第03讲 直线与平面的位置关系（4个知识点+4种题型+强化训练）【帮课堂】-2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第03讲 直线与平面的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养. 1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点) 2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点) 4.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 5.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点) 5.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 7.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点) 知识点01：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即学即练1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明　连接BC1(图略)， 在△BCC1中， ∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1， 且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G， AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G. 知识点02：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明　方法一　∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O＝，OM＝，A1M＝3， ∴A1O2＋OM2＝A1M2， ∴A1O⊥OM， 又OM∩BD＝O， ∴A1O⊥平面MBD. 方法二　连接A1B，A1D，OM(图略)． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， A1B＝A1D， O为BD的中点， ∴A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2， 在Rt△A1AO和Rt△OCM中， tan∠AA1O＝＝， tan∠COM＝＝， 故△A1AO∽△OCM， ∴∠AOA1＋∠COM＝90°， ∴∠A1OM＝90°， ∴A1O⊥OM， ∵BD∩OM＝O， BD⊂平面MBD， OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 知识点03：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【即学即练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 知识点04：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 【即学即练4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是　 　． 【分析】依据三垂线定理，要使，必须有，即以为直径的圆应与有公共点即可，从而可求的范围． 【解答】解：平面，平面， ； 要使，依三垂线定理得，必须有，而为矩形的边上的一个点， 以为直径的圆应与有公共点， ，宽， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 题型01 证明线面平行 【解题策略】 应用判定定理证明线面平行的步骤 “找”是证题的关键，其常用方法有： （1）空间直线平行关系的传递性法； （2）三角形中位线法； （3）平行四边形法； （4）成比例线段法．　 【例1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，为的中点. (1)求异面直线与所成的角； (2)判断与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)平面，理由见解析 【分析】（1）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可. （2）通过线面平行判定定理判断. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角. 设，则，，所以. 所以异面直线与所成的角为（结果也可写成或）. （2）平面 连接，交于，连接, 在中，分别为、中点，为的中位线，所以. 因为平面上，而平面上， 由直线与平面平行的判定定理得，平面. 【变式1-1】．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】在中，因为，分别是、的中点，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. 【变式1-2】．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理； （2）把（1）中的定理用反证法证明； （3）如图，在正方体中，点N在上，点M在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明）    【答案】【小问1】答案见详解     【小问2】证明见详解     【小问3】证明见详解 【分析】（1）利用数学语言写出已知，求证； （2）作出图形，假设与不平行，则它们相交，即，作出辅助线，推出，与矛盾，证明出结论； （3）作出辅助线，得到四边形是平行四边形，得到线线平行，得到线面平行. 【详解】（1）已知：上，，，求证：． （2）如图所示，证明：    假设与不平行，则它们相交， 设交点为，那么， ∵， ∴A不在b上， 在内过A作，则， 又∵，， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，． （3）如图，作，交于点，作，交于点，连接， 则，，    因为在正方体中，，， 所以，则， 因为，所以， 又，，则， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． 【变式1-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD. 证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN. ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN＝DC. ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM＝DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG. 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 题型02 证明线面垂直 【解题策略】 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 【例2】．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理分析论证即可得证. （2）利用线面平行的判定定理分析论证即可得证. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以，又由， 而，平面，平面， ∴平面. （2）证明： 如上图，连接交于，连接， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 【变式2-1】．（22-23高二下·上海普陀·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，O是BD的中点．    (1)求证：平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）分别取，的中点，连接，找出异面直线所成角，然后结合余弦定理即可得到结果. 【详解】（1）   证明：在三角形中，因为，且O是BD的中点，所以， 且，连接，在等边三角形中易得， 所以，所以. 因为，且平面，所以平面BCD. （2）   分别取，的中点，连接， 因为，且，，且， 所以或其补角就是异面直线所成角， 连接，因为平面，所以， 所以在中，斜边上的中线， 又因为，， 所以在三角形中，. 因为，所以异面直线AB与CD所成角为. 【变式2-2】．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）通过线面平行的判定定理证得平面. （2）根据通过证明来证得平面. 【详解】（1）由于分别为棱的中点， 所以，由于四边形是矩形，所以， 所以，由于平面，平面， 所以平面； （2）由于，是的中点，所以. 由于平面平面且交线为， 平面，，所以平面， 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面. 【变式2-3】．（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得证； （2）因为与底面所成的角求得的值，再由，可得与所成的角等于异面直线与所成的角，在中，由余弦定理可得的余弦值，即求出所求的角的大小． 【详解】（1）连接，，因为长方体中，所以， 因为底面，底面， 所以， 又因为，平面， 所以平面； （2）因为与底面所成的角为，底面， 所以为与底面所成的角，所以， 所以， 连接，所以， 又， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以与所成的角等于异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以异面直线与所成的角为． 题型03 直线与平面所成的角 【解题策略】 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角． (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角． (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)． (4)答． 【例3】．（23-24高二下·上海·期末）如图，在长方体中，已知，，点为棱的中点．求直线与平面所成角的正切值． 【答案】． 【分析】根据长方体的性质可证得直线与平面所成角就是，根据即可求得． 【详解】因为长方体，且， 因为⊥，⊥，，平面， 所以⊥平面，故直线与平面所成角就是， 在中，由已知可得， 因此，， 即直线与平面所成角的正切值为． 【变式3-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，是异面直线与所成角（或其补角），求解即可； （2）连接，因为平面，是直线与平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接，则， 所以是异面直线与所成角（或其补角）， 因为点为弧的中点，所以， 所以异面直线与所成角为； （2）设圆柱底面半径为，由已知，则， 连接，因为平面， 所以是直线在平面上的射影， 所以是直线与平面所成的角， ， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式3-2】．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【详解】（1）证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 【变式3-3】．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）取的中点，证得平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 因为，正三棱柱的体积为,所以 在直角中，可得， 在直角中，可得， 取的中点，连接，在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）取的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面平面， 且平面平面，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，且， 在直角中，可得，所以. 所以直线与平面所成的角为. 题型04 证明线线平行的常用方法 【解题策略】 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 【例4】．（24-25高二·上海·假期作业）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】首先利用线面平行的判定定理证明平面，进一步即可得证. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 【变式4-1】（23-24高二下·上海青浦·期末）如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）过作于，连接，可得平面，则为直线与平面所成角，解三角形即可求得直线BD与平面PAC所成角的大小； （2）由O是的中点，D是的中点，可得，则得平面，得，则． 【详解】（1）过作于，连接， ∵平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，∴为直线与平面所成角， ∵，不妨设， 将矩形沿对角线折起后，仍有， 又D是的中点， 可得， ， ∴在中，，， ， ∴直线与平面所成角的大小为． （2）是的中点，是的中点，， 又平面，平面，平面PBC， 又∵平面平面，平面，， ． 【变式4-2】．（2023高二上·上海·专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”来证明. 【详解】如图： ∵，，∴. 同理. ∵，，平面，∴平面. 又∵，，∴. ∵，，，平面， ∴平面. ∴. 【变式4-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 一．选择题 1．（2023秋•嘉定区校级期中）已知直线，和平面，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行的判定与性质定理可得：直线，和平面，，则“”与“”相互推不出．即可判断出关系． 【解答】解：直线，和平面，，则“”与“”相互推不出． “”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（2023秋•普陀区校级期中）在正方体的底面内有一点，且平面，则的最小值是　　 A． B． C．1 D． 【分析】由已知可得，由此可得最值． 【解答】解：设正方体棱长为1，因为平面，可得点在过点， 且与平面平行的平面上，即点在平面上， 又因为点是底面 内一点， 所以，所以． 则的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查线面的位置关系，属于基础题． 3．（2022秋•长宁区校级期中）下列四个正方体图形中，、、、、分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断． 【解答】解：对于，由题意得，，而，， 平面，平面，平面，平面， 故平面平面，而平面，故平面，故正确； 对于，取的中点，底面中心，则，故与相交，故错误； 对于，，故平面，则平面，故错误； 对于，作平行四边形，则与相交，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题． 二．填空题 4．（2023秋•松江区校级月考）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是 　平行或异面　． 【分析】根据线面，线线关系判断即可． 【解答】解：∵a∥α，b⊂α， ∴a和b没有公共点， ∴a，b平行或异面． 故答案为：平行或异面． 【点评】本题考查了线线，线面关系，是基础题． 5．（2023秋•普陀区校级月考）设常数．如图，在矩形中，，，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 　　． 【分析】根据平面，得，若线段上存在点，使得，则有平面，从而得，再根据勾股定理，即可求得符合条件的的范围． 【解答】解：设边上存在点，使得，连结， 由面，得，又， 所以面，则， 设，则， 在中，有，即， 整理得，△， 当△，即时，无解，此时点不存在； 当△，即时，解得，此时点为中点； 当△，即时，解得，此时点有两个； 综上，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查线面垂直的定义、性质及判定的综合运用，属基础题． 6．（2023秋•浦东新区期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 　1　． 【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果． 【解答】解：如图， 在正方体中，面， 所以平面面，且平面面， 连接交于，则有，即， 由面面垂直的性质定理有平面， 又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条， 故垂足点有且仅有一个． 故答案为：1． 【点评】本题考查空间位置关系的性质和判定定理的应用，属于中档题． 7．（2023秋•松江区校级月考）已知点，，，均在半径为2的球面上，满足，，，若平面，则　　． 【分析】易得，以，，为长宽高作长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，再利用勾股定理即可得解． 【解答】解：由，，， 得， 所以， 又平面， 如图，以，，为长宽高作长方体， 则长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径， 即， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，棱锥的体积，属于中档题． 三．解答题 8．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在直三棱柱中，已知，，，为的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：平面． 【分析】（1）利用余弦定理即可得；（2）结，交于点，连结，先证明线线平行，即可得线面平行． 【解答】（1）解：如图，取的中点，连结，，， 由是平行四边形知， 则（或其补角）就是异面直线与所成的角． 在△中，， ，， 则． 所以异面直线与所成角的大小为． （2）证明：如图，连结，交于点，连结． 因为四边形为矩形，所以为中点， 又因为为的中点，所以，又因为平面， 平面，所以平面． 【点评】本题考查异面直线所成的角，考查线面平行的判定，属于基础题． 9．（2023秋•黄浦区校级月考）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理； （2）把（1）中的定理用反证法证明； （3）如图，在正方体中，点在上，点在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明） 【分析】（1）利用数学语言写出已知，求证； （2）作出图形，假设与不平行，则它们相交，推出矛盾，证明出结论； （3）作出辅助线，得到四边形是平行四边形，得到线线平行，可得线面平行． 【解答】解：（1），，，则． （2）如图所示，证明： 假设与不平行，则它们相交， 设交点为，那么，，不在上， 在内过作，则， 又，，，与矛盾，假设不成立，． （3）证明：如图，作，交于点，作，交于点，连接， 则，， 因为在正方体中，，， 所以，则， 因为，所以， 又，，则， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． 【点评】本题考查线面平行的判定和应用，属于基础题． 10．（2024春•嘉定区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， （1）求证：AB∥平面A1DCB1； （2）求直线A1B与B1C所成的角的大小； （3）求证：BC1⊥平面A1DCB1． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据异面直线所成角定义求解； （3）根据线面垂直的判定定理可证． 【解答】（1）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知AB∥A1B1， 而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1， 所以AB∥平面A1DCB1； （2）解：如图，连接A1D，BD， 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1∥CD，A1B1＝CD， 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C， 所以∠DA1B（或其补角）是直线A1B与直线B1C所成角，又A1D＝A1B＝BD， 所以∠DA1B＝60°， 所以直线A1B与直线B1C所成角为60°； （3）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 可知A1B1⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C， 所以A1B1⊥BC1， 又因为BC1，B1C是正方形BB1C1C的对角线，因此BC1⊥B1C， 又A1B1∩B1C＝B1，且A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1． 【点评】本题考查线面平行的判断定理的应用，线面垂直的判断定理的应用，异面直线所成的角的求法，属于中档题． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【分析】（1）连接，交于点，连接，则，由此能证明平面． （2）推导出，，，从而平面，，平面，，，由此能证明平面． 【解答】证明：（1）连接，交于点，连接， 底面是正方形，是的中点， 是的中点，， 平面，平面，平面． （2）底面是正方形，侧棱底面，，是的中点， ，，， ，平面， 平面，， ，平面， 平面，， ，，平面． 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，、分别是、的中点． （1）证明：平面． （2）鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据中位线的性质得到四边形为平行四边形，即可得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直的性质可判断． 【解答】（1）证明：如图，取中点，连接，，，，分别为，，的中点， ，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面． （2）解：能找到鳖臑，例如四面体（不唯一）． 底面，则，， 又为正方形，则，又，， 平面，， 则，，，均为直角三角形， 四面体为鳖臑（不唯一）． 【点评】本题考查线面平行，线面垂直的判定和性质，属于基础题． 13．（2023秋•杨浦区校级期末）在直三棱柱中，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角． 【分析】（1）根据题意，设与的交点为，由线面平行的判定定理，即可证明； （2）由条件可得为直线与所成的角，结合余弦定理，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：（1）证明：设与的交点为，连接， 因为为直三棱柱，且， 则四边形为正方形， 所以为的中点， 又是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，得证； （2）由（1）可知，， 所以为直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 则， 即异面直线与所成的角为． 【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行的判定以及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．（2023秋•松江区校级月考）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． （1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）根据三角形中位线证明线线平行即可求证， （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解． 【解答】解：（1）当为棱的中点时，平面． 理由如下：设和交于点，则为的中点． 连接，又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面． 所以直线平面． （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角或其补角． 因为，且， 所以． 又，所以． 故异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题主要考查线面平行的判定，异面直线所成角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题． 15．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三棱锥中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）分别取，的中点，，连接，，找出异面直线所成角，然后结合余弦定理即可得到结果． 【解答】解：（1） 证明：在三角形中，因为，且是的中点，所以， 且，连接，在等边三角形中易得， 所以，所以． 因为，且，平面，所以平面． （2） 分别取，的中点，，连接，，， 因为，且，，且， 所以或其补角就是异面直线，所成角， 连接，因为平面，所以， 所以在中，斜边上的中线， 又因为，， 所以在三角形中，， 因为，所以异面直线与所成角为． 【点评】本题主要考查线面关系和线面所成的角，属于中档题． 16．（2023秋•徐汇区校级月考）三棱锥中，，分别为，中点，，． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点，连接、、，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，解三角形，即可求得答案． 【解答】解：（1）证明：连接，，为的中点， ，，且， 又，为的中点， ，且， 在中，， ，即， 又，，平面， 平面． （2）取的中点，连接、、， 由为的中点，知，， 直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由平面，平面，所以， 是直角三角形斜边上的中线，， 在中，由余弦定理可得：， 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查线面垂直以及线面角的求法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直线与平面的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养. 1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点) 2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点) 4.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 5.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点) 5.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 7.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点) 知识点01：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即学即练1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 知识点02：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 知识点03：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【即学即练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 知识点04：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 【即学即练4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是　 　． 题型01 证明线面平行 【解题策略】 应用判定定理证明线面平行的步骤 “找”是证题的关键，其常用方法有： （1）空间直线平行关系的传递性法； （2）三角形中位线法； （3）平行四边形法； （4）成比例线段法．　 【例1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，为的中点. (1)求异面直线与所成的角； (2)判断与平面的位置关系，并说明理由. 【变式1-1】．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【变式1-2】．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理； （2）把（1）中的定理用反证法证明； （3）如图，在正方体中，点N在上，点M在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明）    【变式1-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD. 题型02 证明线面垂直 【解题策略】 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 【例2】．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式2-1】．（22-23高二下·上海普陀·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，O是BD的中点．    (1)求证：平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的大小． 【变式2-2】．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：    (1)平面； (2)平面． 【变式2-3】．（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 题型03 直线与平面所成的角 【解题策略】 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角． (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角． (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)． (4)答． 【例3】．（23-24高二下·上海·期末）如图，在长方体中，已知，，点为棱的中点．求直线与平面所成角的正切值． 【变式3-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小. 【变式3-2】．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【变式3-3】．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 题型04 证明线线平行的常用方法 【解题策略】 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 【例4】．（24-25高二·上海·假期作业）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面，证明：； 【变式4-1】（23-24高二下·上海青浦·期末）如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 【变式4-2】．（2023高二上·上海·专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 【变式4-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 一．选择题 1．（2023秋•嘉定区校级期中）已知直线，和平面，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023秋•普陀区校级期中）在正方体的底面内有一点，且平面，则的最小值是　　 A． B． C．1 D． 3．（2022秋•长宁区校级期中）下列四个正方体图形中，、、、、分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是　　 A． B． C． D． 二．填空题 4．（2023秋•松江区校级月考）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是 　 　． 【分析】根据线面，线线关系判断即可． 【解答】解：∵a∥α，b⊂α， ∴a和b没有公共点， ∴a，b平行或异面． 故答案为：平行或异面． 【点评】本题考查了线线，线面关系，是基础题． 5．（2023秋•普陀区校级月考）设常数．如图，在矩形中，，，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•浦东新区期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 　　． 7．（2023秋•松江区校级月考）已知点，，，均在半径为2的球面上，满足，，，若平面，则　　． 三．解答题 8．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在直三棱柱中，已知，，，为的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：平面． 9．（2023秋•黄浦区校级月考）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理； （2）把（1）中的定理用反证法证明； （3）如图，在正方体中，点在上，点在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明） 10．（2024春•嘉定区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， （1）求证：AB∥平面A1DCB1； （2）求直线A1B与B1C所成的角的大小； （3）求证：BC1⊥平面A1DCB1． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 12．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，、分别是、的中点． （1）证明：平面． （2）鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由． 13．（2023秋•杨浦区校级期末）在直三棱柱中，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角． 14．（2023秋•松江区校级月考）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． （1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小． 15．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三棱锥中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 16．（2023秋•徐汇区校级月考）三棱锥中，，分别为，中点，，． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$