广东省东莞市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检查数学试题

2023一2024学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1.已知向量a=(2,-1),b=(1,)(1∈R),若a6,则1= A.2 C.-2 2.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一、高二、 高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比 例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为 亮二 高三 30% 30% 高一 40% A.90 B.100 C.120 D.160 3.梭长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为 3 A. B.3m2 C.6m2 D.12m2 4.若(2+i)z=1-i,则zz= 8 B.2 c D. 5,已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若m/1a,nca,则m/n B.若mCa,nCB,且m⊥n,则a⊥f C.若aI1B,nca,则n/1B D.若a⊥B,mca,则m⊥B 6.已知向量OA=a,OB=五，且日=园=a-i=3,任意点M关于点A的对称点为S,点S关 于点B的对称点为N,则= A.45 B.6 C.25 D.3 7.已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2BC,则异面直线PB与 AC所成角的余弦值为 A. 1-5 B. c.2 D. 5 5 高一数学第1页（共4页） 鬓恤：扫描全能王创建 8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚般子 两次，设事件M=“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的是 A,第一次朝上面的数字是偶数 B.第一次朝上面的数字是1 C.两次朝上面的数字之和是8 D.两次朝上面的数字之和是7 二、多顶选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把正确选项在答 题卡中的相应位置涂黑： 9.已知某地一周每天的最高温度（单位：℃）分别为：31、27、26、28、27、30、27，则下列关 于这组数据的结论中正确的是 A.众数是27 B.极差是4 C.中位数是28 D.平均数是28 10.已知⊙0的半径为2，△ABC为其内接三角形，则下列结论中正确的是 A.若A=,则0B.0C=-2 B.若A-号，则△MBC网长的最大值为65 C.若而.B=1,则A团=√反 D.若A0o.店=1，则△ABC面积的最大值为3√5 11.如图，在校长为1的正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别为AB,AD的中点，平面C经 过点C,E,F,且与C,D交于点G,则下列结论正确的是 A.AC,/1平面a B.平面a⊥平面BB,F C.CG:GD=3 D.二面角E-FG-及的正切值为25 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上 2.假设P(-之P(到=有且A与B相互独立，则P回= 13.己知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成 上下两部分的体积之比为 14.已知圆O的半径为1，点A是圆0上的动点，BB2…B224为圆0内接正2024边形，则 Oa+0B+0B3+…+0B2 一，瓜2+瓜2++B2= 一2 高一数学第2页（共4页） 扫描全能王创建 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内， 超出指定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a cos C=√3 csin A. (1)求角C: (2)若b=2,c=1,求△ABC的而积. 16.(本小题满分15分) 某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制定停车收费方案时，需 要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位：mi),按(0,20]，(20,40]， (40,60],(60,80],(80,100]分成5组，其频率分布直方图如下， 十器 0.0175= 0.0075 0.005 时间(min) 020406080100 (1)如果该超市计划奖励35%的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多 长时间？ (2)记t。=t+5,其中t为样本平均数，S为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过 。的客户征收更高的停车费，求。（精确到个位）（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内 均匀分布，参考数据：√J35≈5.9) 17.(本小题满分15分) 某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色 外，完全相同)的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖， 否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立 (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率： (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率 高一数学第3页（共4页） 暖扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 如图1，△ABC是边长为3的等边三角形，点D,E分别在线段AC,AB上，且AE=1,AD=2, 沿DE将△MDE翻折到△PDE的位置，使得PB=√5，如图2. E B 图1 图2 (1)求证：平面PDE⊥平面BCDE: (2)在线段PB上是否存在点M,使得EM1/平面PCD,若存在，求出PM 的值：若不 MB 存在，请说明理由。 19.(本小题满分17分) 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 (3,2)(名，2∈C)看作一个向量，记ā=（名，2），称ā为复向量.类比平面向量的相关运算法 则，对于ā=（名，），万=(，)，马、2、3、2、1∈C，我们有如下运算法则： ①a±b=(名±223±z:②ā=(，z):③ā.i=z+z2z4:④a同=√aā. (1)设ā=(1,2-i),b=(1+i,2i),求a6和a+: (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论ā·（仍+）=ā·b+ā，c, 判断其是否正确并说明理由： (3)设a=(2+2i,2),集合2={市=（名，22），z2=名+2,1,2∈C},Be2.求a-月的 最小值：并证明当反-可取最小值时，对于任意的y∈2，(a-)(B-)=0. 高一数学第4页（共4页） 菱恤扫描全能王创建2023一2024学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案 单项选择题 题号 1 2 5 6 7 答案 D C B C A B D 二、多项选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AD ABC BCD 三、填空题(14题第一空2分，第二空3分) 2 13.19:37 14.1,4048 四、解答题 a 15.解：(1)在三角形ABC中由正弦定理有： 6 =1,…1分 sin A sin B sin C 则a=1SinA,b=tsin B,C=1SinC,…2分 代入acosC=√3 csin A可得sin AcosC=√3 sin Csin 4,…3分 又因为A∈(0，π），所以sinA>0, …4分 所以cosC=√3sinC,… …5分 所以tanC= …6分 3 又因为C∈(0，π)，所以C= 小…7分 6 【解法1】因为C=,由余弦定理有c2=a2+b2-2 abcosC=1,…8分 6 a2-2W3a+3=0, …9分 解得a=√5，… …10分 所以S=。AC,BCsinC, ……11分 所以在三角形ABC中，S=)AC.BCsinC=×2×5si加=5 …13分 2 2 62 【解法2】因为C=元，由正弦定理有 C 小…8分 sin B sinC 解得SinB=1,…9分 因为B∈(0，π)，所以B= …10分 所以a2=b2-c2=3,a=5, …11分 所以在三角形ABC中， S-3AB.BC= …13分 2 2 16.解：(1)根据频率分布直方图中小长方形的面积和等于1， 得(0.005+a+0.0175+0.0075)×20=1,解得：a=0.0125,…2分 设第35百分位数为x,则0.005×20+(x-20)×0.0125=35%,…4分 解的x=40.… …5分 所以可以允许车辆免费停车40分钟不收费…6分 (2)车辆平均停车时间为 1=0.005×20×10+0.0125×20×30+0.0175×20×50+0.0075×20×70+0.0075×20×90=50, …+…+9分 s2=(10-50)×0.1+(30-50)2×0.25+(50-50)×0.35+(70-50)×0.15+(90-50)×0.15=560 …12分 .5=√560=435≈24，…14分 所以t0=1+S≈50+24=74.……15分 17解：(1)设2个白球为州，%，3个红球为，2,5，则不放回地依次摸出两个球的样本空间为： {(%,2),(%,5),(9,2),(g,3)(%,w),(%,),(%,2),(w,5)(5,w,(5,w),(,2) (,5),(2,%),(2,%2),(3,),(2,5),(5,%),(5,%),(3,5),(5,2)},其中共有20个样本点 小…3分 设一次抽奖中奖为事件A,则A={(m,%),(%2,)(,5)(G,5),(5,,(5,5),(G,)(,5)},其中 共有8个样本点， …5分 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型， 因此P(A)= 82 …6分 205 2 即若某顾客有一次抽奖机会，中奖的概率为 …7分 (2)设在第i次抽奖时中奖为事件A,i=1,2, 由于每次抽奖的情况相同，由（①可知P代4）=号，P(=}=12,9分 设两次抽奖至少有一次中奖为事件B,则B=A4UAA,UAA,,…10分 其中AA、AA2、AA,为互斥事件， P(B)=P(AA)+P(AA)+P(A4). …11分 因为每次抽奖之间相互独立， 所以P(AA)=P(A)P(A2)= ……12分 25 6 P(A4)=P(A)P(A)= …13分 25 P44)=P(40P雨)=25 小…4分 4.6616 所以P(B)= 十 25252525 16 即若某顾客有两次抽奖机会，至少有一次中奖的概率为 …15分 25 (备注：利用对立事件求解的相应给分) 18.解：【解析】(1)在△PDE中，PE=1,PD=2,∠EPD=60°， 由余弦定理得DE2=PE2+PD2-2PE.PDcos60心=3， 所以PE2+DE2=PD,所以PE⊥DE,，…2分 在△PBE中，PE=1,BE=2,PB=N5, 所以PE2+BE2=PB2,所以PE⊥BE,…4分 又因为BE∩DE=E,BE、DEc平面BCDE, 所以PE⊥平面BCDE,又PEC平面PDE,6分 所以平面PDE⊥平面BCDE. …7分 (2)在平面BCDE中，过点E作EF/ICD,交BC于F,在平面PBC中，过点F作FM/IPC, 交PB于M,连接ME,…9分 如图所示： 因为EF/ICD,CDc平面PCD,EF立平面PCD,所以EFII平面PCD, 同理可得MF/平面PCD,…I1分 又因为EF∩MF=F,EF,MFc平面MEF, 所以平面PCD//平面MEF,…l3分 因为MEc平面MEF,所以ME/平面PCD, 14分 即M即为所求的点，… 里4■年年04a里4年年4年e年年e4 …15分 因为EF1/CD,即EF11AC,所以CF=4E=I FB EB 2 又因为FMI/PC,所以 PM CF 1 =。,即此时 PM 1 …17分 MB FB 2 MB 2 19.解：(1)石.b=1(0-i）+(2-i)-(-2i)=1-i-4i-2=-1-5i,…1分 石+b=(2+i,2+i),…2分 a+=V@+-(@+b=√2+i(2-i)+(2+i)-(2-i=10,…3分 (2)【解法1】设a=(x1+yi,x2+yi),b=(x+yi,x4+y),c=(x+y,x。+y), 其中x,y∈R,j=1,2,3,4,5,6,… …4分 i+c=(K+x+0y3+)i,x4+x6+0y4+y%)i川… …5分 a-(⑥+)=(g+yig+x-03+)+(3+i0+x。-0y+y)D =x(6+x)++)-x0+)i+(g+xyi+x(化+x)+y+%)-x+y%)i+(c+x)yi =+x水+乃++式4+x%+2y+%+(-x乃-x+x+xy-xy4-y%+x+)i a.b=(x+yi)(x3-yi)+(x2+y2i)(xa-yji) =Xx3+yiy3-xVi+x3yi+xx+y2y-x2yi+XaV2i …7分 =xx3+3+x2x4+y2y4+（-xy+x-x2y4i+乃)i 同理c=xx+以++yy%+(仁x以+x-x%i计乃)i 所以 ab+a.c =xx3+xxs+yV3+yVs+xx3+xx+y2V+y2Y6+(-xV3-xYs+xV+xV-xV-xys+xaV2+xV2)i 4.444444444 …8分 所以a,(b+)=ab+d,c… …9分 【解法2】设=(，22)，b=(3,4),c=(2,26),、3、3、24、、6eC, …4分 万+c=(3+25,24+z6),a.6=z+224,c=25+2226 a-(6+）=z,(么+2写)+z2(亿4+26)，…7分 因为33+25=23+25,24+26=24+26， …8分 所以ā（⑥+c)=z(日++a(+6 =3+3+224+226=23+224+名3+32=.b+C,结论正确…9分 (3)设B=(m+i,m+2+ni,m,n∈R则a-B=(2-m+(2-m)i,-m-i),…11分 a-月=2-m+(2-n)-[2-m-(2-n]+(-m-i)-(←m+i,…12分 =V(2-m)}2+(2-n}2+(-m)2+n2=√2m2+2n2-4m-4n+ =V2(m-1+2n-1+422当且仅当m=n=1时，等号成立，…13分 故a-月的最小值为2.… …14分 此时p=(（1+i,3+i)则a-p=(1+i,-1-),…15分 设y=(s+i,s+2+i),3,1∈R,则B-y=1-s+(1-)i,1-s+1-t0i,…16分 则(a-)-(p-=1+i1-s-(1-01+(-1-i1-s-(1-1=0,结论成立.…17分