作业(十一)空间直线、平面的平行-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

空间直线、平面的平行 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 类 别 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果平面外一 条直线与此平 面内的一条直 线平行,那么该 直线与此平面 平行 a⊄α b⊂α a∥b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒a∥α 性 质 定 理 一条直线与一 个平面平行,如 果过该直线的 平面与此平面 相交,那么该直 线与交线平行 a∥α a⊂β α∩β=b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ a∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 类 别 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一 个 平 面内的 两 条 相交直 线 与 另一个 平 面 平行,那么这 两 个 平 面 平行 a⊂β b⊂β a∩b=P a∥α b∥α 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒ β∥α 性 质 定 理 两个平 面 平 行,如果一个 平面与 这 两 个平面相交, 那么两 条 交 线平行 α∥β α∩γ=a β∩γ=b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ a∥b 1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α 的位 置关系是 ( ) A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或b⊂α 2.平面α∥平面β,直线l∥α,则 ( ) A.l∥β B.l⊂β C.l∥β或l⊂β D.l,β相交 3.若α为平面,则下列命题是真命题的是 ( ) A.若直线l平行于平面α 内的无数条直 线,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,直线b⊂平面α,则a∥α D.若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α 内的无数条直线 4.已知直线l⊂平面α,直线m⊂平面β,则下 面命题正确的是 ( ) A.l∥m⇒α∥β B.l∥m⇒α与β相交 C.l∩m=P⇒α∥β D.l∩m=P⇒α与β相交 1.若m,n是空间两条不同的直线,α,β是空 间两个不同的平面,那么下列命题成立 的是 ( ) A.若α∥m,β∥m,那么α∥β B.若m∥α,n⊂α,那么m∥n C.若m∥n,n∥α,那么m∥α D.若α∥β,m⊂α,那么m∥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 高一数学(配XJ版) 2.(2023·西安高一期中) 如图,已知平面α∩平面β =a,平面β∩平面γ=b, 平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的 位置关系是 ( ) A.c与a,b都异面 B.c与a,b都相交 C.c至少与a,b中的一条相交 D.c与a,b都平行 3.已 知 点 E,F 分 别 是 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱AB,AA1 的中点,点M,N 分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与 平面ABCD平行的直线MN 有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.(多选)如图,空间四边形ABCD 中,E,F 分别是边 AB,BC 的中点,G,H 分别在 线 段 DC,DA 上,且 满 足 DG=λDC, DH=μDA,λ,μ∈(0,1),则下列说法正 确的是 ( ) A.当λ=μ= 1 2 时,四边形EFGH 是矩形 B.当λ=μ= 2 3 时,四边形EFGH 是梯形 C.当λ≠μ 时,四边形 EFGH 是空间四 边形 D.当λ≠μ 时,直 线 EH,FG,BD 相 交 于一点 5.(2023·朝阳高一期中)已知直线 m 和平 面α,β.给出下列三个论断:①m∥α;②α∥β; ③m⊂β.以其中的两个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论,写出一个正确 的命题: . 6.如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是 平行四边形,M,N 分别为线段PC,PB 上 一点,若PM∶MC=4∶1,且AN∥平面 BDM,则PN∶NB= . 7.如图 PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形, PA=AB=1,AD=2,点F是PB 的中点, 点E 是BC 的中点,线段AB 上是否存在 点G,使得平面EFG∥平面PAC,若存在, 指出点G 位置并证明,若不存在,请说明 理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 1.(2021·浙江卷)如图已知正方体ABCD- A1B1C1D1,M,N 分别是A1D,D1B 的中 点,则 ( ) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥ 平面ABCD B.直线A1D 与直线D1B平行,直线MN⊥ 平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线 MN∥ 平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线 MN⊥ 平面BDD1B1 2.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践 活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如 图所示,底面ABCD 是边长为8(单位:cm) 的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形,且它们所在的平面都与平 面ABCD 垂直. (1)证明:EF∥平面ABCD. (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的 厚度). 易错一 线面平行的性质定理应用不当 致错 [示例1] 如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,D 是BC 的中点,E 是A1C1 上一点, 且A1B∥ 平 面 B1DE,则 A1E EC1 的 值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用线面平行的性质定理解决相关的计算问题, 一般要做辅助线或辅助面,此时要注意根据线面 平行的性质做辅助线或辅助面,不可盲目的做, 进而得到直线与直线的平行,再利用比例关系 计算. 易错二 对面面平行的性质理解不透彻 致错 [示例2] 四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底 面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱 的中点作直线,其中与平面DBB1D1 平行 的直线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题易忽视两个平面平行,其中一个平面内 的所有直线与另一个平面平行. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— 高一数学(配XJ版) 【真题体验】 D 如图,∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角. 易知△A1BC1 为 正 三 角 形,又 P 为 A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三点 不能确定一个平面,所以选项 A 错误;空间中两两相交的三条直 线交于同一点时,可能确定一个平面也可能确定三 个 平 面,所以选项B错误;空间中有三个角为直角的四边形可 能是空间图形,所以选项C错误;选项D正确,如图,因为 a∥b,所以直线a,b确定一个平面α.因为b∥c,所以直线 b,c确定一个平面β.因为l⊂α,l⊂β,由“经过两条相交直 线,有且 只 有 一 个 平 面”可 知α 与β 重 合,所 以a,b,c,l 共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共线, 则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以点A 在 平面α内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平面α内. 所以 点 A,E 都 在 平 面α 内,即 A,B,C,D,E 五 点 一 定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C,D, E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一定 共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也可 能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(十一) 空间直线、平面的平行 【基础演练】 1.D 由a∥b,且a∥α,知b∥α或b⊂α. 2.C 因为平面α∥平面β,直线l∥α,所以直线l可能和平面 β平行,也可能在平面β内.故选C. 3.D A项还可能l⊂α,故A错误;B项还可能a与平面α相 交,故B错误;C项还可能a⊂α,故C错误;由直线与平面 平行的性质以及平行的传递性可知D正确. 4.D 对于A、B,直线l⊂平面α,直线 m⊂平面β,若l∥m, 则α与β相交或α∥β,故A、B错误; 对于C、D,若l∩m=P,则P∈l且P∈m,又直线l⊂平面 α,直线m⊂平面β, 所以P∈α且P∈β,则α与β相交,故C错误,D正确. 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项A不正确; 当m∥α,n⊂α时,m,n 可以是异面直 线,因 此 选 项B不 正确; 当m∥n,n∥α时,存 在 m⊂α这 一 情 况,所 以 选 项 C不 正确; 根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ, ∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于 点N,M,连接 MN, 由面面平行的性质得 MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 4.BC 选项A,在△ABC中,因为E,F 分别是边AB,BC 的 中点,所以EF∥AC且EF=12AC , 当λ=μ= 1 2 时,H,G 分别为DA,DC中点,所以在△DAC 中可得HG∥AC且HG=12AC , 所以EF∥HG 且EF=HG, 所以四边形EFGH 是平行四边形, 又E,H 分别为AB,AD 的中点,所以EH∥BD, 又EF∥AC, 当BD⊥AC时有EH⊥EF,平行四边形EFGH 为矩形, 所以四边形EFGH 不一定是矩形,A错误; 选项B,当λ=μ= 2 3 时,DG DC= DH DA= 2 3 , 所以 HG=23AC ,且 HG∥AC, 则由A可知EF∥HG 且EF≠HG,所以四边形EFGH 是 梯形,B正确; 选项C,当λ≠μ时,EF 不平行于 HG,又因为 HG⊂平面 ADC,EF⊄平面ADC,所以 HG,EF 是异面直线,四边形 EFGH 是空间四边形,C正确; 选项D,不妨设直线EH,FG,BD 相交于一点O, 因为EF∥AC,AC⊂平面ADC,EF⊄平面ADC, 所以EF∥平面ADC, 又因为直线EH,FG 相交于点O,所以EF⊂平面EHGF, 因为平面EHGF∩平面ADC=HG,所以EF∥HG∥AC, 所以可得λ=μ,矛盾,D错误.故选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 5.解析 将①②作条件,③作结论:若 m∥α,α∥β,则 m⊂β. 此命题为假命题(结论应为m⊂β或m∥β); 将①③作条件,②作结论:若 m∥α,m⊂β,则α∥β.此命题 为假命题(结论应为α与β相交或α∥β); 将②③作条件,①作结论:若α∥β,m⊂β,则 m∥α.由两平 面平行的性质可知此命题为真命题. 答案 若α∥β,m⊂β,则m∥α 6.解析 如图,连接 AC 交BD 于点O,连接CN 交BM 于 点G, 由AN∥平面BDM,可得AN∥OG, ∵OA=OC,∴CG=NG,∴G 为CN 的中点, 作 HN∥BM,∴CM=HM, ∵PM∶MC=4∶1,则PH∶HM=3∶1, ∴PN∶NB=PH∶HM=3∶1. 答案 3∶1 7.解析 存在G 为AB 中点,使得平面 EFG∥平面 PAC, 证明如下: 当G 为AB 中点,连接FG,GE,EF,AC, 又F 是PB 的中点,E 是BC 的中点, 所以EF∥PC,FG∥PA, 而EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC, 所以EF∥平面PAC, 同理可证FG∥平面PAC, 又EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面PAC, 综上,G 为AB 中点时,平面EFG∥平面PAC. 【真题体验】 1.A 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, M 是A1D 的中点,所以 M 为AD1 中点, 又 N 是D1B 的中点,所以 MN∥AB, MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以 MN∥平面ABCD. 因为AB 不垂直于BD,所以 MN 不垂直于BD, 则 MN 不垂直于平面BDD1B1,所以选项B,D不正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D, AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABD1, 所以A1D⊥平面ABD1, D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B, 且直线A1D 与D1B 是异面直线, 所以选项C错误,选项A正确.故选A. 2.(1)证明 过点E 作EE'⊥AB 于点E',过点F 作FF'⊥ BC于点F',连接E'F'(图略). ∵底面ABCD 是边长为8的正方形,△EAB,△FBC 均为 正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直, ∴EE'⊥AB,FF'⊥BC, ∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD, ∴EE'∥FF', 又EE'=FF'=8× 32=4 3 , ∴四边形EE'F'F 为平行四边形. ∴EF∥E'F', ∴E'F'⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解析 同理,过点G,H 分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA, 交CD,DA 于 点G',H',连 接 F'G',G'H',H'E',AC(图 略),由(1)及 题 意 可 知,G',H'分 别 为CD,DA 的 中 点, EFGH E'F'G'H'为长方体,故该包装盒可分成一个长方 体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得E'F'=H'E'= 1 2AC=4 2 , ∴所求该包装盒的容积为 V=VEFGH E'F'G'H'+4VAEE'H'H =E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H × 1 4AC =4 2×4 2×4 3+13×4 3×4 2×8 2= 640 3 3 . 【易误警示】 [示例1] 解析 如 图,连 接 BC1, 交B1D 于点F,连接EF.因为平面 A1BC1∩平面B1DE=EF,A1B∥ 平面B1DE,所以 A1B∥EF,所以 A1E EC1 =BFFC1 . 因为BC∥B1C1,易得△BDF∽△C1B1F, 所以BF C1F = BDC1B1 . 因为D 是BC 的中点,所以 BDC1B1 =12 , 所以 A1E EC1 =12. 答案 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 高一数学(配XJ版) [示例2] D 根据题意作出图形,如图,其中,E,F,G,H, P,Q,M,N 分别为所在棱的中点,所以PN∥B1D1.因为 PN⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面 DBB1D1,所以PN∥平 面DBB1D1.同 理 可 证 GF∥平 面 DBB1D1.因 为 四 边 形 BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1,BC 的中点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄平 面 DBB1D1,BB1⊂平 面 DBB1D1,所以 NF∥平面 DBB1D1.同理可证 PG∥平面 DBB1D1.又因为PN∩NF=N,PN,NF⊂平面 PNFG, 所以平面PNFG∥平面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG, NG⊂平面 PNFG,所以 PF∥平面 DBB1D1,NG∥平 面 DBB1D1.同理可证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面 DBB1D1 平行,所 以 与 平 面 DBB1D1 平 行 的 直 线 共 有 12条. 作业(十二) 空间直线、平面的垂直 【基础演练】 1.AC 由线面垂直的定义知,A正确;当l⊥α时,l与α 内的 直线相交或异面,但不会 平 行,故B错 误;C显 然 是 正 确 的;而D中,a可能在α内,所以D错误. 2.D 由 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 推 论 知,选 项 D 正确. 3.D 若a⊂β,b⊥β,可证得a⊥b; 若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥β,c⊂β, 则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故答案为D. 4.B 因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PA⊂平 面PAB,所以DA⊥平面PAB, 同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,CD⊥平面PAD; 所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面PAB,平 面PBC⊥平面PAB, 平面PDC⊥平面PAD,平面PAD⊥平面PAB,共5对. 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直,这 条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平面斜 交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直线 和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相平 行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平面 与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且 CE= 1 2B1C1 ,所以四 边 形 CEB1C1 为 梯 形,直 线 CC1 与 直 线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1 与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1 是 异 面 直 线,且 三 角 形 ABC 是 正 三 角 形, AE⊥BC,又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1 与上下底面的关系,不能 判断 AE 是 否 与 平 面CBB1C1 垂 直,故 无 法 判 断 平 面 AB1E 与平面CBB1C1 是否垂直,故D错误;故选A. 3.A 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面 ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥CD, 又底面ABCD 是边长为a 的正方形, 所以CD⊥AD,又PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平 面PAD, 所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD, 设B 到平面PCD 的距离为h,直线PB 与平面PCD 所成 的角为θ, 则PB= 2a,PD= 2a, 所以VBPCD =VPBCD, 即1 3× 1 2× 2a×a×h= 1 3× 1 2×a×a×a , 所以h= 2a2 ,所以sinθ= hPB= 2a 2 2a =12 , 又θ∈ 0,π2 ,所以θ=π6. 4.BCD 因为B1C1 与A1C1 不一定垂直,所以B1C1 与平面 AA1C1C不一定垂直,故A错误. 由侧棱AA1⊥平面 A1B1C1,可得 AA1⊥C1M.由B1C1= A1C1 及 M 为A1B1 的中点,可得C1M⊥A1B1. 又因为AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1, 从而C1M⊥A1B. 已 知 AC1⊥A1B,C1M ∩AC1 =C1,C1M,AC1 ⊂ 平 面 AMC1,所以 A1B⊥平 面 AMC1,从 而 平 面 A1BC⊥平 面 AMC1,A1B⊥AM. 又 MB1∥AN,MB1=AN,所以 ANB1M 是平行四边形, 所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM⊄平面CNB1,NB1⊂平面CNB1, 所以AM∥平面CNB1, 同理 MC1∥平面CNB1,MC1∩AM=M,MC1,AM⊂平面 AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB1,故D正确. 5.解析 由已知得B1D⊥平面ACC1A1, 又CF⊂平面ACC1A1,所以B1D⊥CF, 若CF⊥平面B1DF,则必有CF⊥DF, 设AF=x(0<x<3),则CF2=x2+4,DF2=1+(3-x)2, CD2=12+32=10, 所以由CF2+DF2=CD2,得x2+4+1+(3-x)2=10, 解得x=1或x=2, 所以当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF. 答案 1或2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55—