【考点2】线段的垂直平分线 6．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD.若∠B＝75°，∠C＝35°，则∠BAD的度数为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° B 7．(2023·广州天河区期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝3，则AC等于(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 D 8．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝78°，则∠OBC的度数为(　　) A．6° B．8° C．12° D．16° C 9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，求△CDM周长的最小值. 解：如图，连接AM. ∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上运动， ∴AM＝MC. ∴△CDM的周长＝CD＋CM＋DM＝CD＋AM＋DM＝5＋AM＋DM. ∴要想△CDM的周长最小，即AM＋DM的值最小. ∵当A，M，D三点共线时，AM＋DM的值最小，此时AM＋DM＝AD＝13， ∴此时△CDM的周长＝13＋5＝18. ∴△CDM的周长的最小值为18. 二、画轴对称图形 【考点1】尺规作图 10．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中， △ABC的顶点A(－3，－1)，B(0，3)，C(－4，2). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'(保留作图痕迹)，求出点C'的坐标； 解：如图，△A'B'C'即为所求. ∵点C(－4，2)与点C'关于y轴对称， ∴C'(4，2). (2)点E是y轴上的动点，点F是线段AB上的动点，若AB为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使AE＋EF取得最小值，并求出最小值. 解：如图，过点A'作AB的垂线交y轴于点E，交AB于点F，则点E和点F的位置即为所求，此时AE＋EF取得最小值. ∵A(－3，－1)，A'(3，－1)，B(0，3)，D(0，－1)， ∴AA'＝6，OB＝3，BD＝4. ∵S△AA'B＝×AA'×DB＝×AB×A'F，AB＝5， ∴A'F＝＝. ∴AE＋EF的最小值是. 11．(2024·汕头龙湖区一模)如图，已知直线m∥n，点C在直线n上，点B到直线m，n的距离分别为2，3. (1)利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰三角形ABC，使点A在直线m上(保留作图痕迹，不写作法)； 解：∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC. 如图，△ABC即为所求. (2)若(1)中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积. 解：如图，过点C作CD⊥m于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°. ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠EAB＋∠CAD＝180°－90°＝90°. ∴∠EAB＝∠ACD. 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(AAS). ∴AE＝CD＝2＋3＝5，BE＝AD＝2. ∴CF＝DE＝5＋2＝7. ∴S△ABC＝S矩形EFCD－S△BFC－S△ADC－S△AEB ＝5×7－×3×7－×2×5－×2×5 ＝35－－5－5 ＝. 【考点2】表格作图 12．如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂上阴影，再将图中其余小正方形中任意一个涂上阴影，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有(　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 C 13．(2023·广州黄埔区期末)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3). (1)求出△ABC的面积； 解：∵A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)， ∴AB＝5. ∴S△ABC＝×5×3＝. (2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； 解：△A1B1C1如图所示，A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3). (3)在x轴上找一点P，使点P到A，C两点的距离之和最小(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，点P即为所求. 三、等腰三角形 【考点1】等腰三角形 14．已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是(　　) A．BH＝HC B．∠BAH＝∠CAH C．∠B＝∠HAC D．S△ABH＝S△AHC C 15．如图，已知点A(1，0)，M(0，1)，在坐标轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有(　　) A．4个 B．6个 C．7个 D．10个 C 16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为(　　) A．132° B．130° C．112° D．116° D 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE垂直平分AB，垂足为D，交AC于点E，延长DE交BC的延长线于点F，连接AF，BE.则等腰三角形共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 C 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使AF⊥AE，AF＝AE. (1)求证：△ABE≌△ACF； 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°. 又AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°. ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝90°. ∴∠BAE＝∠CAF. 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF(SAS). (2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接ME， 求证：ME⊥BC. 证明：如图，过点E作EH⊥MB于点H. ∵AE平分∠BAD，ED⊥AD， ∴EH＝ED. 又∠B＝45°， ∴△BEH为等腰直角三角形. ∴BH＝EH＝ED. 又BM＝2DE， ∴BH＝MH. ∴EH垂直平分MB. ∴EB＝EM. ∴∠BME＝∠B＝45°. ∴∠BEM＝90°. ∴ME⊥BC. 【考点2】等边三角形 19．(2023·广州天河区期中)如图，已知∠ABC＝60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.则下列结论：①BE＝AE；②BD＝AE；③AE＝2DE；④S△ABE＝S△CBE.其中正确的结论是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ C 20．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形.若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为(　　) A．32 B．16 C．48 D．64 A 21．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，则AD的长是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 A 22．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 C 23．(2023·深圳第二外国语学校月考)如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD. (1)求证：DB＝DE. 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE. (2)如图②，过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，交AB于点M，连接BF. ①若EM＝12，则BD＝___； 8 ②求证：AB垂直平分DF. 证明：∵AF∥BE， ∴∠AFD＝∠CED. ∵BD为△ABC的中线， ∴AD＝CD. 又∠ADF＝∠CDE， ∴△AFD≌△CED(AAS). ∴AF＝CE＝CD＝AD，DF＝DE＝BD. 又∠FDB＝∠DBE＋∠E＝60°， ∴△BDF是等边三角形. ∴BF＝BD. 又AF＝AD， ∴AB垂直平分DF. 24．在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED. (1)如图①，当∠BAC＝40°时，∠AED＝_____°. 100 (2)当∠BAC＝60°时， ①如图②，连接AD，判断△AED的形状，并说明理由； 解：△ADE是等边三角形.理由如下： ∵∠B＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝90°＋60°＝150°. ∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点， ∴EA＝EC＝ED. ∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC. ∴∠EAC＋∠EDC＝∠ECA＋∠ECD＝∠ACD＝150°. 在四边形ACDE中， ∠AED＝360°－∠ACD－∠EAC－∠EDC ＝360°－150°－150° ＝60°. 又EA＝ED， ∴△AED是等边三角形. ②如图③，F是△CDE内一点，连接CF，DF，EF，若△CDF是等边三角形，试猜想EF与AB之间的数量关系，并说明理由. 解：EF＝2AB.理由如下： 如图③，连接AD. ∵△ADE，△CDF是等边三角形， ∴DA＝DE，DC＝DF，∠CDF＝∠ADE＝60°. ∴∠CDF－∠ADF＝∠ADE－∠ADF，即∠CDA＝∠FDE. ∴△CDA≌△FDE(SAS).∴AC＝EF. ∵∠B＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°.∴AC＝2AB. ∴EF＝2AB. 四、最短路径问题 【考点1】将军饮马 25．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是(　　) D 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，且△ABC的面积为27，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.若点D为BC的中点，点P为直线EF上一动点，则△PCD周长的最小值为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 B 27．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° B 【考点2】垂线段最短 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是BC上一点，连接AD，点D到AB的距离等于CD的长，P，Q分别是AD，AC上的动点，连接PC，PQ，求PQ＋PC的最小值. 解：∵点D到AB的距离等于CD的长， ∴AD是∠CAB的平分线. 如图，过点C作CH⊥AB交AD于点P，垂足为H， 过点P作PQ⊥AC于点Q. ∴PQ＝PH. ∵PC＋PQ＝PC＋PH＝CH， ∴此时PQ＋PC有最小值. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴×6×8＝×10CH. ∴CH＝. ∴PQ＋PC的最小值为. 29．如图，已知∠AOB＝15°，点M在边OB上，且OM＝4，点N和点P分别是OM和OA上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 【考点3】造桥选址 30．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽均为5 m，从A处到达B处，须经过两座桥(桥宽不计，桥与河垂直)，若护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从A处到B处的路程最短？请确定两座桥的位置. 解：如图，D'D，E'E即为两座桥的位置.作法如下： (1)过点A作AF⊥CM，使AF等于河宽，过点B作 BG⊥CN，使BG等于河宽(相当于将桥平移到AF， BG的位置)； (2)连接GF，分别与河岸C'N'，C'M'相交于点E'，D'； (3)过点D'作D'D⊥CM于点D，过点E'作E'E⊥CN于 点E，连接BE，AD. 由作图，可知最短路径为AD，DD'，D'E'，EE'，BE， ∴D'D，E'E即为两座桥的位置. $$