25.2 用列举法求概率 同步分层训练（提升版）2023-2024学年 人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 25.2 用列举法求概率 同步分层训练（提升版） 方法与技巧 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 解题时首先要明确等可能试验的两个特点：结果有限且每种结果的可能性相等。其次，通过直接列举、列表或画树状图等方法，全面且不重不漏地列举出所有可能的结果。接着，根据题目要求，筛选出符合条件的结果数量。最后，利用概率公式P(A) = m/n（m为符合条件的结果数，n为所有可能的结果数）计算概率。解题技巧在于确保列举的完整性和准确性，同时理解并应用概率的基本概念和公式。 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、选择题 1．如图有四个转盘，其中C，D转盘分成8等分．让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（　　）． A． B． C． D． 2．甲、乙两人掷两个普通的立方体骰子，若掷出的点数之和为7，则甲赢；若掷出的点数之和为8，则乙赢．这个游戏规则（　　）． A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 3．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 4．如图所示，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）. A． B． C． D． 5．从标有数字0，2，4，6的四张牌中任意抽出两张，所得牌上的数字之和最可能是（　　）. A．2 B．4 C．6 D．8 6．在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4的概率为（　　） A． B． C． D． 7．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分若从这四部著作中（随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 9．从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 10．如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针(如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一区域)所指颜色相同的概率为（　　） A． B． C． D． 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．小红、小芳、小明在一起做游戏，他们约定用“石头、剪刀、布”的方式确定做游戏的先后顺序．在一个回合中，三个人都出“布”的概率是　 　． 12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块正方形地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　 　 13．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的四个小球，这四个小球的材质、大小和形状完全相同．现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数之积大于9的概率为　 　 14．如图，小球从 A人口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从H出口出来的概率是　 　 15． 某校举行“红船颂”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是　 　 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 16．一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求两次指针都落在红色区域的概率． 17．在由边长为1的正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C(可以与A，B两点重合)，求能构成△ABC，且使得△ABC的面积为1的概率． 18．某班要从甲、乙两名男生和丙、丁两名女生中随机选派一名男生和一名女生参加全校诗词大赛．请用画树状图法或列表法列举出所有可能的结果． 19．如图，两个转盘中指针落在每个数字所在区域的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后指针各指向一个数字所在区域(如果指针恰好指在分隔线上，那么重新转动转盘)，用所指的两个数作乘积．请你列举(用列表或画树状图)所有可能得到的积． 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 四、综合题 20．不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，红球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为． （1）袋中黄球的个数为　 　． （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率． 21．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上. （1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　 　. （2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）. 22．某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动.班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为　 　； （2）用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率. 23．甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局. （1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为　 　. （2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率. 答案与解析 三人行必有我师！ 1．答案:A 解析： A、指针落在阴影区域内的概率为：； B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：； C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：； D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： ∵ ∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是： 故答案为：A． 分析： 利用指针落在阴影区域内的概率是：分别求出概率比较即可． 2．答案:B 解析：设所有情况数为n，两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况， 所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以甲赢的概率大，所以游戏规则对甲有利. 故答案为：B． 分析： 游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 3．答案:D 解析： 画树状图如图. ∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况， ∴两次摸出红球的概率为 . 故答案为：D. 分析：先画出树状图或列表，求出所有等可能的结果数和两次摸出红球的情况数，利用概率公式求解. 4．答案:B 解析：解：正方形共有16个方格，其中黑色部分占3个方格，剩下的总方格数=16-3=13（个），现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的情况有五种，如下图所示： 所以P（再次构成轴对称图形）=. 故答案为：B. 分析：（1）根据正方形的性质，得出出黑色部分以外的总方格数； （2）根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线对折后，能够完全重叠，那么这两个图形是轴对称图形，因此，在正方形中可以找到5种情况； （3）根据概率公式，P=，即可求出再次构成轴对称图形的概率. 5．答案:C 解析：解：列树状图如下， 由树状图可知，共有12种情况，其中和为6的情况是4种，最多，故所得牌上的数字之和为6的可能性最大. 故答案为：C. 分析：分析事件发生的数量，根据可能性大小的比较，在其他条件相同时，事件发生的可能性与数量的多少有关，数量越多，发生的可能性越大. 6．答案:A 解析：解：画树状图得： ∵共有12种等可能得结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况 ∴在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4的概率为 故答案为：A 分析：画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出任取两个不同的数，其乘积大于4的结果，再根据简单事件的概率即可求出答案. 7．答案:B 解析：解：把 《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图为： 由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数， 故P（ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 ）=. 故答案为：B. 分析：此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，从而根据概率公式即可算出答案. 8．答案:B 解析：解：设《论语》为A，《孟子》为B，《大学》为C，《中庸》为D，根据题意画出树状图： 由图可知：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种， ∴p（恰好是《论语》和《大学》）=. 故答案为：B. 分析：此题是抽取不放回类型，设《论语》为A，《孟子》为B，《大学》为C，《中庸》为D，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种，从而根据概率公式计算可得答案. 9．答案:C 解析：解：根据题意画图如下： 共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种， 则甲被选中的概率为. 故答案为：C. 分析：画出树状图，找出总情况数以及甲被选中的情况数，然后根据概率公式进行计算. 10．答案:D 解析：解：列树状图如下 一共有9种结果数，转到其中一区域)所指颜色相同的有3种情况， ∴P（转到其中一区域)所指颜色相同的）=. 故答案为：D 分析：根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及转到其中一区域)所指颜色相同的情况是，然后利用概率公式进行计算. 11．答案: 解析： 把石头、剪刀、布分别记为石、剪、布， 画树状图如下： 共有27种等可能的结果，其中在一个回合中三个人都出“剪刀”的结果有1种， ∴在一个回合中三个人都出“剪刀”的概率为. 故答案为：. 分析：先画出画树状图，分别得出所有情况数与符合条件的情况数，利用概率公式求解. 12．答案: 解析：解：总面积为，阴影部分面积为=6， 该小球停留在白色区域的概率是. 故答案为：. 分析：分别求出总面积与阴影部分面积，利用概率公式求出该小球停留在白色区域的概率. 13．答案: 解析： 根据题意列表得： 　 2 3 4 5 2 —— （3，2） （4，2） （5，2） 3 （2，3） —— （4，3） （5，3） 4 （2，4） （3，4） —— （5，4） 5 （2，5） （3，5） （4，5） —— 由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种， 所以两个小球上的数字之积大于9的概率为 故答案为：． 分析：先根据题意列出表格，分别求出所有可能情况数与符合条件的结果数，利用概率公式求解. 14．答案: 解析：解：根据题意画出树状图如下： 由图可知：共有4种等可能的结果数，其中小球从H出口出来的结果数只有1种， ∴ 小球从H出口出来的概率是 . 故答案为： . 分析：根据题意画出树状图，由图可知：共有4种等可能的结果数，其中小球从H出口出来的结果数只有1种，从而根据概率公式可算出答案. 15．答案: 解析：画树状图得： ∴一共有12种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有2种情况， ∴甲、乙同学获得前两名的概率是 分析：先画出树状图或列表，求出所有等可能的结果数和甲、乙同学获得前两名的情况数，利用概率公式求解. 16．答案:解：红、白扇形的圆心角度数之比为3：2，把转盘分成5等份，则白色扇形占2份，红色扇形占3份，如图所示： 红色区域的三份分别记为A、B、C；白色区域的两份分别记为D、E，根据题意画出树状图如下： 由图可知：所有等可能的结果总数为25，其中两次指针都落在红色区域的有9种， 所以两次指针都落在红色区域的概率为： . 解析：红、白扇形的圆心角度数之比为3：2，把转盘分成5等份，则白色扇形占2份，红色扇形占3份，红色区域的三份分别记为A、B、C；白色区域的两份分别记为D、E，根据题意画出树状图，由图可知：所有等可能的结果总数为25，其中两次指针都落在红色区域的有9种，从而根据概率公式可得答案. 17．答案:解：由题意可知点C的位置共有16（种）， 如图，可找到6种位置可使C与A、B构成△ABC，且使得△ABC的面积为1， ∴能构成△ABC，且使得△ABC的面积为1的概率为：. 解析：当点C与点A在同一条网格线上时，AC边上的高为1， AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条网格线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，即符合条件的C点共有4个，再根据概率公式求出概率即可. 18．答案:解：画树状图如图所示， ∴共有4种等可能的结果：甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁． 解析：根据男生有2种选择的可能，女生有2种选择的可能，即可画出树状图. 19．答案:解：画树状图如下， ∴所有可能得到的积为：1，2，3，4，6，8，9，12． 解析：根据甲转盘有4种可能，乙转盘有3种可能，用树状图表示出所有情况，再计算出所指的两个数的乘积 ，即可得出结论． 20．答案:（1）1 （2）解：画树状图得： ∴共有 12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况， ∴两次都是摸到白球的概率为：． 解析：(1)设袋中蓝球的个数为x个， ∵从中任意摸出一个是白球的概率为， ∴， ∴解得： x= 1， ∴袋中蓝球的个数为1； 分析：（1）根据题意先求出，再解方程求解即可； （2）先画树状图，再求出共有 12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况， 最后求概率即可。 21．答案:（1） （2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果： ∵以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率. 解析：（1）解：根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形， 所画三角形是等腰三角形的概率； 故答案为：； 分析：（1）根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，然后根据概率公式进行计算； （2）画出树状图，找出总情况数以及所画的四边形是平行四边形的情况数，然后根据概率公式进行计算. 22．答案:（1） （2）解：根据题意，列出表格如下： 小兰 小红 小丽 小倩 小兰 　 小红，小兰 小丽，小兰 小倩，小兰 小红 小兰，小红 　 小丽，小红 小倩，小红 小丽 小兰，小丽 小红，小丽 　 小倩，小丽 小倩 小兰，小倩 小红，小倩 小丽，小倩 　 共有12种等可能出现的结果，其中小丽被抽中的有6种结果， 小丽被抽中的概率为. 解析：解：（1）根据题意可得：第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为， 故答案为：； 分析：（1）直接根据概率公式进行计算； （2）列出表格，找出总情况数以及小丽被抽中的情况数，然后根据概率公式进行计算. 23．答案:（1） （2）解：画树状图如下： 由树状图可知总共有9种情况，其中甲获胜的有3种情况，故概率为. 解析：（1）解：由题意得：他出的手势为剪刀的概率为； 故答案为； 分析：（1）直接根据概率公式进行计算； （2）画出树状图，找出总情况数以及甲获胜的情况数，然后根据概率公式进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 $$