作业(一)向量的概念及线性运算-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 第一部分 温故知新 向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫作向 量,向量的大小,也就是向量的长度,称为 向量的模. (2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度为1的向量. (4)共线向量:当非零向量a,b方向相同或 相反 时,我 们 既 称a,b 共 线,也 称a,b 平行. 规定:零向量与所有的向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相 反 向 量:长 度 相 等 且 方 向 相 反 的 向量. 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 加法 减法 数乘 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa 的方 向与a 的方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a 的方向 相反; 当λ=0时,λa=0 3.向量共线定理 a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa 或a=λb (a,b为非零向量). 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.向量CD → 与向量DC → 长度相等 B.起点相同的单位向量,终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 2.如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA → +CD → +EF → 等于 ( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 3.(2023·盐城高一期中)化简3a+b + b-4a-b 的结果是 ( ) A.2b-a B.-a C.6a-b D.8b-a 4.化简 AB → +PC → + BA → -QC → = . 1.下列命题正确的是 ( ) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|>|b|,则a>b C.若a=-b,则a∥b D.若|a|=0,则a=0 2.如 图,在 四 边 形 ABCD 中,AB → =DC →,则相等的 向量是 ( ) A.AD → 与CB → B.OA → 与OC → C.AC → 与DB → D.DO → 与OB → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— 3.(2024·淮北高一月考)已知MN → =a+5b, NP → =-2(a-4b),PQ → =3(a-b),则 ( ) A.M,N,P 三点共线 B.M,N,Q 三点共线 C.M,P,Q 三点共线 D.N,P,Q 三点共线 4.正六边形ABCDEF中,用AC → 和AE → 表示 CD →,则CD → = ( ) A.-23AC → +13AE → B.-13AC → +23AE → C.-23AC → +23AE → D.-13AC → +13AE → 5.在四边形 ABCD 中,AB → =a+2b,BC → = -4a-b,CD → =-5a-3b,若a,b不共线, 则四边形ABCD 为 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 6.(2023·贵港高一期中)在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AF → =2FC →,则DF → = ( ) A.-13AB → +23AD → B.-23AB → +13AD → C.13AB → -23AD → D.23AB → -13AD → 7.已知a与b 是两个不共线的向量,且向量 a+λb与-(b-3a)共线,则λ= . 8.如图,在△ABC 中,D,E 分别在 AB,AC 上,且AD AB= AE AC= 1 3 ,则DE → = BC → . 1.(广东卷)如图所示,已知在△ABC 中, D 是边AB 上的中点,则CD → = ( ) A.BC → -12BA → B.-BC → +12BA → C.-BC → -12BA → D.BC → +12BA → 2.(2022·新高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中, 点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA → =m, CD → =n,则CB → = ( ) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 易错一 忽略零向量 [示例1] (2024·深圳高一月考)下列命题 正确的是 ( ) A.若a,b都是单位向量,则a=b B.若AB → =DC →,则A,B,C,D 四点连线构 成平行四边形 C.若a∥b,且b∥c,则a∥c D.AB → 与BA → 是平行向量 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 规定零向量与任意向量共线,在有关向量共线的 判定中,如果没有明确说明向量非零,要考虑向量 为零向量的情况,避免判断错误. 易错二 忽略向量数乘中的方向性致错 [示例2] (多选)已知点P 为△ABC 所在 平面内一点,且PA → +2PB → +3PC → =0.若 E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,则下列 结论正确的是 ( ) A.向量PA → 与PC → 可能平行 B.点P 在线段EF 的延长线上 C.点P 在线段EF 上 D.PE∶PF=2∶1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决有关向量的数乘运算的问题时,要注意参数 的正负与向量方向的对应性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— 高一数学(配XJ版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 向量的概念及线性运算 【基础演练】 1.ACD CD→和DC→长度相等,方向相反,故A正确;单位向量 的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错 误;向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故C 正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零 向量都可以平行移动,故D正确. 2.D BA→+CD→+EF→=DE→+CD→+EF→=CE→+EF→=CF→. 3.D 3a+b +b-4a-b =3a+3b+b-4a+4b =-a+8b. 4.解析 AB→+PC→ + BA→-QC→ =AB→+PC→-AB→+CQ→ =PQ→. 答案 PQ→ 【综合演练】 1.C 对于A,若|a|=|b|,但两向量方向不确定,则a=b不 成立,故选项A错误;对于B,向量无法比较大小,故选项 B错误;对于C,若a=-b,则两向量反向,因此a∥b,故选 项C正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故选项D错误. 2.D 由AB→=DC→知四边形ABCD 是平行四边形.由平行四 边形的性质知,|DO→|=|OB→|,且方向相同,所以DO→=OB→. 3.B ∵NP→=-2a+8b,PQ→=3(a-b), ∴NQ→=NP→+PQ→=-2a+8b+3(a-b)=a+5b, ∵MN→=a+5b,∴MN→=NQ→, ∴MN→与NQ→为共线向量, 又∵MN→与NQ→有公共点N, ∴M,N,Q 三点共线,故选B. 4.B 设 边 长 为2,如 图,设 AD,EC 交 于 点O,则 OD=1, AO=3,则OD→=13AO →,则CD→=CO→+OD→=12(CA →+AE→)+ 1 6 (AC→+AE→)=-13AC →+23AE →,故选B. 5.C 由已知得,AD→=AB→+BC→+CD→=a+2b-4a-b-5a- 3b=-8a-2b=2BC→, 故AD→∥BC→,由 AD→ ≠ BC→ , 所以四边形ABCD 是梯形. 6.D 因为AF→=2FC→,所以AF→=23AC →,所以DF→=DA→+AF→ =-AD→+ 23AC →= -AD→+ 23 AB →+AD→ = 23AB →- 1 3AD →. 7.解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)], 所以 λ=-k, 1=3k, 解得 k=13 , λ=-13. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 答案 -13 8.解析 ∵ADAB= AE AC= 1 3 ,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. ∴DEBC= 1 3. 又DE→与BC→同向,∴DE→=13BC →. 答案 13 【真题体验】 1.B 由于D 是边AB 上的中点,则BD→=12BA →. CD→=CB→+BD→=-BC→+12BA →. 2.B 因 为CB→=CA→+AB→,AD→=CD→-CA→,又3AD→=AB→, 所以CB→=-2CA→+3CD→,即CB→=-2m+3n.故选B. 【易误警示】 [示例1] D 选项 A中,单位向量方向可以不同,故a=b 不一定成立 ;选项B中,A,B,C,D 四点可能共线,不能组 成平行四边形;选项C中,当b=0时,a,c为任意向量;选 项D正确,相反向量是一对平行向量.故选D. [示例2] CD 因为点P 为△ABC 所在平面内一点,E 为 AC 的中点,F 为BC 的中点,则PA→+PC→=2PE→,PB→+PC→ =2PF→,而PA→+2PB→+3PC→=0,即(PA→+PC→)+2(PB→+ PC→)=0,于是得2PE→+4PF→=0,即EP→=2PF→,所以点P 在线段EF 上,且PE∶PF=2∶1,即点P,A,C不共线,则 向量PA→与PC→不 可 能 平 行,A不 正 确,B不 正 确,C正 确, D正确.故选CD. 作业(二) 平面向量的基本定理及坐标表示 【基础演练】 1.C AB→=(-1,0)-(1,2)=(-2,-2). 2.C 由已知-2a+b=-2(9,3)+(7,4)=(-11,-2). 3.A 因为a=(1,2),b=(2,-2), 所以2a+b=(4,2),又因为c∥(2a+b), 所以1·2-4λ=0,所以λ=12 ,故选A. 4.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C项中 两向量不共线,故选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14—